第 3 章 函数极限与连续

本章把函数极限、无穷小与无穷大、连续性、闭区间上连续函数的性质、一致连续以及实数完备性定理合并在一起。函数极限是导数与积分的基础，连续性是分析中最重要的局部性质之一。

3.1 函数极限的定义

3.1.1 $x\to x_0$ 时的极限

设函数 $f$ 在点 $x_0$ 的某个去心邻域内有定义。若存在常数 $A$，使得对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，当 $$0<|x-x_0|<\delta$$ 时，都有 $$|f(x)-A|<\varepsilon,$$ 则称当 $x\to x_0$ 时 $f(x)$ 的极限为 $A$，记作 $$\lim_{x\to x_0}f(x)=A.$$

  • 定义中不要求 $f$ 在 $x_0$ 处有定义，也不考虑 $f(x_0)$ 的值。
  • 几何意义：只要 $x$ 落在 $x_0$ 的去心 $\delta$ 邻域内，$f(x)$ 就落在 $A$ 的 $\varepsilon$ 邻域内。

函数极限的 ε-δ 定义

3.1.2 单侧极限

  • 右极限：$\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)=A$，指对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，当 $0<x-x_0<\delta$ 时，$|f(x)-A|<\varepsilon$。
  • 左极限：$\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)=A$，指对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，当 $0<x_0-x<\delta$ 时，$|f(x)-A|<\varepsilon$。
  • 极限 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$ 存在当且仅当左极限与右极限都存在且相等： $$\lim_{x\to x_0}f(x)=A\iff\lim_{x\to x_0^-}f(x)=\lim_{x\to x_0^+}f(x)=A.$$
  • 常用于分段函数在分界点处的讨论。

3.1.3 $x\to\infty$ 时的极限

若对任意 $\varepsilon>0$，存在 $M>0$，当 $|x|>M$ 时，都有 $|f(x)-A|<\varepsilon$，则称当 $x\to\infty$ 时 $f(x)$ 的极限为 $A$，记作 $$\lim_{x\to\infty}f(x)=A.$$

  • 类似定义 $x\to+\infty$、$x\to-\infty$ 时的极限。
  • $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=A$ 当且仅当 $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=A$。

3.1.4 无穷极限

  • 若对任意 $M>0$，存在 $\delta>0$，当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时，$f(x)>M$，则记 $$\lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty.$$
  • 类似定义 $-\infty$。无穷极限不是通常意义下的极限，只表示函数值的发散趋势。
  • 对 $x\to\infty$ 的无穷极限可类似定义。

3.2 函数极限的性质

设 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A$，$\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=B$。

3.2.1 唯一性与局部有界性

  • 唯一性：若极限存在，则极限唯一。
  • 局部有界性：若 $A$ 为有限数，则存在 $\delta>0$，使 $f$ 在 $\mathring U(x_0,\delta)$ 上有界。
  • 局部保号性：若 $A>0$，则存在 $\delta>0$，使当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时，$f(x)>\dfrac A2>0$。若 $A<0$，则 $f(x)<\dfrac A2<0$。

3.2.2 保序性与夹逼定理

  • 保序性：若在 $x_0$ 的某去心邻域内 $f(x)\le g(x)$，且极限都存在，则 $A\le B$。
  • 夹逼定理：若在 $x_0$ 的某去心邻域内 $f(x)\le h(x)\le g(x)$，且 $A=B=l$，则 $$\lim_{x\to x_0}h(x)=l.$$

3.2.3 四则运算

  • $\lim\limits_{x\to x_0}[f(x)\pm g(x)]=A\pm B$。
  • $\lim\limits_{x\to x_0}[f(x)g(x)]=AB$。
  • 若 $B\ne0$，则 $\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac AB$。
  • 上述结论对单侧极限和 $x\to\infty$ 的极限同样成立。

3.2.4 海涅定理

$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A$ 当且仅当：对任意满足 $x_n\ne x_0$ 且 $x_n\to x_0$ 的数列 ${x_n}$，都有 $$\lim_{n\to\infty}f(x_n)=A.$$

  • 海涅定理把函数极限转化为数列极限，是证明函数极限不存在的重要工具： 若能找到两个数列 $x_n\to x_0$、$y_n\to x_0$，使 $f(x_n)$ 与 $f(y_n)$ 的极限不同，则 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$ 不存在。
  • 复合函数极限：若 $\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=u_0$，$\lim\limits_{u\to u_0}f(u)=A$，且 $g(x)\ne u_0$（或 $f$ 在 $u_0$ 连续），则 $$\lim_{x\to x_0}f(g(x))=A.$$

3.3 无穷小与无穷大

3.3.1 无穷小

若 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=0$，则称 $f(x)$ 是当 $x\to x_0$ 时的无穷小。

  • $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A$ 当且仅当 $f(x)=A+\alpha(x)$，其中 $\alpha(x)$ 是无穷小。
  • 有限个无穷小的和、积仍是无穷小。
  • 有界函数与无穷小的乘积是无穷小。
  • 常数 $0$ 是无穷小；非零常数不是无穷小。

3.3.2 无穷小的比较

设 $\alpha,\beta$ 是同一极限过程中的无穷小，且 $\beta\ne0$。

  • 若 $\lim\dfrac\alpha\beta=0$，则称 $\alpha$ 是比 $\beta$ 高阶的无穷小，记作 $\alpha=o(\beta)$。
  • 若 $\lim\dfrac\alpha\beta=\infty$，则称 $\alpha$ 是比 $\beta$ 低阶的无穷小。
  • 若 $\lim\dfrac\alpha\beta=c\ne0$，则称 $\alpha$ 与 $\beta$ 是同阶无穷小。
  • 若 $\lim\dfrac\alpha\beta=1$，则称 $\alpha$ 与 $\beta$ 是等价无穷小，记作 $\alpha\sim\beta$。
  • 若存在 $k>0$，使 $\lim\dfrac\alpha{\beta^k}=c\ne0$，则称 $\alpha$ 是 $\beta$ 的 $k$ 阶无穷小。

常用等价无穷小（$x\to0$）：

  • $\sin x\sim x$，$\tan x\sim x$，$\arcsin x\sim x$，$\arctan x\sim x$。

  • $1-\cos x\sim\dfrac{x^2}2$。

  • $\ln(1+x)\sim x$，$\mathrm e^x-1\sim x$。

  • $(1+x)^\alpha-1\sim\alpha x$。

  • $a^x-1\sim x\ln a$。

  • $x-\sin x\sim\dfrac{x^3}6$，$\tan x-x\sim\dfrac{x^3}3$。

  • $\arcsin x-x\sim\dfrac{x^3}6$，$x-\arctan x\sim\dfrac{x^3}3$。

  • 等价无穷小替换只能用于乘除因子，不能随意用于加减；加减中若替换后主项相消，需要保留更高阶项。

3.3.3 无穷大

  • 若 $\lim\limits_{x\to x_0}|f(x)|=+\infty$，则称 $f(x)$ 是当 $x\to x_0$ 时的无穷大。
  • 无穷大的倒数是无穷小；无穷小的倒数（非零）是无穷大。
  • 两个无穷大之和不一定为无穷大，例如 $x$ 与 $-x$。
  • 无穷大与有界函数之和仍为无穷大；无穷大与有界函数之积不一定。

3.4 两个重要极限

3.4.1 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1$

  • 证明思路：在单位圆中比较 $\sin x$、$x$、$\tan x$ 的大小，得到 $$\cos x<\frac{\sin x}{x}<1\quad\left(0<|x|<\frac\pi2\right),$$ 再由 $\cos x\to1$ 与夹逼定理得证。
  • 常用推论： $$\lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}=1,\qquad \lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac12,\qquad \lim_{x\to0}\frac{\arcsin x}{x}=1.$$

3.4.2 $\lim\limits_{x\to\infty}\left(1+\dfrac1x\right)^x=\mathrm e$

  • 等价形式： $$\lim_{x\to0}(1+x)^{1/x}=\mathrm e,\qquad \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac ax\right)^x=\mathrm e^a,\qquad \lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}x=1.$$
  • 一般地，若 $\lim u(x)=0$，则 $\ln(1+u(x))\sim u(x)$，$\mathrm e^{u(x)}-1\sim u(x)$。

3.5 函数的连续性

3.5.1 连续的定义

设 $f$ 在点 $x_0$ 的某邻域内有定义。若 $$\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0),$$ 则称 $f$ 在 $x_0$ 处连续。

  • 等价定义（$\varepsilon$-$\delta$）：对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，当 $|x-x_0|<\delta$ 时，$|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon$。
  • 增量形式：记 $\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$，则 $f$ 在 $x_0$ 连续当且仅当 $$\lim_{\Delta x\to0}\Delta y=0.$$
  • 左连续：$\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)=f(x_0)$；右连续：$\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)=f(x_0)$。
  • $f$ 在 $x_0$ 连续当且仅当它在 $x_0$ 既左连续又右连续。
  • 若 $f$ 在区间 $I$ 上每一点都连续，则称 $f$ 在 $I$ 上连续；在闭区间 $[a,b]$ 上连续指在 $(a,b)$ 内每点连续，且在 $a$ 右连续、在 $b$ 左连续。

3.5.2 间断点及其分类

若 $f$ 在 $x_0$ 的某去心邻域内有定义，但在 $x_0$ 处不连续，则称 $x_0$ 为间断点。

  • 第一类间断点：左右极限都存在。
    • 可去间断点：左极限 $=$ 右极限，但不等于 $f(x_0)$ 或 $f(x_0)$ 无定义。
    • 跳跃间断点：左极限 $\ne$ 右极限。
  • 第二类间断点：左右极限中至少有一个不存在。
    • 无穷间断点：至少一侧极限为无穷大，例如 $\dfrac1x$ 在 $0$ 处。
    • 振荡间断点：函数值在有限范围内无限振荡，例如 $\sin\dfrac1x$ 在 $0$ 处。

连续与间断点的类型

3.5.3 连续函数的运算

  • 若 $f,g$ 在 $x_0$ 连续，则 $f\pm g$、$fg$、$\dfrac fg$（$g(x_0)\ne0$）在 $x_0$ 连续。
  • 若 $g$ 在 $x_0$ 连续，$f$ 在 $u_0=g(x_0)$ 连续，则 $f(g(x))$ 在 $x_0$ 连续。
  • 若 $f$ 在区间上严格单调且连续，则其反函数在值域区间上连续且严格单调。

3.5.4 初等函数的连续性

  • 基本初等函数在其定义域内连续。
  • 一切初等函数在其定义区间内连续。
  • 因此，求初等函数在其定义区间内某点的极限，可直接代入函数值。
  • 幂指函数 $u(x)^{v(x)}=\mathrm e^{v(x)\ln u(x)}$（$u(x)>0$）的极限可转化为指数上的极限。

3.6 闭区间上连续函数的性质

设 $f$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续。

3.6.1 有界性与最值定理

有界性定理：$f$ 在 $[a,b]$ 上有界。

最值定理：$f$ 在 $[a,b]$ 上必取得最大值和最小值，即存在 $x_1,x_2\in[a,b]$，使对一切 $x\in[a,b]$ 有 $$f(x_1)\le f(x)\le f(x_2).$$

  • 注意“闭区间”和“连续”两个条件缺一不可。例如 $f(x)=\dfrac1x$ 在 $(0,1]$ 上连续但无界；$f(x)=x$（$0\le x<1$），$f(1)=0$ 在 $[0,1]$ 上有界但无最大值。

3.6.2 介值定理

若 $f(a)\ne f(b)$，则对 $f(a)$ 与 $f(b)$ 之间的任意实数 $\mu$，存在 $\xi\in(a,b)$，使 $$f(\xi)=\mu.$$

  • 特别地，若 $f(a)f(b)<0$，则存在 $\xi\in(a,b)$，使 $f(\xi)=0$（零点定理）。
  • 连续函数把区间映成区间：$f([a,b])=[m,M]$，其中 $m,M$ 分别为最小值与最大值。

3.6.3 连续函数值域的连续性

  • 若 $f$ 在区间 $I$ 上连续，则 $f(I)$ 也是区间。
  • 若 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续且严格单调，则 $f$ 的值域为 $[f(a),f(b)]$（递增情形）或 $[f(b),f(a)]$（递减情形），且反函数连续。

3.7 一致连续

3.7.1 定义

设 $f$ 在区间 $I$ 上有定义。若对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，使对任意 $x_1,x_2\in I$，只要 $|x_1-x_2|<\delta$，就有 $$|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon,$$ 则称 $f$ 在 $I$ 上一致连续。

  • 一致连续与普通连续的区别：$\delta$ 只依赖于 $\varepsilon$，不依赖于点的位置。
  • 一致连续必连续；反之不成立。
  • 康托尔定理：若 $f$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，则 $f$ 在 $[a,b]$ 上一致连续。
  • 有界开区间上连续不一定一致连续：$f(x)=\dfrac1x$ 在 $(0,1)$ 上连续，但不一致连续。
  • 若 $f$ 在 $I$ 上满足利普希茨条件：存在 $L>0$，使 $$|f(x_1)-f(x_2)|\le L|x_1-x_2|,$$ 则 $f$ 在 $I$ 上一致连续。
  • 若 $f$ 在 $I$ 上一致连续，则它把柯西数列映成柯西数列。

3.8 实数完备性定理

以下命题彼此等价，统称实数完备性定理：

  1. 确界原理：非空有上界的实数集必有上确界。
  2. 单调有界定理：单调有界数列必收敛。
  3. 闭区间套定理：若 $[a_n,b_n]$ 满足 $[a_{n+1},b_{n+1}]\subseteq[a_n,b_n]$ 且 $b_n-a_n\to0$，则存在唯一的 $\xi$，使 $\xi\in[a_n,b_n]$（$n=1,2,\dots$）。
  4. 有限覆盖定理：闭区间 $[a,b]$ 的任意开覆盖都有有限子覆盖。
  5. 聚点定理：有界无限点集必有聚点。
  6. 柯西收敛准则：数列收敛当且仅当它是柯西数列。
  • 这些定理是同一完备性的不同表现形式，在证明中常根据需要选用。
  • 闭区间上连续函数的有界性、最值性、一致连续性都可以用有限覆盖定理或聚点定理证明。
  • 介值定理主要依赖连续性和实数稠密性。

3.9 常见极限的计算

  1. 直接代入：初等函数在定义区间内的点可直接代入。
  2. 约去零因子：适用于 $\dfrac00$ 型有理式。
  3. 有理化：适用于含根式的差。
  4. 等价无穷小替换：适用于乘除结构。
  5. 两个重要极限：$\dfrac{\sin x}{x}$ 型与 $(1+u)^{1/u}$ 型。
  6. 取对数：适用于 $1^\infty$、$0^0$、$\infty^0$ 型幂指函数。
  7. 洛必达法则：见第 5 章，适用于 $\dfrac00$、$\dfrac\infty\infty$ 型。
  8. 夹逼定理：适用于有界振荡、取整、分段放缩。

练习

  1. 用 $\varepsilon$-$\delta$ 定义证明 $\lim\limits_{x\to2}(3x+1)=7$。

  2. 用 $\varepsilon$-$\delta$ 定义证明 $\lim\limits_{x\to1}x^2=1$。

  3. 设 $$f(x)=\begin{cases}x+1,&x<0,\0,&x=0,\x-1,&x>0.\end{cases}$$ 求 $\lim\limits_{x\to0^-}f(x)$、$\lim\limits_{x\to0^+}f(x)$，并判断 $\lim\limits_{x\to0}f(x)$ 是否存在。

  4. 求下列极限： （1）$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin3x}{x}$； （2）$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{1-\cos x}{x^2}$； （3）$\lim\limits_{x\to\infty}\left(1+\dfrac2x\right)^x$； （4）$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\mathrm e^x-1}{x}$； （5）$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\ln(1+x)}x$； （6）$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\tan x}{x}$。

  5. 讨论函数 $$f(x)=\begin{cases}x\sin\dfrac1x,&x\ne0,\0,&x=0\end{cases}$$ 在 $x=0$ 处的连续性。

  6. 指出下列函数的间断点，并说明类型： （1）$f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}$； （2）$f(x)=\begin{cases}x+1,&x<0,\x-1,&x\ge0;\end{cases}$ （3）$f(x)=\sin\dfrac1x$（$x\ne0$），$f(0)=0$。

  7. 证明 $f(x)=x^2$ 在 $[0,1]$ 上一致连续。

  8. 证明方程 $x^3-3x+1=0$ 在 $(-2,-1)$、$(0,1)$、$(1,2)$ 内各有一个实根。

  9. 设 $$f(x)=\begin{cases}\dfrac{\sin ax}{x},&x<0,\2,&x=0,\\dfrac{\ln(1+bx)}x,&x>0.\end{cases}$$ 若 $f$ 在 $x=0$ 处连续，求 $a,b$ 的值。

  10. 证明 $f(x)=\dfrac1x$ 在 $(0,1)$ 上不一致连续。

  11. 用夹逼定理求 $\lim\limits_{x\to0}x\sin\dfrac1x$。

  12. 设 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，且 $f(a)f(b)<0$。证明存在 $\xi\in(a,b)$，使 $f(\xi)=0$。

检测题

  1. 求下列极限： （1）$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sqrt{1+x}-1}{x}$； （2）$\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)$； （3）$\lim\limits_{x\to0}(1+x)^{1/x}$； （4）$\lim\limits_{x\to0}(\cos x)^{1/x^2}$。

  2. 求 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x}{|x|}$，并说明 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}$ 与它的区别。

  3. 证明 $$f(x)=\begin{cases}x\sin\dfrac1x,&x\ne0,\0,&x=0\end{cases}$$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续。

  4. 指出下列间断点的类型： （1）$x=1$ 是 $f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}$ 的间断点； （2）$x=0$ 是 $f(x)=\begin{cases}0,&x<0,\1,&x\ge0\end{cases}$ 的间断点； （3）$x=0$ 是 $f(x)=\sin\dfrac1x$ 的间断点。

  5. 证明 $f(x)=\sqrt x$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致连续。

  6. 证明 $f(x)=x^2$ 在 $\mathbb{R}$ 上不一致连续。

  7. 证明方程 $x=\cos x$ 在 $(0,1)$ 内有且仅有一个实根。

  8. 设 $f$ 在 $[0,1]$ 上连续，且 $f(0)=f(1)$。证明存在 $x\in\left[0,\dfrac12\right]$，使 $$f(x)=f\left(x+\frac12\right).$$

  9. 设 $$f(x)=\begin{cases}\dfrac{x^2-1}{x-1},&x\ne1,\a,&x=1.\end{cases}$$ 若 $f$ 在 $x=1$ 处连续，求 $a$。

  10. 判断命题“若 $f$ 在 $(a,b)$ 上连续，则 $f$ 在 $(a,b)$ 上有界”是否正确，并说明理由。

参考答案与提示

  1. 任给 $\varepsilon>0$，要使 $|(3x+1)-7|=3|x-2|<\varepsilon$，只需 $|x-2|<\dfrac\varepsilon3$。取 $\delta=\dfrac\varepsilon3$，则当 $0<|x-2|<\delta$ 时，$|f(x)-7|<\varepsilon$。
  2. 任给 $\varepsilon>0$，当 $0<|x-1|<1$ 时，$|x+1|<3$，于是 $$|x^2-1|=|x-1||x+1|<3|x-1|.$$ 取 $\delta=\min\left{1,\dfrac\varepsilon3\right}$，则当 $0<|x-1|<\delta$ 时，$|x^2-1|<\varepsilon$。
  3. $\lim\limits_{x\to0^-}f(x)=1$，$\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=-1$。左右极限不相等，故 $\lim\limits_{x\to0}f(x)$ 不存在。
  4. （1）$\dfrac{\sin3x}{x}=3\cdot\dfrac{\sin3x}{3x}\to3$；（2）$\dfrac{1-\cos x}{x^2}=\dfrac{2\sin^2(x/2)}{x^2}\to\dfrac12$；（3）$\mathrm e^2$；（4）$1$；（5）$1$；（6）$1$。
  5. 因为 $\left|x\sin\dfrac1x\right|\le|x|$，所以 $\lim\limits_{x\to0}f(x)=0=f(0)$，故 $f$ 在 $x=0$ 处连续。
  6. （1）$x=1$ 是可去间断点（$\lim\limits_{x\to1}f(x)=2$）；（2）$x=0$ 是跳跃间断点（左极限 $1$，右极限 $-1$）；（3）$x=0$ 是振荡间断点（第二类）。
  7. 对任意 $x,y\in[0,1]$， $$|x^2-y^2|=|x-y||x+y|\le2|x-y|.$$ 给定 $\varepsilon>0$，取 $\delta=\dfrac\varepsilon2$，则当 $|x-y|<\delta$ 时，$|x^2-y^2|<\varepsilon$。故一致连续。
  8. 令 $f(x)=x^3-3x+1$。$f(-2)=-1<0$，$f(-1)=3>0$，故在 $(-2,-1)$ 内有零点；$f(0)=1>0$，$f(1)=-1<0$，故在 $(0,1)$ 内有零点；$f(1)=-1<0$，$f(2)=3>0$，故在 $(1,2)$ 内有零点。由零点定理得证。
  9. 左极限 $\lim\limits_{x\to0^-}\dfrac{\sin ax}{x}=a$；右极限 $\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{\ln(1+bx)}x=b$。连续性要求 $a=2$，$b=2$。
  10. 取 $x_n=\dfrac1n$，$y_n=\dfrac1{2n}$，则 $|x_n-y_n|=\dfrac1{2n}\to0$，但 $$\left|\frac1{x_n}-\frac1{y_n}\right|=|n-2n|=n\to+\infty,$$ 故不一致连续。
  11. 因为 $0\le\left|x\sin\dfrac1x\right|\le|x|$，由夹逼定理得极限为 $0$。
  12. 不妨设 $f(a)<0<f(b)$。由介值定理，对 $\mu=0$，存在 $\xi\in(a,b)$，使 $f(\xi)=0$。

检测题参考答案

  1. （1）有理化：$\dfrac{\sqrt{1+x}-1}{x}=\dfrac1{\sqrt{1+x}+1}\to\dfrac12$；（2）有理化：$\dfrac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}\to\dfrac12$；（3）$\mathrm e$；（4）取对数， $$\ln(\cos x)^{1/x^2}=\frac{\ln\cos x}{x^2}\sim\frac{\cos x-1}{x^2}\to-\frac12,$$ 故原极限为 $\mathrm e^{-1/2}$。
  2. 右极限 $\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{\sin x}{|x|}=1$，左极限 $\lim\limits_{x\to0^-}\dfrac{\sin x}{|x|}=-1$，故 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x}{|x|}$ 不存在。而 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1$，因为分母 $x$ 可取负值，分子与分母同号。
  3. 当 $x\ne0$ 时，$x\sin\dfrac1x$ 是连续函数的乘积，连续。在 $x=0$ 处， $$\left|x\sin\frac1x\right|\le|x|\to0,$$ 故 $\lim\limits_{x\to0}f(x)=0=f(0)$，所以 $f$ 在 $0$ 处连续。综上 $f$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续。
  4. （1）可去间断点；（2）跳跃间断点；（3）振荡间断点（第二类）。
  5. 对任意 $x,y\ge0$， $$|\sqrt x-\sqrt y|\le\sqrt{|x-y|}.$$ 给定 $\varepsilon>0$，取 $\delta=\varepsilon^2$，则当 $|x-y|<\delta$ 时，$|\sqrt x-\sqrt y|<\varepsilon$。故一致连续。
  6. 取 $x_n=n$，$y_n=n+\dfrac1n$，则 $|x_n-y_n|=\dfrac1n\to0$，但 $$|x_n^2-y_n^2|=\left(n+\frac1n\right)^2-n^2=2+\frac1{n^2}\to2\ne0,$$ 故不一致连续。
  7. 令 $f(x)=x-\cos x$，则 $f(0)=-1<0$，$f(1)=1-\cos1>0$，由零点定理，在 $(0,1)$ 内有根。又 $f'(x)=1+\sin x>0$，故 $f$ 严格递增，根唯一。
  8. 令 $g(x)=f(x)-f\left(x+\dfrac12\right)$，$x\in\left[0,\dfrac12\right]$。则 $$g(0)=f(0)-f\left(\frac12\right),\qquad g\left(\frac12\right)=f\left(\frac12\right)-f(1)=-\left(f(1)-f\left(\frac12\right)\right).$$ 由 $f(0)=f(1)$ 得 $g\left(\dfrac12\right)=-g(0)$。若 $g(0)=0$，取 $x=0$；否则由零点定理，存在 $x\in\left(0,\dfrac12\right)$，使 $g(x)=0$，即 $f(x)=f\left(x+\dfrac12\right)$。
  9. 当 $x\ne1$ 时，$f(x)=x+1$，故 $\lim\limits_{x\to1}f(x)=2$。连续性要求 $a=2$。
  10. 不正确。例如 $f(x)=\dfrac1x$ 在 $(0,1)$ 上连续，但无界。