第 10 章数项级数

本章整理数项级数的收敛性、正项级数判别法、交错级数、绝对收敛与条件收敛、狄利克雷与阿贝尔判别法以及级数的运算。级数是极限理论的延伸，也是幂级数和傅里叶级数的基础。

10.1 级数的概念

10.1.1 定义

给定数列 ${a_n}$，称形式和 $$\sum_{n=1}^{\infty}a_n=a_1+a_2+\cdots+a_n+\cdots$$ 为无穷级数（数项级数），$a_n$ 称为通项。

作部分和 $$S_n=\sum_{k=1}^na_k.$$ 若数列 ${S_n}$ 收敛于有限极限 $S$，则称级数收敛，$S$ 称为级数的和，记作 $$\sum_{n=1}^{\infty}a_n=S.$$ 若 ${S_n}$ 发散，则称级数发散。

级数收敛等价于部分和数列收敛。
级数的和与有限和不同，不能随意交换、分组、重排。
余项：$R_n=S-S_n=\displaystyle\sum_{k=n+1}^{\infty}a_k$，收敛时 $R_n\to0$。

10.1.2 几何级数

$$\sum_{n=0}^{\infty}q^n=\frac1{1-q}\quad(|q|<1).$$

当 $|q|<1$ 时收敛；当 $|q|\ge1$ 时发散（$q=-1$ 时部分和在 $1$ 与 $0$ 间振荡）。

10.1.3 柯西收敛准则

级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ 收敛当且仅当：对任意 $\varepsilon>0$，存在 $N\in\mathbb{N}^$，使对任意 $n>N$ 及 $p\in\mathbb{N}^$，都有 $$\left|a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots+a_{n+p}\right|<\varepsilon.$$

取 $p=1$ 得必要条件：若级数收敛，则 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0$。
反之不成立：调和级数 $\displaystyle\sum\frac1n$ 的通项趋于 $0$，但级数发散。
若 $a_n\not\to0$，则级数必发散。

10.1.4 收敛级数的性质

线性性质：若 $\sum a_n$、$\sum b_n$ 收敛，则 $\sum(\alpha a_n+\beta b_n)$ 收敛，且 $$\sum_{n=1}^{\infty}(\alpha a_n+\beta b_n) =\alpha\sum_{n=1}^{\infty}a_n+\beta\sum_{n=1}^{\infty}b_n.$$
改变有限项不影响级数的敛散性，但会改变和。
收敛级数可以任意加括号而不改变和；但发散级数加括号后可能收敛，因此不能由加括号后的级数收敛推出原级数收敛。
去括号：若去括号后的级数收敛，不能推出原级数收敛；需要另作判断。

10.2 正项级数

以下设 $a_n\ge0$。

10.2.1 基本判别法

正项级数 $\displaystyle\sum a_n$ 收敛当且仅当其部分和数列 ${S_n}$ 有上界。

正项级数部分和单调递增，因此只有“收敛于有限值”和“发散到 $+\infty$”两种情形。

10.2.2 比较判别法

设 $0\le a_n\le Cb_n$（$n>N_0$，$C>0$）。

若 $\displaystyle\sum b_n$ 收敛，则 $\displaystyle\sum a_n$ 收敛。
若 $\displaystyle\sum a_n$ 发散，则 $\displaystyle\sum b_n$ 发散。

10.2.3 极限比较法

设 $a_n,b_n>0$，且 $$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=l.$$

若 $0<l<+\infty$，则两级数同敛散。
若 $l=0$，且 $\sum b_n$ 收敛，则 $\sum a_n$ 收敛。
若 $l=+\infty$，且 $\sum b_n$ 发散，则 $\sum a_n$ 发散。
常用参照级数： $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^p}\quad\begin{cases}\text{收敛},&p>1,\\text{发散},&p\le1.\end{cases}$$

10.2.4 积分判别法

设 $f$ 在 $[1,+\infty)$ 上非负、连续且单调递减，$a_n=f(n)$，则 $$\sum_{n=1}^{\infty}a_n\text{ 收敛}\iff\int_1^{+\infty}f(x),\mathrm dx\text{ 收敛}.$$

例：$\displaystyle\sum\frac1{n\ln^p n}$ 当 $p>1$ 时收敛，$p\le1$ 时发散。

10.2.5 比值判别法（达朗贝尔）

设 $a_n>0$，且 $$\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=q.$$

若 $q<1$，则 $\sum a_n$ 收敛。
若 $q>1$（含 $q=+\infty$），则 $\sum a_n$ 发散。
若 $q=1$，判别法失效。

10.2.6 根值判别法（柯西）

设 $a_n\ge0$，且 $$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=q.$$

若 $q<1$，则 $\sum a_n$ 收敛。
若 $q>1$（含 $q=+\infty$），则 $\sum a_n$ 发散。
若 $q=1$，判别法失效。

10.2.7 拉阿伯判别法

设 $a_n>0$，且 $$\lim_{n\to\infty}n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)=r.$$

若 $r>1$，则 $\sum a_n$ 收敛。
若 $r<1$，则 $\sum a_n$ 发散。
若 $r=1$，判别法失效。
拉阿伯判别法适用于比值判别法中 $q=1$ 的情形，例如 $\sum\dfrac1{n^p}$。

10.2.8 判别法选用顺序

通项是否趋于 $0$；不趋于 $0$ 则发散。
是否为几何级数或 $p$ 级数。
与已知级数比较（比较法、极限比较法）。
含 $n!$、$a^n$、$n^n$ 等因子时用比值法或根值法。
含 $\ln n$、一般幂次时用积分判别法。
比值/根值法失效时用拉阿伯判别法或更精细的比较。

10.3 任意项级数

10.3.1 绝对收敛

若 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|$ 收敛，则称 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ 绝对收敛。

定理：绝对收敛的级数必收敛，且 $$\left|\sum_{n=1}^{\infty}a_n\right|\le\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|.$$

证明：设 $b_n=\dfrac{|a_n|+a_n}2$，$c_n=\dfrac{|a_n|-a_n}2$，则 $b_n,c_n\ge0$，$b_n\le|a_n|$，$c_n\le|a_n|$，且 $a_n=b_n-c_n$。由比较判别法，$\sum b_n$、$\sum c_n$ 都收敛，故 $\sum a_n$ 收敛。

10.3.2 条件收敛

若 $\sum a_n$ 收敛但 $\sum|a_n|$ 发散，则称 $\sum a_n$ 条件收敛。
例：$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}n$ 条件收敛，和为 $\ln2$。
例：$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n^2}$ 绝对收敛。

10.3.3 交错级数与莱布尼茨判别法

设 $a_n>0$，且：（1）${a_n}$ 单调递减；（2）$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0$，则交错级数 $$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}a_n=a_1-a_2+a_3-a_4+\cdots$$ 收敛，且其和 $S$ 满足 $$0<S<a_1,$$ 余项估计为 $$|R_n|\le a_{n+1}.$$

莱布尼茨判别法是交错级数的充分条件，不是必要条件。
若 ${a_n}$ 不单调，交错级数仍可能收敛；此时可用狄利克雷判别法。
交错级数的和介于任意两个相邻部分和之间。

10.3.4 狄利克雷判别法

若：（1）级数 $\displaystyle\sum b_n$ 的部分和有界，即存在 $M>0$，使 $$\left|\sum_{k=1}^nb_k\right|\le M\quad(n=1,2,\dots);$$ （2）${a_n}$ 单调，且 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0$，则 $\displaystyle\sum a_nb_n$ 收敛。

典型应用：$b_n=\sin n$ 或 $\cos n$，$a_n=\dfrac1{n^p}$（$p>0$）。由三角和公式， $$\left|\sum_{k=1}^n\sin k\right|\le\frac1{\left|\sin\frac12\right|},\qquad \left|\sum_{k=1}^n\cos k\right|\le\frac1{\left|\sin\frac12\right|},$$ 故 $\displaystyle\sum\frac{\sin n}{n^p}$、$\displaystyle\sum\frac{\cos n}{n^p}$ 对 $p>0$ 收敛。

10.3.5 阿贝尔判别法

若：（1）级数 $\displaystyle\sum b_n$ 收敛；（2）${a_n}$ 单调且有界，则 $\displaystyle\sum a_nb_n$ 收敛。

10.4 绝对收敛级数的性质

10.4.1 重排

绝对收敛级数任意重排后仍绝对收敛，且和不变。

条件收敛级数不具有此性质。黎曼重排定理：条件收敛级数可通过重排使其部分和收敛于任意指定的实数，或发散到 $\pm\infty$。
因此，条件收敛级数不能随意交换各项次序。

10.4.2 柯西乘积

设 $$A=\sum_{n=0}^{\infty}a_n,\qquad B=\sum_{n=0}^{\infty}b_n.$$ 定义 $$c_n=\sum_{k=0}^na_kb_{n-k},$$ 则 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}c_n$ 称为两级数的柯西乘积。

若 $\sum a_n$、$\sum b_n$ 都绝对收敛，则柯西乘积绝对收敛，且 $$\sum_{n=0}^{\infty}c_n=AB.$$
梅尔滕斯定理：若 $\sum a_n$ 绝对收敛，$\sum b_n$ 收敛，则柯西乘积收敛，且和为 $AB$。

10.5 常见级数的和

$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}q^n=\frac1{1-q}$（$|q|<1$）。
$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n(n+1)}=1$。
$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n!}=\mathrm e-1$。
$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}=\mathrm e^x$。
$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}n=\ln2$。
$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^2}=\frac{\pi^2}6$。
$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{(2n-1)^2}=\frac{\pi^2}8$。
$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{2n-1}=\frac\pi4$。
$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n(n+1)(n+2)}=\frac14$。
调和级数 $\displaystyle\sum\frac1n$ 发散，且部分和 $H_n\sim\ln n+\gamma$，其中 $\gamma\approx0.5772$ 为欧拉常数。

10.6 判别流程

检查通项是否趋于 $0$；不趋于 $0$ 则发散。
若为交错级数，先看是否满足莱布尼茨条件。
判断绝对收敛：对 $\sum|a_n|$ 使用正项级数判别法。
若绝对收敛，则原级数收敛。
若绝对值级数发散，再判断原级数是否条件收敛（莱布尼茨、狄利克雷、阿贝尔）。
含参数时，对参数分类讨论。

练习

求 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n(n+1)}$。
求几何级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac23\right)^n$ 的和。
讨论 $p$ 级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^p}$ 的敛散性。
判断 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n+1}{n^3+1}$ 的敛散性。
判断 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2n+1}$ 的敛散性。
判断 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{n^n}$ 的敛散性。
判断 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{2n+1}\right)^n$ 的敛散性。
判断 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt n}$ 是绝对收敛还是条件收敛。
判断 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2+1}$ 的敛散性。
判断 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\sin\frac1n$ 的敛散性。
判断 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\cos\frac1n\right)$ 的敛散性。
求 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n(n+2)}$。

检测题

判断 $\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac1{n\ln^2n}$ 的敛散性。
判断 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\ln\left(1+\frac1n\right)$ 的敛散性。
判断 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{n}{n^2+1}$ 是绝对收敛还是条件收敛。
判断 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^nn!}{n^n}$ 的敛散性。
判断 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{\sqrt{n(n+1)}}$ 的敛散性。
判断 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n^2}$ 的敛散性。
判断 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{\ln(n+1)}$ 是绝对收敛还是条件收敛。
判断 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{3^n}$ 的敛散性。
求 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n(n+1)(n+2)}$。
判断 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin\frac{n\pi}2}{n}$ 是绝对收敛还是条件收敛。

参考答案与提示

裂项： $$\frac1{n(n+1)}=\frac1n-\frac1{n+1},$$ 部分和 $S_n=1-\dfrac1{n+1}\to1$，故和为 $1$。
$$\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac23\right)^n =\frac{\frac23}{1-\frac23}=2.$$
当 $p>1$ 时收敛，当 $p\le1$ 时发散。可由积分判别法或与 $\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{\mathrm dx}{x^p}$ 比较得到。
当 $n\to\infty$ 时， $$\frac{n+1}{n^3+1}\sim\frac1{n^2},$$ 而 $\displaystyle\sum\frac1{n^2}$ 收敛，故原级数收敛。
通项 $\dfrac{n}{2n+1}\to\dfrac12\ne0$，故级数发散。
令 $a_n=\dfrac{n!}{n^n}$，则 $$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\left(\frac{n}{n+1}\right)^n\to\frac1{\mathrm e}<1,$$ 故级数收敛。
根值： $$\sqrt[n]{\left(\frac{n}{2n+1}\right)^n}=\frac{n}{2n+1}\to\frac12<1,$$ 故级数收敛。
由莱布尼茨判别法（$\dfrac1{\sqrt n}$ 单调递减趋于 $0$），原级数收敛。但 $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{\sqrt n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^{1/2}}$$ 发散（$p=\dfrac12\le1$），故为条件收敛。
$$\left|\frac{(-1)^n}{n^2+1}\right|\le\frac1{n^2},$$ 而 $\displaystyle\sum\frac1{n^2}$ 收敛，故绝对收敛，从而收敛。
当 $n\to\infty$ 时，$\sin\dfrac1n\sim\dfrac1n$，而调和级数发散，故原级数发散。
$$1-\cos\frac1n\sim\frac1{2n^2},$$ 而 $\displaystyle\sum\frac1{n^2}$ 收敛，故原级数收敛。
裂项： $$\frac1{n(n+2)}=\frac12\left(\frac1n-\frac1{n+2}\right),$$ 部分和 $$S_n=\frac12\left(1+\frac12-\frac1{n+1}-\frac1{n+2}\right)\to\frac34.$$ 故和为 $\dfrac34$。

检测题参考答案

令 $f(x)=\dfrac1{x\ln^2x}$，则 $f$ 在 $[2,+\infty)$ 上非负、连续、递减，且 $$\int_2^{+\infty}\frac{\mathrm dx}{x\ln^2x} =\int_{\ln2}^{+\infty}\frac{\mathrm du}{u^2}<+\infty,$$ 故级数收敛。
部分和 $$S_n=\sum_{k=1}^n\ln\left(1+\frac1k\right) =\sum_{k=1}^n\left[\ln(k+1)-\ln k\right]=\ln(n+1)\to+\infty,$$ 故级数发散。
由莱布尼茨判别法，$\dfrac{n}{n^2+1}$ 从某项以后单调递减趋于 $0$，故级数收敛。但 $$\frac{n}{n^2+1}\sim\frac1n,$$ 而调和级数发散，故绝对值级数发散。因此是条件收敛。
令 $a_n=\dfrac{2^nn!}{n^n}$，则 $$\frac{a_{n+1}}{a_n} =2\left(\frac{n}{n+1}\right)^n\to\frac2{\mathrm e}<1,$$ 故级数收敛。
$$\frac1{\sqrt{n(n+1)}}\sim\frac1n,$$ 故级数发散。
根值： $$\sqrt[n]{\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n^2}} =\left(\frac{n}{n+1}\right)^n\to\frac1{\mathrm e}<1,$$ 故级数收敛。
由莱布尼茨判别法，$\dfrac1{\ln(n+1)}$ 单调递减趋于 $0$，故级数收敛。但 $$\frac1{\ln(n+1)}>\frac1{n+1},$$ 而调和级数发散，故绝对值级数发散。因此是条件收敛。
比值： $$\frac{a_{n+1}}{a_n} =\frac{(n+1)^2}{3^{n+1}}\cdot\frac{3^n}{n^2} =\frac13\left(1+\frac1n\right)^2\to\frac13<1,$$ 故级数收敛。
裂项： $$\frac1{n(n+1)(n+2)} =\frac12\left[\frac1{n(n+1)}-\frac1{(n+1)(n+2)}\right].$$ 部分和 $$S_n=\frac12\left[\frac12-\frac1{(n+1)(n+2)}\right]\to\frac14.$$
级数为 $$1-\frac13+\frac15-\frac17+\cdots=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1},$$ 由莱布尼茨判别法收敛，和为 $\dfrac\pi4$。但绝对值级数为调和级数的奇数项，发散。因此是条件收敛。

第10章-数项级数

第 10 章 数项级数