第 6 章 不定积分

本章整理原函数与不定积分的概念、基本积分表、换元积分法、分部积分法以及有理函数、三角有理式和简单无理式的积分方法。不定积分是求导的逆运算，是定积分计算的基础。

6.1 原函数与不定积分

6.1.1 原函数的定义

设 $f$ 在区间 $I$ 上有定义。若存在可导函数 $F$，使对一切 $x\in I$ 有 $$F'(x)=f(x),$$ 则称 $F$ 是 $f$ 在 $I$ 上的一个原函数。

• 若 $F$ 是 $f$ 的一个原函数，则 $F+C$（$C$ 为任意常数）也是 $f$ 的原函数。
• 若 $F$ 和 $G$ 都是 $f$ 的原函数，则 $G(x)-F(x)\equiv C$（常数）。
• 因此，$f$ 的全体原函数可表示为 $F(x)+C$。

6.1.2 原函数存在定理

若 $f$ 在区间 $I$ 上连续，则 $f$ 在 $I$ 上存在原函数。

• 连续是原函数存在的充分条件，不是必要条件。
• 有第一类间断点的函数在包含该点的区间上不存在原函数（由达布定理）。

6.1.3 不定积分的定义

$f$ 在区间 $I$ 上的全体原函数称为 $f$ 的不定积分，记作 $$\int f(x),\mathrm dx=F(x)+C,$$ 其中 $F$ 是 $f$ 的一个原函数，$C$ 为积分常数。

• $\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}\displaystyle\int f(x),\mathrm dx=f(x)$。
• $\displaystyle\int F'(x),\mathrm dx=F(x)+C$。
• 不定积分表示一族函数，不能漏写积分常数 $C$。

6.1.4 基本性质

• $\displaystyle\int [f(x)\pm g(x)],\mathrm dx=\int f(x),\mathrm dx\pm\int g(x),\mathrm dx$。
• $\displaystyle\int kf(x),\mathrm dx=k\int f(x),\mathrm dx$（$k\ne0$ 为常数）。
• 不定积分的结果可以通过求导检验。

6.2 基本积分表

$$\int x^\alpha,\mathrm dx=\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C\quad(\alpha\ne-1),$$

$$\int\frac{\mathrm dx}{x}=\ln|x|+C,$$

$$\int a^x,\mathrm dx=\frac{a^x}{\ln a}+C,\qquad \int\mathrm e^x,\mathrm dx=\mathrm e^x+C,$$

$$\int\sin x,\mathrm dx=-\cos x+C,\qquad \int\cos x,\mathrm dx=\sin x+C,$$

$$\int\sec^2x,\mathrm dx=\tan x+C,\qquad \int\csc^2x,\mathrm dx=-\cot x+C,$$

$$\int\sec x\tan x,\mathrm dx=\sec x+C,\qquad \int\csc x\cot x,\mathrm dx=-\csc x+C,$$

$$\int\frac{\mathrm dx}{1+x^2}=\arctan x+C,$$

$$\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+C,$$

$$\int\tan x,\mathrm dx=-\ln|\cos x|+C,\qquad \int\cot x,\mathrm dx=\ln|\sin x|+C,$$

$$\int\sec x,\mathrm dx=\ln|\sec x+\tan x|+C,$$

$$\int\csc x,\mathrm dx=\ln|\csc x-\cot x|+C,$$

$$\int\frac{\mathrm dx}{a^2+x^2}=\frac1a\arctan\frac xa+C\quad(a>0),$$

$$\int\frac{\mathrm dx}{x^2-a^2}=\frac1{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C,$$

$$\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin\frac xa+C\quad(a>0),$$

$$\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{x^2\pm a^2}}=\ln\left|x+\sqrt{x^2\pm a^2}\right|+C.$$

6.3 换元积分法

6.3.1 第一换元法（凑微分）

若 $\displaystyle\int f(u),\mathrm du=F(u)+C$，且 $u=\varphi(x)$ 可导，则 $$\int f(\varphi(x))\varphi'(x),\mathrm dx=F(\varphi(x))+C.$$

• 即 $$\int f(\varphi(x)),\mathrm d\varphi(x)=\int f(u),\mathrm du.$$
• 常见凑微分形式：
  • $x,\mathrm dx=\dfrac12\mathrm d(x^2)$；
  • $\dfrac{\mathrm dx}{x}=\mathrm d(\ln x)$；
  • $\mathrm e^x\mathrm dx=\mathrm d(\mathrm e^x)$；
  • $\cos x,\mathrm dx=\mathrm d(\sin x)$；
  • $\sin x,\mathrm dx=-\mathrm d(\cos x)$；
  • $\dfrac{\mathrm dx}{1+x^2}=\mathrm d(\arctan x)$；
  • $\dfrac{\mathrm dx}{\sqrt{1-x^2}}=\mathrm d(\arcsin x)$。

6.3.2 第二换元法

设 $x=\psi(t)$ 严格单调且可导，$\psi'(t)\ne0$，则 $$\int f(x),\mathrm dx=\int f(\psi(t))\psi'(t),\mathrm dt.$$ 求出右端后，用 $t=\psi^{-1}(x)$ 回代。

• 三角代换：
  • 含 $\sqrt{a^2-x^2}$：令 $x=a\sin t$，$t\in\left[-\dfrac\pi2,\dfrac\pi2\right]$。
  • 含 $\sqrt{a^2+x^2}$：令 $x=a\tan t$，$t\in\left(-\dfrac\pi2,\dfrac\pi2\right)$。
  • 含 $\sqrt{x^2-a^2}$：令 $x=a\sec t$（$x>a$ 时 $t\in\left(0,\dfrac\pi2\right)$）。
• 根式代换：含 $\sqrt[n]{ax+b}$ 时，令 $t=\sqrt[n]{ax+b}$。
• 倒代换：$x=\dfrac1t$ 适用于分母含高次幂的情形。
• 回代时可根据代换关系画直角三角形，直接写出 $\sin t$、$\cos t$、$\tan t$ 等。

6.4 分部积分法

设 $u=u(x)$，$v=v(x)$ 有连续导数，则 $$\int u,\mathrm dv=uv-\int v,\mathrm du,$$ 即 $$\int u(x)v'(x),\mathrm dx=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x),\mathrm dx.$$

• 选择 $u$ 的一般顺序：反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数（“反对幂指三”）。排在前面的优先作为 $u$。
• 常用类型：
  • $\displaystyle\int x^n\mathrm e^{ax},\mathrm dx$、$\displaystyle\int x^n\sin ax,\mathrm dx$：取 $u=x^n$，多次分部。
  • $\displaystyle\int x^n\ln x,\mathrm dx$、$\displaystyle\int x^n\arctan x,\mathrm dx$：取 $u=\ln x$ 或反三角函数。
  • $\displaystyle\int \mathrm e^{ax}\sin bx,\mathrm dx$、$\displaystyle\int \mathrm e^{ax}\cos bx,\mathrm dx$：两次分部后解方程。
• 循环积分： $$\int\mathrm e^{ax}\sin bx,\mathrm dx=\frac{\mathrm e^{ax}(a\sin bx-b\cos bx)}{a^2+b^2}+C,$$ $$\int\mathrm e^{ax}\cos bx,\mathrm dx=\frac{\mathrm e^{ax}(a\cos bx+b\sin bx)}{a^2+b^2}+C.$$

6.5 有理函数的积分

6.5.1 有理函数

• 形如 $$R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$$ 的函数叫有理函数，其中 $P,Q$ 为多项式。
• 若 $\deg P<\deg Q$，称为真分式；否则先做多项式除法，化为多项式与真分式之和。

6.5.2 部分分式分解

设 $Q(x)$ 在实数范围内分解为一次因式和不可约二次因式的乘积。真分式可分解为以下四类简单分式之和：

1. $\dfrac{A}{x-a}$；
2. $\dfrac{A}{(x-a)^k}$（$k\ge2$）；
3. $\dfrac{Bx+C}{x^2+px+q}$；
4. $\dfrac{Bx+C}{(x^2+px+q)^k}$（$k\ge2$）。

其中 $x^2+px+q$ 满足 $p^2-4q<0$。

• 分解后，比较系数或代入特殊值确定待定系数。
• 积分公式： $$\int\frac{A}{x-a},\mathrm dx=A\ln|x-a|+C,$$ $$\int\frac{A}{(x-a)^k},\mathrm dx=\frac{A}{(1-k)(x-a)^{k-1}}+C\quad(k\ge2),$$ $$\int\frac{Bx+C}{x^2+px+q},\mathrm dx =\frac B2\ln(x^2+px+q)+\frac{2C-Bp}{\sqrt{4q-p^2}}\arctan\frac{2x+p}{\sqrt{4q-p^2}}+C.$$

6.5.3 分母含重根的情形

• 对 $\dfrac{A}{(x-a)^k}$，直接套用幂函数积分。
• 对不可约二次因式的高次幂，先用配方法，再用递推公式或三角代换。

6.6 三角有理式的积分

6.6.1 万能代换

设 $t=\tan\dfrac x2$，则 $$\sin x=\frac{2t}{1+t^2},\qquad \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2},\qquad \mathrm dx=\frac{2,\mathrm dt}{1+t^2}.$$

• 任何三角有理式 $\displaystyle\int R(\sin x,\cos x),\mathrm dx$ 都可通过万能代换化为有理函数积分。
• 万能代换计算量较大，能不用时尽量不用。

6.6.2 特殊代换

• 若 $R(-\sin x,\cos x)=-R(\sin x,\cos x)$，令 $t=\cos x$。
• 若 $R(\sin x,-\cos x)=-R(\sin x,\cos x)$，令 $t=\sin x$。
• 若 $R(-\sin x,-\cos x)=R(\sin x,\cos x)$，令 $t=\tan x$。

6.6.3 形如 $\sin^m x\cos^n x$ 的积分

• $m$ 为奇数：拆分出一个 $\sin x$，令 $t=\cos x$。
• $n$ 为奇数：拆分出一个 $\cos x$，令 $t=\sin x$。
• $m,n$ 均为偶数：用倍角公式降幂： $$\sin^2x=\frac{1-\cos2x}2,\qquad \cos^2x=\frac{1+\cos2x}2,\qquad \sin x\cos x=\frac{\sin2x}2.$$

6.6.4 形如 $\sin ax\cos bx$ 的积分

利用积化和差：

• $\sin ax\cos bx=\dfrac12[\sin(a+b)x+\sin(a-b)x]$。
• $\cos ax\cos bx=\dfrac12[\cos(a+b)x+\cos(a-b)x]$。
• $\sin ax\sin bx=\dfrac12[\cos(a-b)x-\cos(a+b)x]$。

6.7 简单无理式的积分

6.7.1 根式代换

• 含 $\sqrt[n]{ax+b}$：令 $t=\sqrt[n]{ax+b}$。
• 含 $\sqrt[n]{\dfrac{ax+b}{cx+d}}$：令 $t=\sqrt[n]{\dfrac{ax+b}{cx+d}}$。
• 含 $\sqrt{a^2-x^2}$、$\sqrt{a^2+x^2}$、$\sqrt{x^2-a^2}$：用三角代换。

6.7.2 形如 $\displaystyle\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{ax^2+bx+c}}$

配方： $$ax^2+bx+c=a\left(x+\frac b{2a}\right)^2+\frac{4ac-b^2}{4a}.$$

化为 $$\int\frac{\mathrm du}{\sqrt{u^2\pm k^2}}\quad\text{或}\quad\int\frac{\mathrm du}{\sqrt{k^2-u^2}}.$$

6.7.3 形如 $\displaystyle\int\frac{px+q}{\sqrt{ax^2+bx+c}},\mathrm dx$

将分子拆成“分母内层函数的导数”与常数： $$px+q=A(2ax+b)+B.$$

则积分化为 $$A\int\frac{2ax+b}{\sqrt{ax^2+bx+c}},\mathrm dx+B\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{ax^2+bx+c}}.$$

前一项直接用 $\displaystyle\int\frac{\mathrm du}{\sqrt u}=2\sqrt u$。

6.7.4 欧拉代换

对 $\displaystyle\int R(x,\sqrt{ax^2+bx+c}),\mathrm dx$（$a\ne0$）：

• 若 $a>0$，令 $\sqrt{ax^2+bx+c}=t-\sqrt a,x$。

• 若 $c>0$，令 $\sqrt{ax^2+bx+c}=tx+\sqrt c$。

• 若 $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$，令 $\sqrt{ax^2+bx+c}=t(x-x_1)$。

• 欧拉代换理论上通用，但计算量大，通常优先考虑配方和三角代换。

6.8 积分方法总结

1. 先看能否直接套基本积分表。
2. 观察是否可以凑微分（第一换元法）。
3. 含根式考虑第二换元法或三角代换。
4. 含反三角函数、对数函数、幂函数与指数/三角函数的乘积考虑分部积分。
5. 有理函数用部分分式分解。
6. 三角有理式优先用特殊代换，最后才用万能代换。
7. 积分结果必须求导检验，并保留积分常数 $C$。

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练习

1. 求 $\displaystyle\int\left(x^3+2x+\frac1x\right)\mathrm dx$。

2. 求 $\displaystyle\int(2x+1)^5,\mathrm dx$。

3. 求 $\displaystyle\int x\mathrm e^{x^2},\mathrm dx$。

4. 求 $\displaystyle\int\ln x,\mathrm dx$。

5. 求 $\displaystyle\int x\sin x,\mathrm dx$。

6. 求 $\displaystyle\int\frac{\mathrm dx}{x^2+4x+5}$。

7. 求 $\displaystyle\int\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}},\mathrm dx$。

8. 求 $\displaystyle\int\frac{\mathrm dx}{x^2-1}$。

9. 求 $\displaystyle\int\sin^3x,\mathrm dx$。

10. 求 $\displaystyle\int\frac{\mathrm dx}{1+\sin x}$。

11. 求 $\displaystyle\int\frac{\mathrm dx}{x(x^2+1)}$。

12. 求 $\displaystyle\int\frac{\mathrm dx}{1+\sqrt x}$。

检测题

1. 求 $\displaystyle\int\left(3x^2-2x+\frac1x\right)\mathrm dx$。

2. 求 $\displaystyle\int\cos(3x+1),\mathrm dx$。

3. 求 $\displaystyle\int x^2\ln x,\mathrm dx$。

4. 求 $\displaystyle\int\mathrm e^x\cos x,\mathrm dx$。

5. 求 $\displaystyle\int\frac{\mathrm dx}{x^2+2x+2}$。

6. 求 $\displaystyle\int\frac{\mathrm dx}{x^2-4}$。

7. 求 $\displaystyle\int\sin^2x,\mathrm dx$。

8. 求 $\displaystyle\int\frac{\mathrm dx}{1+\cos x}$。

9. 求 $\displaystyle\int\sqrt{1-x^2},\mathrm dx$。

10. 求 $\displaystyle\int\frac{x}{1+x^2},\mathrm dx$。

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参考答案与提示

1. $$\int\left(x^3+2x+\frac1x\right)\mathrm dx=\frac{x^4}4+x^2+\ln|x|+C.$$
2. 令 $u=2x+1$，则 $\mathrm du=2,\mathrm dx$， $$\int(2x+1)^5,\mathrm dx=\frac12\cdot\frac{(2x+1)^6}6+C=\frac{(2x+1)^6}{12}+C.$$
3. 令 $u=x^2$，$\mathrm du=2x,\mathrm dx$， $$\int x\mathrm e^{x^2},\mathrm dx=\frac12\int\mathrm e^u,\mathrm du=\frac12\mathrm e^{x^2}+C.$$
4. 分部积分，取 $u=\ln x$，$\mathrm dv=\mathrm dx$： $$\int\ln x,\mathrm dx=x\ln x-\int x\cdot\frac1x,\mathrm dx=x\ln x-x+C.$$
5. 分部积分，取 $u=x$，$\mathrm dv=\sin x,\mathrm dx$： $$\int x\sin x,\mathrm dx=-x\cos x+\int\cos x,\mathrm dx=-x\cos x+\sin x+C.$$
6. 配方：$x^2+4x+5=(x+2)^2+1$， $$\int\frac{\mathrm dx}{x^2+4x+5}=\arctan(x+2)+C.$$
7. 令 $x=\sin t$，$\mathrm dx=\cos t,\mathrm dt$： $$\int\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}},\mathrm dx=\int\sin^2t,\mathrm dt =\frac t2-\frac{\sin2t}4+C =\frac12\arcsin x-\frac12x\sqrt{1-x^2}+C.$$
8. $$\int\frac{\mathrm dx}{x^2-1}=\frac12\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|+C.$$
9. $$\int\sin^3x,\mathrm dx=\int(1-\cos^2x)\sin x,\mathrm dx =-\cos x+\frac{\cos^3x}3+C.$$
10. 分子分母同乘 $1-\sin x$： $$\int\frac{\mathrm dx}{1+\sin x}=\int\frac{1-\sin x}{\cos^2x},\mathrm dx =\int(\sec^2x-\sec x\tan x),\mathrm dx=\tan x-\sec x+C.$$
11. 部分分式： $$\frac1{x(x^2+1)}=\frac1x-\frac{x}{x^2+1},$$ 故积分为 $$\ln|x|-\frac12\ln(x^2+1)+C.$$
12. 令 $t=\sqrt x$，则 $x=t^2$，$\mathrm dx=2t,\mathrm dt$： $$\int\frac{\mathrm dx}{1+\sqrt x}=\int\frac{2t}{1+t},\mathrm dt =2t-2\ln(1+t)+C =2\sqrt x-2\ln(1+\sqrt x)+C.$$

检测题参考答案

1. $$\int\left(3x^2-2x+\frac1x\right)\mathrm dx=x^3-x^2+\ln|x|+C.$$
2. $$\int\cos(3x+1),\mathrm dx=\frac13\sin(3x+1)+C.$$
3. 分部积分，取 $u=\ln x$，$\mathrm dv=x^2,\mathrm dx$： $$\int x^2\ln x,\mathrm dx=\frac{x^3}3\ln x-\int\frac{x^2}3,\mathrm dx =\frac{x^3}3\ln x-\frac{x^3}9+C.$$
4. 两次分部后解方程： $$\int\mathrm e^x\cos x,\mathrm dx=\frac{\mathrm e^x(\sin x+\cos x)}2+C.$$
5. 配方：$x^2+2x+2=(x+1)^2+1$， $$\int\frac{\mathrm dx}{x^2+2x+2}=\arctan(x+1)+C.$$
6. $$\int\frac{\mathrm dx}{x^2-4}=\frac14\ln\left|\frac{x-2}{x+2}\right|+C.$$
7. 降幂： $$\int\sin^2x,\mathrm dx=\frac12\int(1-\cos2x),\mathrm dx=\frac x2-\frac{\sin2x}4+C.$$
8. $1+\cos x=2\cos^2\dfrac x2$， $$\int\frac{\mathrm dx}{1+\cos x}=\frac12\int\sec^2\frac x2,\mathrm dx=\tan\frac x2+C.$$
9. 令 $x=\sin t$： $$\int\sqrt{1-x^2},\mathrm dx=\int\cos^2t,\mathrm dt =\frac t2+\frac{\sin2t}4+C =\frac12\left(x\sqrt{1-x^2}+\arcsin x\right)+C.$$
10. 令 $u=1+x^2$，$\mathrm du=2x,\mathrm dx$： $$\int\frac{x}{1+x^2},\mathrm dx=\frac12\ln(1+x^2)+C.$$