第 11 章导数及其应用

本章把导数的概念、运算、几何意义、单调性、极值与最值、不等式证明、零点问题和优化应用合并在一起。导数是研究函数变化率和函数性质的有力工具。

11.1 导数的概念

11.1.1 平均变化率

函数 $y=f(x)$ 从 $x_0$ 到 $x_0+\Delta x$ 的平均变化率：

$$ \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} $$

平均变化率表示函数在区间上的平均变化快慢。
平均变化率的几何意义是割线的斜率。

11.1.2 瞬时变化率与导数

如果极限

$$ \lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} $$

存在，那么称这个极限为函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的导数，记作 $f'(x_0)$ 或 $y'|_{x=x_0}$。

导数表示函数在 $x_0$ 处的瞬时变化率。
导数的几何意义：曲线 $y=f(x)$ 在点 $(x_0,f(x_0))$ 处的切线斜率。
导数的物理意义：位移对时间的导数是瞬时速度；速度对时间的导数是加速度。
如果函数在 $x_0$ 处可导，那么它在 $x_0$ 处连续；反之不一定。

11.1.3 导函数

如果函数 $f(x)$ 在区间 $D$ 内每一点都可导，那么对每一个 $x\in D$，都有唯一的导数 $f'(x)$ 与之对应，$f'(x)$ 叫 $f(x)$ 的导函数。
导函数简称导数。
求导数的过程叫求导。

11.2 导数的运算

11.2.1 基本初等函数的导数

$C'=0$（$C$ 为常数）。
$(x^n)'=nx^{n-1}$（$n\in\mathbb{Q}$，$x>0$；$n\in\mathbb{N}^*$ 时 $x\in\mathbb{R}$）。
$(\sin x)'=\cos x$。
$(\cos x)'=-\sin x$。
$(\mathrm{e}^x)'=\mathrm{e}^x$。
$(a^x)'=a^x\ln a$（$a>0,a\ne1$）。
$(\ln x)'=\frac1x$（$x>0$）。
$(\log_a x)'=\frac{1}{x\ln a}$（$x>0,a>0,a\ne1$）。

11.2.2 导数的四则运算

和差法则：$(u\pm v)'=u'\pm v'$。
数乘法则：$(Cu)'=Cu'$。
乘法法则：$(uv)'=u'v+uv'$。
除法法则：$\left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$（$v\ne0$）。

11.2.3 复合函数的导数

如果 $y=f(u)$，$u=g(x)$，那么复合函数 $y=f(g(x))$ 的导数：

$$ y'=f'(u)\cdot g'(x) $$

复合函数求导遵循“链式法则”：由外到内，逐层求导，再相乘。
求导后要把 $u$ 换回 $g(x)$。

11.3 导数与函数的单调性

11.3.1 导数与单调性的关系

在区间 $D$ 内，如果 $f'(x)>0$，那么 $f(x)$ 在 $D$ 上单调递增。
在区间 $D$ 内，如果 $f'(x)<0$，那么 $f(x)$ 在 $D$ 上单调递减。
如果 $f'(x)=0$ 在区间内恒成立，那么 $f(x)$ 是常函数。
如果 $f'(x)\ge0$ 且只在有限个点处等于 $0$，那么 $f(x)$ 仍然单调递增。

11.3.2 求单调区间的步骤

求函数的定义域。
求导数 $f'(x)$。
解不等式 $f'(x)>0$ 和 $f'(x)<0$。
写出单调递增区间和单调递减区间。
单调区间要用区间表示，多个单调区间之间用“和”或逗号分隔。

11.3.3 含参函数的单调性

含参函数求单调性，通常需要对参数分类讨论。
讨论的依据：导数为零的点是否存在、是否在定义域内、两个零点的大小关系。
分类讨论要不重不漏，最后分别写出各种情况下的单调区间。
已知函数在区间上单调，可以转化为导数在该区间上恒大于等于 $0$ 或恒小于等于 $0$，再求参数范围。

导数与函数单调性、切线

11.4 函数的极值与最值

11.4.1 极值

如果函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 附近的函数值都比 $f(x_0)$ 小（或大），那么 $f(x_0)$ 叫函数的极大值（或极小值），$x_0$ 叫极值点。

极值是局部概念，极大值不一定比极小值大。
极值点处的导数不一定为 $0$；导数不存在的点也可能是极值点。
如果 $f'(x_0)=0$，并且在 $x_0$ 左侧 $f'(x)>0$、右侧 $f'(x)<0$，那么 $x_0$ 是极大值点。
如果 $f'(x_0)=0$，并且在 $x_0$ 左侧 $f'(x)<0$、右侧 $f'(x)>0$，那么 $x_0$ 是极小值点。
如果 $f'(x)$ 在 $x_0$ 两侧符号相同，那么 $x_0$ 不是极值点。

11.4.2 求极值的步骤

求定义域。
求导数 $f'(x)$。
解方程 $f'(x)=0$，求出可能的极值点。
判断每个可能的极值点两侧导数的符号。
根据符号变化确定极大值、极小值。

11.4.3 求最值

闭区间 $[a,b]$ 上连续函数的最值：
1. 求函数在 $(a,b)$ 内的极值；
2. 计算端点函数值 $f(a)$、$f(b)$；
3. 比较极值与端点函数值，最大者为最大值，最小者为最小值。
开区间或无穷区间上的最值，要结合单调性和极限分析。
实际问题中的最值，要注意自变量的取值范围和实际意义。

11.5 导数与不等式、零点

11.5.1 证明不等式

构造函数法：把不等式移项，构造 $F(x)=f(x)-g(x)$，证明 $F(x)\ge0$ 或 $F(x)\le0$。
利用导数判断 $F(x)$ 的单调性，求出最值。
常见结论： $$ \mathrm{e}^x\ge x+1\quad(x\in\mathbb{R}) $$ $$ \ln x\le x-1\quad(x>0) $$ $$ \sin x<x\quad(x>0) $$
证明不等式时，要注意等号成立的条件。

11.5.2 零点问题

判断零点个数：利用单调性、极值、端点函数值、零点存在定理。
已知零点个数求参数：可以分离参数，转化为两个函数图像交点个数问题。
证明存在唯一零点：先证明存在性，再证明单调性。
隐零点问题（拓展）：设零点为 $x_0$，利用 $f(x_0)=0$ 代换，整体处理。

11.5.3 恒成立与存在性

$f(x)\ge m$ 恒成立 $\Leftrightarrow m\le f(x)_{\min}$。
$f(x)\le m$ 恒成立 $\Leftrightarrow m\ge f(x)_{\max}$。
存在 $x$ 使 $f(x)\ge m$ $\Leftrightarrow m\le f(x)_{\max}$。
存在 $x$ 使 $f(x)\le m$ $\Leftrightarrow m\ge f(x)_{\min}$。
常用方法：最值法、分离参数法、构造函数法。

11.6 导数的应用

11.6.1 切线问题

曲线 $y=f(x)$ 在点 $(x_0,f(x_0))$ 处的切线方程： $$ y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0) $$
求切线方程的关键是求切点坐标和切线斜率。
如果已知切线过某点，但该点不一定是切点，需要设切点坐标，再根据切线过已知点列方程。
切线与曲线可能有多个交点，切线不等于只有一个公共点。

11.6.2 优化问题

利用导数求实际问题中的最大利润、最小成本、最大面积、最大容积等。
步骤：设变量、建立函数关系、确定定义域、求导、求最值、检验实际意义。
注意最值点是否在定义域内，以及是否符合实际。

11.6.3 定积分（拓展）

定积分表示曲边梯形的面积（当函数值非负时）。
微积分基本定理：如果 $F'(x)=f(x)$，那么： $$ \int_a^b f(x),\mathrm{d}x=F(b)-F(a) $$
定积分可以用来求平面图形的面积、变速直线运动的路程等。
定积分的运算性质： $$ \int_a^b [f(x)\pm g(x)],\mathrm{d}x=\int_a^b f(x),\mathrm{d}x\pm\int_a^b g(x),\mathrm{d}x $$ $$ \int_a^b kf(x),\mathrm{d}x=k\int_a^b f(x),\mathrm{d}x $$
定积分是选学内容，理解其几何意义即可。

11.7 导数综合

含参讨论：根据导数的零点、定义域、参数范围分类讨论。
构造函数：把不等式、零点、恒成立问题转化为函数的最值问题。
分离参数：把参数移到一边，转化为求函数最值。
数形结合：利用函数图像判断零点个数、不等式解集。
常见模型：$\mathrm{e}^x$ 与多项式、$\ln x$ 与多项式、$x\mathrm{e}^x$、$\frac{\ln x}{x}$ 等。

练习

求下列函数的导数。（1）$f(x)=x^3-2x+1$ （2）$f(x)=\sin x+\cos x$ （3）$f(x)=x\mathrm{e}^x$ （4）$f(x)=\frac{\ln x}{x}$
已知 $f(x)=x^2$，求 $f'(1)$，并求曲线在点 $(1,1)$ 处的切线方程。
求函数 $f(x)=x^3-3x$ 的单调区间。
求函数 $f(x)=x^3-3x$ 的极值。
求函数 $f(x)=x^3-3x$ 在区间 $[-2,2]$ 上的最大值和最小值。
已知函数 $f(x)=x^2-2ax$，讨论它的单调性。
已知函数 $f(x)=x^3+ax^2+3x$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递增，求 $a$ 的取值范围。
证明不等式：对任意 $x\in\mathbb{R}$，$\mathrm{e}^x\ge x+1$。
讨论函数 $f(x)=x^3-3x+a$ 的零点个数。
求曲线 $f(x)=x^3$ 在点 $(1,1)$ 处的切线方程。
用长为 $20$ 厘米的铁丝围成一个矩形，求面积最大时的长和宽。
已知函数 $f(x)=\ln x-ax$（$a>0$），讨论它的单调性和最大值。

检测题

判断下面各题，并说明理由。（1）函数在某点可导，则在该点一定连续。（2）函数在某点连续，则在该点一定可导。（3）若 $f'(x_0)=0$，则 $x_0$ 一定是极值点。（4）若 $f'(x)>0$ 在区间 $D$ 上恒成立，则 $f(x)$ 在 $D$ 上单调递增。
求下列函数的导数。（1）$f(x)=x^4-3x^2+2$ （2）$f(x)=\mathrm{e}^x\sin x$ （3）$f(x)=\frac{x+1}{x-1}$
求曲线 $f(x)=x^3-2x$ 在点 $(1,-1)$ 处的切线方程。
求函数 $f(x)=x^3-6x^2+9x$ 的单调区间和极值。
求函数 $f(x)=x^3-3x^2+2$ 在区间 $[-1,3]$ 上的最大值和最小值。
已知函数 $f(x)=x^3+3x^2+ax$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递增，求 $a$ 的取值范围。
证明不等式：对任意 $x>0$，$\ln x\le x-1$。
下面是小明的解题过程，请判断是否正确，并说明理由。已知 $f(x)=x^3$，则 $f'(0)=0$，所以 $x=0$ 是函数 $f(x)=x^3$ 的极值点。
写出满足下列条件的函数各一个。（1）一个在 $\mathbb{R}$ 上单调递增的函数。（2）一个在 $x=1$ 处取得极小值的函数。（3）一个导数为 $2x$ 的函数。
已知函数 $f(x)=x^2-2\ln x$。（1）求函数的定义域。（2）求函数的单调区间。（3）求函数的最小值。

参考答案与提示

（1）$f'(x)=3x^2-2$；（2）$f'(x)=\cos x-\sin x$；（3）$f'(x)=\mathrm{e}^x+x\mathrm{e}^x=(x+1)\mathrm{e}^x$；（4）$f'(x)=\frac{\frac1x\cdot x-\ln x}{x^2}=\frac{1-\ln x}{x^2}$。
$f'(x)=2x$，$f'(1)=2$；切线方程 $y-1=2(x-1)$，即 $y=2x-1$。
$f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$。当 $x<-1$ 或 $x>1$ 时 $f'(x)>0$；当 $-1<x<1$ 时 $f'(x)<0$。所以单调递增区间为 $(-\infty,-1)$ 和 $(1,+\infty)$，单调递减区间为 $(-1,1)$。
由第 3 题，$x=-1$ 时取极大值 $f(-1)=2$；$x=1$ 时取极小值 $f(1)=-2$。
端点值 $f(-2)=-2$，$f(2)=2$；极值 $f(-1)=2$，$f(1)=-2$。所以最大值为 $2$，最小值为 $-2$。
$f'(x)=2x-2a=2(x-a)$。当 $x<a$ 时 $f'(x)<0$，函数递减；当 $x>a$ 时 $f'(x)>0$，函数递增。单调递减区间 $(-\infty,a)$，单调递增区间 $(a,+\infty)$。
$f'(x)=3x^2+2ax+3\ge0$ 对任意 $x$ 恒成立，所以 $\Delta=4a^2-36\le0$，$-3\le a\le3$。
设 $F(x)=\mathrm{e}^x-x-1$，则 $F'(x)=\mathrm{e}^x-1$。当 $x<0$ 时 $F'(x)<0$，$F(x)$ 递减；当 $x>0$ 时 $F'(x)>0$，$F(x)$ 递增。所以 $F(x)_{\min}=F(0)=0$，即 $\mathrm{e}^x\ge x+1$。
$f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$。极大值 $f(-1)=2+a$，极小值 $f(1)=-2+a$。当 $2+a<0$ 或 $-2+a>0$ 时，有一个零点；当 $2+a=0$ 或 $-2+a=0$ 时，有两个零点；当 $-2+a<0<2+a$，即 $-2<a<2$ 时，有三个零点。
$f'(x)=3x^2$，$f'(1)=3$，切线方程 $y-1=3(x-1)$，即 $y=3x-2$。
设长为 $x$，宽为 $10-x$，面积 $S=x(10-x)$。$S'=10-2x$，令 $S'=0$ 得 $x=5$。当 $x=5$ 时面积最大，此时长、宽都是 $5$ 厘米。
定义域 $(0,+\infty)$，$f'(x)=\frac1x-a=\frac{1-ax}{x}$。当 $0<x<\frac1a$ 时 $f'(x)>0$，函数递增；当 $x>\frac1a$ 时 $f'(x)<0$，函数递减。所以最大值为 $f\left(\frac1a\right)=\ln\frac1a-1=-\ln a-1$。

检测题参考答案

（1）正确，可导必连续；（2）错误，连续不一定可导，例如 $y=|x|$ 在 $x=0$ 处连续但不可导；（3）错误，$f'(x_0)=0$ 只是可能的极值点，还要看两侧导数是否变号；（4）正确，导数大于 $0$ 说明函数单调递增。
（1）$f'(x)=4x^3-6x$；（2）$f'(x)=\mathrm{e}^x\sin x+\mathrm{e}^x\cos x=\mathrm{e}^x(\sin x+\cos x)$；（3）$f'(x)=\frac{(x-1)-(x+1)}{(x-1)^2}=-\frac{2}{(x-1)^2}$。
$f'(x)=3x^2-2$，$f'(1)=1$，切线方程 $y+1=x-1$，即 $y=x-2$。
$f'(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)$。递增区间 $(-\infty,1)$ 和 $(3,+\infty)$，递减区间 $(1,3)$；极大值 $f(1)=4$，极小值 $f(3)=0$。
$f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$。$f(-1)=-2$，$f(0)=2$，$f(2)=-2$，$f(3)=2$。最大值为 $2$，最小值为 $-2$。
$f'(x)=3x^2+6x+a\ge0$ 恒成立，所以 $\Delta=36-12a\le0$，$a\ge3$。
设 $F(x)=\ln x-x+1$（$x>0$），$F'(x)=\frac1x-1=\frac{1-x}{x}$。当 $0<x<1$ 时 $F'(x)>0$，$F(x)$ 递增；当 $x>1$ 时 $F'(x)<0$，$F(x)$ 递减。所以 $F(x)_{\max}=F(1)=0$，即 $\ln x\le x-1$。
不正确。$f(x)=x^3$ 在 $x=0$ 两侧导数都大于 $0$，函数单调递增，$x=0$ 不是极值点。$f'(0)=0$ 只是说明切线水平，不能说明是极值点。
示例：（1）$f(x)=x^3$；（2）$f(x)=(x-1)^2$；（3）$f(x)=x^2+C$（$C$ 为常数）。
（1）定义域 $(0,+\infty)$；（2）$f'(x)=2x-\frac2x=\frac{2(x-1)(x+1)}{x}$。当 $0<x<1$ 时 $f'(x)<0$，函数递减；当 $x>1$ 时 $f'(x)>0$，函数递增。单调递减区间 $(0,1)$，单调递增区间 $(1,+\infty)$；（3）最小值为 $f(1)=1$。

第11章-导数及其应用

第 11 章 导数及其应用