第 7 章定积分

本章整理定积分的定义、可积条件、性质、微积分基本定理、计算方法与积分中值定理。定积分是积分学的核心，也是后续重积分、曲线积分与曲面积分的基础。

7.1 定积分的概念

7.1.1 分割与黎曼和

设函数 $f$ 在 $[a,b]$ 上有界。在 $(a,b)$ 内插入分点 $$a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b.$$ 这一组分点称为 $[a,b]$ 的一个分割，记作 $T$。第 $i$ 个小区间为 $[x_{i-1},x_i]$，长度为 $$\Delta x_i=x_i-x_{i-1}.$$ 分割的模（细度）为 $$|T|=\max_{1\le i\le n}\Delta x_i.$$

在每个小区间上任取 $\xi_i\in[x_{i-1},x_i]$，作和 $$S(T,\xi)=\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i,$$ 称为黎曼和。

若存在常数 $I$，使得对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，对任意满足 $|T|<\delta$ 的分割及任意取法 $\xi_i$，都有 $$|S(T,\xi)-I|<\varepsilon,$$ 则称 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积，$I$ 称为 $f$ 在 $[a,b]$ 上的定积分，记作 $$I=\int_a^b f(x),\mathrm dx.$$

定积分是一个确定的数，与积分变量记号无关： $$\int_a^b f(x),\mathrm dx=\int_a^b f(t),\mathrm dt.$$
几何意义：当 $f(x)\ge0$ 时，定积分等于曲线 $y=f(x)$、$x$ 轴及直线 $x=a$、$x=b$ 围成的曲边梯形面积。
当 $f$ 变号时，定积分表示 $x$ 轴上方面积与下方面积的代数和。

定积分与黎曼和

规定： $$\int_a^a f(x),\mathrm dx=0,\qquad \int_b^a f(x),\mathrm dx=-\int_a^b f(x),\mathrm dx.$$

7.1.2 达布和

对分割 $T$，令 $$M_i=\sup_{x\in[x_{i-1},x_i]}f(x),\qquad m_i=\inf_{x\in[x_{i-1},x_i]}f(x),$$ 则 $$S(T)=\sum_{i=1}^n M_i\Delta x_i,\qquad s(T)=\sum_{i=1}^n m_i\Delta x_i$$ 分别称为达布上和与达布下和。

对任意取法 $\xi_i$，有 $s(T)\le S(T,\xi)\le S(T)$。
加细分点后，上和减小、下和增大。因此所有上和的集合有下确界，所有下和的集合有上确界。
可积的充要条件（达布判据）： $$f\text{ 在 }[a,b]\text{ 上可积}\iff \lim_{|T|\to0}\left[S(T)-s(T)\right]=0.$$ 等价地， $$\sup_T s(T)=\inf_T S(T).$$ 这个公共值就是 $\displaystyle\int_a^b f(x),\mathrm dx$。

7.1.3 可积的必要条件

若 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积，则 $f$ 在 $[a,b]$ 上有界。

有界是可积的必要条件，不是充分条件：狄利克雷函数在 $[0,1]$ 上有界但不可积。
无界函数在通常意义下不可积（反常积分另行定义）。

7.1.4 可积的充分条件

若 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，则 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积。
若 $f$ 在 $[a,b]$ 上单调，则 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积。
若 $f$ 在 $[a,b]$ 上有界，且只有有限个间断点，则 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积。
若 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积，则 $|f|$ 在 $[a,b]$ 上可积；反之不成立。

7.2 定积分的性质

设 $f,g$ 在 $[a,b]$ 上可积。

7.2.1 线性性质

$\displaystyle\int_a^b[\alpha f(x)+\beta g(x)],\mathrm dx =\alpha\int_a^b f(x),\mathrm dx+\beta\int_a^b g(x),\mathrm dx$。
$\displaystyle\int_a^b f(x),\mathrm dx=\int_a^c f(x),\mathrm dx+\int_c^b f(x),\mathrm dx$（$c$ 可在区间外，按有向积分理解）。

7.2.2 保序性

若 $f(x)\le g(x)$（$x\in[a,b]$），则 $$\int_a^b f(x),\mathrm dx\le\int_a^b g(x),\mathrm dx.$$
若 $f(x)\ge0$，则 $\displaystyle\int_a^b f(x),\mathrm dx\ge0$（当 $a<b$）。
若 $f$ 连续、$f(x)\ge0$ 且不恒为零，则 $\displaystyle\int_a^b f(x),\mathrm dx>0$。

7.2.3 绝对值不等式

$$\left|\int_a^b f(x),\mathrm dx\right|\le\int_a^b|f(x)|,\mathrm dx\quad(a<b).$$

7.2.4 估值定理

若 $m\le f(x)\le M$（$x\in[a,b]$），则 $$m(b-a)\le\int_a^b f(x),\mathrm dx\le M(b-a).$$

7.2.5 柯西-施瓦茨不等式

$$\left(\int_a^b f(x)g(x),\mathrm dx\right)^2 \le\left(\int_a^b f^2(x),\mathrm dx\right)\left(\int_a^b g^2(x),\mathrm dx\right).$$

7.2.6 积分中值定理

第一积分中值定理：若 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，则存在 $\xi\in[a,b]$，使 $$\int_a^b f(x),\mathrm dx=f(\xi)(b-a).$$

称 $\dfrac1{b-a}\displaystyle\int_a^b f(x),\mathrm dx$ 为 $f$ 在 $[a,b]$ 上的平均值。

推广的第一积分中值定理：若 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，$g$ 在 $[a,b]$ 上可积且不变号，则存在 $\xi\in[a,b]$，使 $$\int_a^b f(x)g(x),\mathrm dx=f(\xi)\int_a^b g(x),\mathrm dx.$$

证明可用最值定理与介值定理。

7.3 微积分基本定理

7.3.1 变上限积分

设 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积，定义 $$\Phi(x)=\int_a^x f(t),\mathrm dt,\qquad x\in[a,b].$$

若 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积，则 $\Phi$ 在 $[a,b]$ 上连续。
若 $f$ 在 $x_0\in(a,b)$ 处连续，则 $\Phi$ 在 $x_0$ 处可导，且 $$\Phi'(x_0)=f(x_0).$$
因此，若 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，则 $\Phi$ 是 $f$ 在 $[a,b]$ 上的一个原函数： $$\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\int_a^x f(t),\mathrm dt=f(x).$$

7.3.2 牛顿-莱布尼茨公式

若 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，$F$ 是 $f$ 在 $[a,b]$ 上的一个原函数，则 $$\int_a^b f(x),\mathrm dx=F(b)-F(a).$$

记作 $$\int_a^b f(x),\mathrm dx=\left.F(x)\right|_a^b.$$
该公式把定积分的计算转化为求原函数，是微积分的基本定理。
若 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积，$F$ 连续且在 $(a,b)$ 内除有限个点外满足 $F'(x)=f(x)$，公式仍成立。

7.3.3 变限积分的求导

若 $f$ 连续，$a(x),b(x)$ 可导，则 $$\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\int_{a(x)}^{b(x)}f(t),\mathrm dt =f(b(x))b'(x)-f(a(x))a'(x).$$

这是链式法则与变上限积分求导的结合。

7.4 定积分的计算

7.4.1 换元积分法

设 $f$ 在 $[\alpha,\beta]$ 上连续，$x=\varphi(t)$ 在 $[\alpha,\beta]$ 上单调且连续可导，$\varphi(\alpha)=a$，$\varphi(\beta)=b$，则 $$\int_a^b f(x),\mathrm dx=\int_\alpha^\beta f(\varphi(t))\varphi'(t),\mathrm dt.$$

定积分换元必须同时换积分限，且不必回代。
若 $\varphi$ 不单调，需要将积分区间分段，使每一段上单调。
常用对称性：
- 若 $f$ 为奇函数，则 $\displaystyle\int_{-a}^a f(x),\mathrm dx=0$。
- 若 $f$ 为偶函数，则 $\displaystyle\int_{-a}^a f(x),\mathrm dx=2\int_0^a f(x),\mathrm dx$。
- 若 $f$ 以 $T$ 为周期，则 $\displaystyle\int_a^{a+T}f(x),\mathrm dx=\int_0^T f(x),\mathrm dx$。
- $\displaystyle\int_0^af(x),\mathrm dx=\int_0^af(a-x),\mathrm dx$。

7.4.2 分部积分法

设 $u,v$ 在 $[a,b]$ 上有连续导数，则 $$\int_a^b u(x)v'(x),\mathrm dx =\left.u(x)v(x)\right|_a^b-\int_a^b u'(x)v(x),\mathrm dx.$$

即 $$\int_a^b u,\mathrm dv=\left.uv\right|_a^b-\int_a^b v,\mathrm du.$$

7.4.3 华里士公式

对 $n\in\mathbb{N}^*$， $$\int_0^{\pi/2}\sin^nx,\mathrm dx=\int_0^{\pi/2}\cos^nx,\mathrm dx =\begin{cases} \dfrac{(n-1)!!}{n!!}\cdot\dfrac\pi2,&n\text{ 为偶数},\[6pt] \dfrac{(n-1)!!}{n!!},&n\text{ 为奇数}, \end{cases}$$ 其中 $n!!$ 表示不超过 $n$ 且与 $n$ 同奇偶的正整数的乘积。

常用值：$\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin^2x,\mathrm dx=\frac\pi4$， $\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin^3x,\mathrm dx=\frac23$， $\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin^4x,\mathrm dx=\frac{3\pi}{16}$。

7.4.4 递推方法

对形如 $I_n=\displaystyle\int_a^b f_n(x),\mathrm dx$ 的积分，先用分部积分建立 $I_n$ 与 $I_{n-1}$ 或 $I_{n-2}$ 的递推关系，再结合初值求出。
华里士公式就是递推方法的典型例子。

7.5 定积分的近似计算

7.5.1 梯形公式

将 $[a,b]$ 等分为 $n$ 份，$h=\dfrac{b-a}n$，$x_i=a+ih$，则 $$\int_a^b f(x),\mathrm dx\approx\frac h2\left[f(a)+2\sum_{i=1}^{n-1}f(x_i)+f(b)\right].$$

7.5.2 辛普森公式

将 $[a,b]$ 等分为 $2n$ 份，$h=\dfrac{b-a}{2n}$，则 $$\int_a^b f(x),\mathrm dx \approx\frac h3\left[f(a)+4\sum_{i=0}^{n-1}f(x_{2i+1})+2\sum_{i=1}^{n-1}f(x_{2i})+f(b)\right].$$

梯形公式具有二阶代数精度，辛普森公式具有三阶代数精度（对三次多项式精确成立）。

7.6 积分不等式

施瓦茨不等式：见 7.2.5。
闵可夫斯基不等式： $$\left(\int_a^b|f+g|^p,\mathrm dx\right)^{1/p} \le\left(\int_a^b|f|^p,\mathrm dx\right)^{1/p} +\left(\int_a^b|g|^p,\mathrm dx\right)^{1/p}\quad(p\ge1).$$
詹森不等式：若 $\varphi$ 为凸函数，则 $$\varphi\left(\frac1{b-a}\int_a^b f(x),\mathrm dx\right) \le\frac1{b-a}\int_a^b\varphi(f(x)),\mathrm dx.$$
证明积分不等式常用方法：单调性、最值、中值定理、柯西-施瓦茨不等式、詹森不等式。

练习

用定积分定义计算 $\displaystyle\int_0^1x,\mathrm dx$。
计算 $\displaystyle\int_0^1(3x^2+2x),\mathrm dx$。
计算 $\displaystyle\int_0^\pi\sin x,\mathrm dx$。
计算 $\displaystyle\int_1^{\mathrm e}\ln x,\mathrm dx$。
计算 $\displaystyle\int_0^1x\mathrm e^{x^2},\mathrm dx$。
计算 $\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin^2x,\mathrm dx$。
计算 $\displaystyle\int_{-1}^1(x^3+x^2),\mathrm dx$。
计算 $\displaystyle\int_0^2|x-1|,\mathrm dx$。
求 $F(x)=\displaystyle\int_0^{x^2}\sin t,\mathrm dt$ 的导数。
求 $F(x)=\displaystyle\int_x^{x^2}\mathrm e^{-t^2},\mathrm dt$ 的导数。
估计积分 $\displaystyle\int_0^1\mathrm e^{-x^2},\mathrm dx$ 的取值范围。
证明：若 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续且 $f(x)\ge0$，$f$ 不恒为零，则 $$\int_a^b f(x),\mathrm dx>0.$$

检测题

计算 $\displaystyle\int_0^1(x^2+1),\mathrm dx$。
计算 $\displaystyle\int_0^{\pi/4}\tan^2x,\mathrm dx$。
计算 $\displaystyle\int_1^2\left(x+\frac1x\right)\mathrm dx$。
计算 $\displaystyle\int_0^1x^2\mathrm e^x,\mathrm dx$。
计算 $\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos^3x,\mathrm dx$。
计算 $\displaystyle\int_{-a}^a\left(x^5\cos x+x^2\right)\mathrm dx$（$a>0$）。
设 $F(x)=\displaystyle\int_0^x(t-1),\mathrm dt$，求 $F'(2)$。
求 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac1{x^3}\displaystyle\int_0^x(1-\cos t),\mathrm dt$。
用估值定理证明 $$1<\int_0^1\mathrm e^x,\mathrm dx<\mathrm e.$$
证明 $$\int_0^1\frac{x}{1+x^2},\mathrm dx\le\frac12.$$

参考答案与提示

将 $[0,1]$ 等分，$\Delta x=\dfrac1n$，取 $\xi_i=\dfrac in$，则 $$\sum_{i=1}^n\frac in\cdot\frac1n=\frac{n(n+1)}{2n^2}\to\frac12,$$ 故 $\displaystyle\int_0^1x,\mathrm dx=\frac12$。
$$\int_0^1(3x^2+2x),\mathrm dx=\left[x^3+x^2\right]_0^1=2.$$
$$\int_0^\pi\sin x,\mathrm dx=\left[-\cos x\right]_0^\pi=2.$$
$$\int_1^{\mathrm e}\ln x,\mathrm dx=\left[x\ln x-x\right]_1^{\mathrm e}=1.$$
令 $u=x^2$： $$\int_0^1x\mathrm e^{x^2},\mathrm dx=\frac12\int_0^1\mathrm e^u,\mathrm du=\frac{\mathrm e-1}2.$$
$$\int_0^{\pi/2}\sin^2x,\mathrm dx=\frac12\int_0^{\pi/2}(1-\cos2x),\mathrm dx=\frac\pi4.$$
$x^3$ 为奇函数，积分为 $0$；$x^2$ 为偶函数， $$\int_{-1}^1(x^3+x^2),\mathrm dx=2\int_0^1x^2,\mathrm dx=\frac23.$$
$$\int_0^2|x-1|,\mathrm dx=\int_0^1(1-x),\mathrm dx+\int_1^2(x-1),\mathrm dx=\frac12+\frac12=1.$$
由变上限积分求导公式与链式法则， $$F'(x)=\sin(x^2)\cdot2x=2x\sin(x^2).$$
$$F'(x)=\mathrm e^{-x^4}\cdot2x-\mathrm e^{-x^2}\cdot1=2x\mathrm e^{-x^4}-\mathrm e^{-x^2}.$$
当 $0\le x\le1$ 时，$\mathrm e^{-1}\le\mathrm e^{-x^2}\le1$，故 $$\frac1{\mathrm e}\le\int_0^1\mathrm e^{-x^2},\mathrm dx\le1.$$
由连续性，存在 $x_0\in[a,b]$ 使 $f(x_0)>0$。取 $\delta>0$，使在 $(x_0-\delta,x_0+\delta)\cap[a,b]$ 上 $f(x)>\dfrac{f(x_0)}2$。于是积分至少在该小区间上大于一个正数，再由 $f\ge0$ 得整个积分大于 $0$。

检测题参考答案

$$\int_0^1(x^2+1),\mathrm dx=\left[\frac{x^3}3+x\right]_0^1=\frac43.$$
$$\int_0^{\pi/4}\tan^2x,\mathrm dx=\int_0^{\pi/4}(\sec^2x-1),\mathrm dx=\left[\tan x-x\right]_0^{\pi/4}=1-\frac\pi4.$$
$$\int_1^2\left(x+\frac1x\right)\mathrm dx=\left[\frac{x^2}2+\ln x\right]_1^2=\frac32+\ln2.$$
分部积分两次： $$\int x^2\mathrm e^x,\mathrm dx=\mathrm e^x(x^2-2x+2)+C,$$ 故 $$\int_0^1x^2\mathrm e^x,\mathrm dx=\mathrm e(1-2+2)-2=\mathrm e-2.$$
$$\int_0^{\pi/2}\cos^3x,\mathrm dx=\left[\sin x-\frac{\sin^3x}3\right]_0^{\pi/2}=\frac23.$$
$x^5\cos x$ 为奇函数，积分为 $0$；$x^2$ 为偶函数，故 $$\int_{-a}^a\left(x^5\cos x+x^2\right)\mathrm dx=2\int_0^ax^2,\mathrm dx=\frac{2a^3}3.$$
$F'(x)=x-1$，所以 $F'(2)=1$。
由洛必达法则与变上限积分求导， $$\lim_{x\to0}\frac{\int_0^x(1-\cos t),\mathrm dt}{x^3} =\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{3x^2}=\frac16.$$
当 $0\le x\le1$ 时，$1\le\mathrm e^x\le\mathrm e$，由估值定理得 $$1=\int_0^1 1,\mathrm dx<\int_0^1\mathrm e^x,\mathrm dx<\int_0^1\mathrm e,\mathrm dx=\mathrm e.$$ 严格不等号因为 $\mathrm e^x$ 在区间上非常数。
当 $0\le x\le1$ 时，$\dfrac{x}{1+x^2}\le x$，故 $$\int_0^1\frac{x}{1+x^2},\mathrm dx\le\int_0^1x,\mathrm dx=\frac12.$$

第07章-定积分

第 7 章 定积分