第 15 章 多元函数微分学

本章整理偏导数、全微分、复合函数求导、方向导数与梯度、高阶偏导数、泰勒公式和无条件极值。多元微分学的核心是函数的局部线性化。

15.1 偏导数

15.1.1 定义

设 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的某邻域内有定义。若极限 $$\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}$$ 存在，则称它是 $f$ 在 $(x_0,y_0)$ 处对 $x$ 的偏导数，记作 $$f_x(x_0,y_0),\quad \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0),\quad z_x(x_0,y_0).$$

  • 对 $y$ 的偏导数类似定义： $$f_y(x_0,y_0)=\lim_{\Delta y\to0}\frac{f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)}{\Delta y}.$$
  • 求 $f_x$ 时把 $y$ 看作常数，对 $x$ 求导；求 $f_y$ 时把 $x$ 看作常数。
  • 几何意义：$f_x(x_0,y_0)$ 是曲面 $z=f(x,y)$ 与平面 $y=y_0$ 的交线在 $x$ 方向的切线斜率。
  • 偏导数存在只保证沿坐标轴方向的变化率存在，不能保证函数连续。

15.1.2 偏导数与连续性的关系

  • 偏导数存在 $\nRightarrow$ 函数连续。例如 $$f(x,y)=\begin{cases}\dfrac{xy}{x^2+y^2},&(x,y)\ne(0,0),\0,&(x,y)=(0,0)\end{cases}$$ 的 $f_x(0,0)=f_y(0,0)=0$，但 $f$ 在原点不连续。
  • 函数连续也不一定偏导数存在。例如 $f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$ 在原点连续，但偏导数不存在。

15.2 全微分

15.2.1 定义

设 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的某邻域内有定义。若存在常数 $A,B$，使 $$\Delta z=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0) =A\Delta x+B\Delta y+o(\rho),$$ 其中 $\rho=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}\to0$，则称 $f$ 在 $(x_0,y_0)$ 处可微，并称 $$\mathrm dz=A\Delta x+B\Delta y$$ 为 $f$ 在 $(x_0,y_0)$ 处的全微分。

  • 若 $f$ 可微，则 $A=f_x(x_0,y_0)$，$B=f_y(x_0,y_0)$，故 $$\mathrm dz=f_x(x_0,y_0)\mathrm dx+f_y(x_0,y_0)\mathrm dy.$$
  • 习惯上记 $\Delta x=\mathrm dx$，$\Delta y=\mathrm dy$。

15.2.2 可微的条件

  • 可微的必要条件：
    • $f$ 在 $(x_0,y_0)$ 处连续；
    • $f_x(x_0,y_0)$、$f_y(x_0,y_0)$ 都存在。
  • 可微的充分条件：若 $f_x,f_y$ 在 $(x_0,y_0)$ 的某邻域内存在，且在 $(x_0,y_0)$ 处连续，则 $f$ 在 $(x_0,y_0)$ 处可微。
  • 偏导数存在 + 连续 $\nRightarrow$ 可微？实际上“偏导数连续”是充分条件；仅有偏导数存在不充分。
  • 判断可微性的步骤：
    1. 求 $f_x(x_0,y_0)$、$f_y(x_0,y_0)$；
    2. 计算 $$\lim_{\rho\to0}\frac{\Delta z-f_x\Delta x-f_y\Delta y}{\rho};$$
    3. 若极限为 $0$，则可微；否则不可微。

15.2.3 几何意义

  • 曲面 $z=f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 处的切平面： $$z-z_0=f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0).$$
  • 法向量： $$\boldsymbol n=(-f_x(x_0,y_0),-f_y(x_0,y_0),1),$$ 或写成 $(f_x,f_y,-1)$。
  • 法线方程： $$\frac{x-x_0}{f_x(x_0,y_0)}=\frac{y-y_0}{f_y(x_0,y_0)}=\frac{z-z_0}{-1}.$$
  • 若曲面由隐式方程 $F(x,y,z)=0$ 给出，且 $\nabla F\ne0$，则切平面为 $$F_x(x_0,y_0,z_0)(x-x_0)+F_y(x_0,y_0,z_0)(y-y_0)+F_z(x_0,y_0,z_0)(z-z_0)=0.$$

15.3 复合函数求导

15.3.1 一元复合

设 $z=f(u,v)$ 可微，$u=u(t)$、$v=v(t)$ 可导，则 $$\frac{\mathrm dz}{\mathrm dt} =\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\mathrm du}{\mathrm dt} +\frac{\partial f}{\partial v}\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}.$$

15.3.2 多元复合

设 $z=f(u,v)$ 可微，$u=u(x,y)$、$v=v(x,y)$ 有偏导数，则 $$\frac{\partial z}{\partial x} =\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x} +\frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x},$$

$$\frac{\partial z}{\partial y} =\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y} +\frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}.$$

  • 可用矩阵形式表示： $$\begin{pmatrix}z_x&z_y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}f_u&f_v\end{pmatrix} \begin{pmatrix}u_x&u_y\v_x&v_y\end{pmatrix}.$$

15.3.3 二阶偏导数

在 $z=f(u,v)$、$u=u(x,y)$、$v=v(x,y)$ 的记号下，

$$z_{xx}=f_{uu}u_x^2+2f_{uv}u_xv_x+f_{vv}v_x^2+f_uu_{xx}+f_vv_{xx},$$

$$z_{xy}=f_{uu}u_xu_y+f_{uv}(u_xv_y+u_yv_x)+f_{vv}v_xv_y+f_uu_{xy}+f_vv_{xy}.$$

$$z_{yy}=f_{uu}u_y^2+2f_{uv}u_yv_y+f_{vv}v_y^2+f_uu_{yy}+f_vv_{yy}.$$

  • 当 $f$ 的二阶偏导数连续时，$f_{uv}=f_{vu}$。

15.3.4 全微分形式不变性

  • 若 $z=f(u,v)$ 可微，则无论 $u,v$ 是自变量还是中间变量， $$\mathrm dz=f_u,\mathrm du+f_v,\mathrm dv.$$
  • 这个性质可用于隐函数求导和复合函数求导。

15.3.5 隐函数求导

设 $F(x,y)=0$ 确定 $y=y(x)$，$F$ 可微且 $F_y\ne0$，则 $$\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=-\frac{F_x}{F_y}.$$

设 $F(x,y,z)=0$ 确定 $z=z(x,y)$，$F_z\ne0$，则 $$\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z},\qquad \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y}{F_z}.$$

  • 更一般的隐函数定理见第 16 章。

15.4 方向导数与梯度

15.4.1 方向导数

设 $f$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 的某邻域内有定义，$\boldsymbol e=(\cos\alpha,\cos\beta)$ 是单位向量。若极限 $$\left.\frac{\partial f}{\partial\boldsymbol e}\right|{P_0} =\lim{t\to0^+}\frac{f(x_0+t\cos\alpha,y_0+t\cos\beta)-f(x_0,y_0)}t$$ 存在，则称它为 $f$ 在 $P_0$ 沿方向 $\boldsymbol e$ 的方向导数。

  • 若 $f$ 在 $P_0$ 可微，则 $$\frac{\partial f}{\partial\boldsymbol e} =f_x(P_0)\cos\alpha+f_y(P_0)\cos\beta =\nabla f(P_0)\cdot\boldsymbol e.$$
  • 方向导数存在只要求沿一个方向的变化率，不能推出可微。

15.4.2 梯度

  • 梯度向量： $$\nabla f(x,y)=\left(f_x(x,y),f_y(x,y)\right).$$
  • 对 $f(x,y,z)$： $$\nabla f=(f_x,f_y,f_z).$$
  • 梯度方向是函数值增加最快的方向，梯度的模是最大方向导数的值： $$\max_{|\boldsymbol e|=1}\frac{\partial f}{\partial\boldsymbol e} =|\nabla f|.$$
  • 梯度与等值线（等值面）垂直。
  • 等高线 $f(x,y)=C$ 在点 $P_0$ 处的法向量为 $\nabla f(P_0)$，切线方向与该梯度垂直。

等值线与梯度

15.4.3 方向导数的计算

  1. 若函数可微，直接用 $\nabla f\cdot\boldsymbol e$。
  2. 若函数不可微，用定义计算。
  3. 方向向量必须单位化。
  4. 对三元函数，$\boldsymbol e=(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)$，方向导数为 $$f_x\cos\alpha+f_y\cos\beta+f_z\cos\gamma.$$

15.5 高阶偏导数

15.5.1 定义与记号

  • $f_{xx}=\dfrac{\partial^2f}{\partial x^2}$，$f_{xy}=\dfrac{\partial^2f}{\partial y\partial x}$，$f_{yx}=\dfrac{\partial^2f}{\partial x\partial y}$，$f_{yy}=\dfrac{\partial^2f}{\partial y^2}$。
  • 若 $f_{xy}$、$f_{yx}$ 连续，则 $$f_{xy}=f_{yx}.$$ 这个结论称为施瓦茨定理（混合偏导数相等定理）。
  • 高阶偏导数可继续定义，如 $f_{xxy}$、$f_{xyx}$ 等。

15.5.2 拉普拉斯算子

$$\Delta f=f_{xx}+f_{yy}\quad\text{（二元）},$$

$$\Delta f=f_{xx}+f_{yy}+f_{zz}\quad\text{（三元）}.$$

  • 若 $\Delta f=0$，则称 $f$ 为调和函数。
  • 调和函数在物理中描述稳态温度、静电势等。

15.6 多元函数的泰勒公式

15.6.1 一阶泰勒公式

若 $f$ 在 $P_0(x_0,y_0)$ 可微，则 $$f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y) =f(x_0,y_0)+f_x(P_0)\Delta x+f_y(P_0)\Delta y+o(\rho),$$ 其中 $\rho=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$。

15.6.2 二阶泰勒公式

若 $f$ 在 $P_0$ 的某邻域内二阶偏导数连续，则 $$f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y) =f(P_0)+f_x(P_0)\Delta x+f_y(P_0)\Delta y +\frac12\left[f_{xx}(P_0)\Delta x^2+2f_{xy}(P_0)\Delta x\Delta y+f_{yy}(P_0)\Delta y^2\right] +o(\rho^2).$$

  • 用海森矩阵表示： $$H(P_0)=\begin{pmatrix}f_{xx}&f_{xy}\f_{xy}&f_{yy}\end{pmatrix},$$ 则二次项为 $$\frac12(\Delta x,\Delta y)H(P_0)\begin{pmatrix}\Delta x\\Delta y\end{pmatrix}.$$

15.6.3 一般泰勒公式

$$f(P_0+\boldsymbol h)=\sum_{k=0}^n\frac1{k!}\left(h_1\frac{\partial}{\partial x_1}+\cdots+h_m\frac{\partial}{\partial x_m}\right)^k f(P_0)+R_n.$$

  • 拉格朗日余项形式与一元类似，其中用到 $n+1$ 阶偏导数。
  • 泰勒公式可用于判断极值、近似计算和证明不等式。

15.7 无条件极值

15.7.1 极值的定义

若存在 $\delta>0$，使对 $P_0$ 的 $\delta$ 邻域内一切 $P$，都有 $f(P)\le f(P_0)$，则称 $f$ 在 $P_0$ 取得极大值；若都有 $f(P)\ge f(P_0)$，则称极小值。

15.7.2 极值的必要条件

若 $f$ 在 $P_0$ 处可微且取得极值，则 $$\nabla f(P_0)=\boldsymbol0,$$ 即 $f_x(P_0)=f_y(P_0)=0$。

  • 满足 $\nabla f=0$ 的点叫驻点。
  • 极值点必为驻点或偏导数不存在的点；驻点不一定是极值点。

15.7.3 极值的充分条件

设 $f$ 在 $P_0$ 的某邻域内二阶偏导数连续，且 $\nabla f(P_0)=0$。记 $$A=f_{xx}(P_0),\qquad B=f_{xy}(P_0),\qquad C=f_{yy}(P_0).$$

  • 若 $AC-B^2>0$：

    • $A>0$ 时，$P_0$ 为极小值点；
    • $A<0$ 时，$P_0$ 为极大值点。

  • 若 $AC-B^2<0$，$P_0$ 不是极值点（鞍点）。

  • 若 $AC-B^2=0$，判别法失效，需用高阶泰勒公式或定义判断。

  • 对 $n$ 元函数，海森矩阵正定时为极小值点，负定时为极大值点，不定时不是极值点。

15.7.4 有界闭区域上的最值

  1. 求区域内部的驻点和偏导数不存在的点。
  2. 求边界上的最值（可用条件极值、参数化或第 16 章的拉格朗日乘数法）。
  3. 比较所有候选点的函数值，最大者为最大值，最小者为最小值。

15.8 几何应用

15.8.1 空间曲线的切线

若曲线由 $\boldsymbol r(t)=(x(t),y(t),z(t))$ 给出，且 $\boldsymbol r'(t_0)\ne0$，则切线方向向量为 $\boldsymbol r'(t_0)$，切线方程为 $$\frac{x-x_0}{x'(t_0)}=\frac{y-y_0}{y'(t_0)}=\frac{z-z_0}{z'(t_0)}.$$

15.8.2 曲面的切平面与法线

  • 显式曲面 $z=f(x,y)$：见 15.2.3。
  • 隐式曲面 $F(x,y,z)=0$：法向量 $\nabla F(P_0)$，切平面见 15.2.3。
  • 参数曲面 $\boldsymbol r(u,v)$：法向量为 $$\boldsymbol r_u\times\boldsymbol r_v.$$

练习

  1. 求 $f(x,y)=x^2y+y^3$ 的偏导数 $f_x$、$f_y$。

  2. 求 $f(x,y)=x^2\mathrm e^y+y^2$ 的偏导数 $f_x$、$f_y$。

  3. 讨论 $f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$ 在 $(0,0)$ 处的偏导数是否存在。

  4. 讨论 $$f(x,y)=\begin{cases}\dfrac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}},&(x,y)\ne(0,0),\0,&(x,y)=(0,0)\end{cases}$$ 在 $(0,0)$ 处是否可微。

  5. 证明 $f(x,y)=x^2+y^2$ 在任意点可微，并写出全微分。

  6. 设 $z=x^2+y^2$，$x=t^2$，$y=\sin t$，求 $\dfrac{\mathrm dz}{\mathrm dt}$。

  7. 设 $z=u^2v$，$u=x+y$，$v=x-y$，求 $\dfrac{\partial z}{\partial x}$、$\dfrac{\partial z}{\partial y}$。

  8. 求 $f(x,y)=x^2+y^2$ 在点 $(1,1)$ 处沿方向 $\boldsymbol e=\left(\dfrac1{\sqrt2},\dfrac1{\sqrt2}\right)$ 的方向导数。

  9. 求 $f(x,y)=x^2y$ 在点 $(1,2)$ 处的梯度，以及最大方向导数的值。

  10. 求曲面 $z=x^2+y^2$ 在点 $(1,1,2)$ 处的切平面方程。

  11. 求 $f(x,y)=x^2+y^2-2x-4y$ 的极值。

  12. 求 $f(x,y)=x^3+y^3-3xy$ 的极值。

检测题

  1. 求 $f(x,y)=x^y$（$x>0$）的偏导数 $f_x$、$f_y$。

  2. 求 $z=\ln(x^2+y^2)$ 的全微分。

  3. 证明 $f(x,y)=|x|+|y|$ 在 $(0,0)$ 处不可微。

  4. 讨论 $$f(x,y)=\begin{cases}\dfrac{x^2y}{x^2+y^2},&(x,y)\ne(0,0),\0,&(x,y)=(0,0)\end{cases}$$ 在 $(0,0)$ 处是否可微。

  5. 求 $f(x,y)=x^2+y^2$ 在点 $(1,2)$ 处沿从 $(1,2)$ 指向 $(3,4)$ 的方向的方向导数。

  6. 求曲面 $z=\mathrm e^{xy}$ 在点 $(0,1,1)$ 处的切平面方程。

  7. 求 $f(x,y)=x^2+y^2-xy$ 的极值。

  8. 求 $f(x,y)=xy$ 的极值。

  9. 写出 $f(x,y)=\mathrm e^{x+y}$ 在 $(0,0)$ 处的二阶泰勒展开式。

  10. 求曲线 $x^2+y^2=2$ 在点 $(1,1)$ 处的切线方程（用梯度）。

参考答案与提示

  1. $f_x=2xy$，$f_y=x^2+3y^2$。
  2. $f_x=2x\mathrm e^y$，$f_y=x^2\mathrm e^y+2y$。
  3. 在 $(0,0)$ 处， $$f_x(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{\sqrt{h^2}-0}{h}=\lim_{h\to0}\frac{|h|}h,$$ 左右极限分别为 $-1$ 和 $1$，故 $f_x(0,0)$ 不存在。同理 $f_y(0,0)$ 不存在。
  4. 先求偏导数： $$f_x(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{\frac{h\cdot0}{\sqrt{h^2+0}}-0}{h}=0,$$ 同理 $f_y(0,0)=0$。再考察 $$\frac{\Delta z-0}{\rho} =\frac{\frac{\Delta x\Delta y}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}}}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}} =\frac{\Delta x\Delta y}{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2},$$ 沿 $\Delta y=\Delta x$ 极限为 $\dfrac12$，沿 $\Delta y=0$ 极限为 $0$，故不可微。
  5. $f_x=2x$，$f_y=2y$ 连续，故 $f$ 可微， $$\mathrm df=2x,\mathrm dx+2y,\mathrm dy.$$
  6. $$\frac{\mathrm dz}{\mathrm dt} =2x\cdot2t+2y\cdot\cos t =4t^3+2\sin t\cos t.$$
  7. $z=u^2v=(x+y)^2(x-y)$。直接展开： $$z=x^3+x^2y-xy^2-y^3,$$ 故 $$z_x=3x^2+2xy-y^2,\qquad z_y=x^2-2xy-3y^2.$$
  8. $\nabla f=(2x,2y)$，在 $(1,1)$ 处为 $(2,2)$，方向导数为 $$(2,2)\cdot\left(\frac1{\sqrt2},\frac1{\sqrt2}\right)=2\sqrt2.$$
  9. $\nabla f=(2xy,x^2)$，在 $(1,2)$ 处为 $(4,1)$。最大方向导数为 $$|\nabla f|=\sqrt{16+1}=\sqrt{17}.$$
  10. $f_x=2x$，$f_y=2y$，在 $(1,1)$ 处均为 $2$。切平面： $$z-2=2(x-1)+2(y-1),$$ 即 $$z=2x+2y-2.$$
  11. $\nabla f=(2x-2,2y-4)$，驻点为 $(1,2)$。$A=2$，$B=0$，$C=2$，$AC-B^2=4>0$，且 $A>0$，故为极小值点，极小值 $$f(1,2)=1+4-2-8=-5.$$
  12. $\nabla f=(3x^2-3y,3y^2-3x)$。由 $x^2=y$、$y^2=x$ 得驻点 $(0,0)$、$(1,1)$。$f_{xx}=6x$，$f_{xy}=-3$，$f_{yy}=6y$。
    • 在 $(0,0)$：$AC-B^2=-9<0$，不是极值点。
    • 在 $(1,1)$：$AC-B^2=36-9=27>0$，$A=6>0$，为极小值点，极小值 $f(1,1)=1+1-3=-1$。

检测题参考答案

  1. $f_x=yx^{y-1}$，$f_y=x^y\ln x$。
  2. $$\mathrm dz=\frac{2x}{x^2+y^2}\mathrm dx+\frac{2y}{x^2+y^2}\mathrm dy.$$
  3. 在 $(0,0)$ 处， $$f_x(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{|h|-0}{h},$$ 左右极限不同，故偏导数不存在，从而不可微。
  4. 偏导数 $f_x(0,0)=0$，$f_y(0,0)=0$。但 $$\frac{\Delta z}{\rho} =\frac{\Delta x^2\Delta y}{(\Delta x^2+\Delta y^2)^{3/2}} =\cos^2\theta\sin\theta$$ （其中 $\Delta x=r\cos\theta$，$\Delta y=r\sin\theta$），该值与 $\theta$ 有关，不趋于 $0$，故不可微。
  5. 方向向量为 $(2,2)$，单位化得 $\left(\dfrac1{\sqrt2},\dfrac1{\sqrt2}\right)$。$\nabla f=(2x,2y)$，在 $(1,2)$ 处为 $(2,4)$，方向导数为 $$(2,4)\cdot\left(\frac1{\sqrt2},\frac1{\sqrt2}\right)=3\sqrt2.$$
  6. $z_x=y\mathrm e^{xy}$，$z_y=x\mathrm e^{xy}$。在 $(0,1)$ 处，$z_x=1$，$z_y=0$。切平面： $$z-1=1\cdot(x-0)+0\cdot(y-1),$$ 即 $$z=x+1.$$
  7. $\nabla f=(2x-y,2y-x)$，驻点为 $(0,0)$。$A=2$，$B=-1$，$C=2$，$AC-B^2=3>0$，$A>0$，为极小值点，极小值 $f(0,0)=0$。
  8. $\nabla f=(y,x)$，驻点为 $(0,0)$。$A=0$，$B=1$，$C=0$，$AC-B^2=-1<0$，不是极值点（鞍点）。
  9. $f(0,0)=1$，$f_x=f_y=\mathrm e^{x+y}$，在 $(0,0)$ 处均为 $1$；$f_{xx}=f_{xy}=f_{yy}=\mathrm e^{x+y}$，在 $(0,0)$ 处均为 $1$。故 $$f(x,y)=1+x+y+\frac12\left(x^2+2xy+y^2\right)+o(x^2+y^2).$$
  10. 令 $F(x,y)=x^2+y^2-2=0$，则 $\nabla F=(2x,2y)$，在 $(1,1)$ 处为 $(2,2)$，这是等值线的法向量。切线方向与法向量垂直，切线方程为 $$2(x-1)+2(y-1)=0,$$ 即 $$x+y=2.$$