第 17 章重积分

本章整理二重积分与三重积分的定义、性质、计算方法（直角坐标、极坐标、柱坐标、球坐标、一般换元）以及重积分的应用。重积分是一元定积分在多元情形下的推广。

17.1 二重积分的概念与性质

17.1.1 定义

设 $f(x,y)$ 在平面有界闭区域 $D$ 上有界。将 $D$ 分成 $n$ 个小区域 $\Delta\sigma_i$，在每个小区域上任取一点 $(\xi_i,\eta_i)$，作和 $$\sum_{i=1}^nf(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i.$$ 若当所有小区域的直径最大值趋于 $0$ 时，该和趋于同一个常数 $I$（与分割和取点方式无关），则称 $f$ 在 $D$ 上可积，$I$ 称为二重积分，记作 $$\iint_D f(x,y),\mathrm d\sigma=\iint_D f(x,y),\mathrm dx,\mathrm dy.$$

几何意义：当 $f(x,y)\ge0$ 时，二重积分表示曲顶柱体的体积。
当 $f(x,y)=1$ 时， $$\iint_D1,\mathrm d\sigma=\text{区域 }D\text{ 的面积}.$$
二重积分对区域具有可加性。

17.1.2 可积条件

若 $f$ 在有界闭区域 $D$ 上连续，则 $f$ 在 $D$ 上可积。
若 $f$ 在 $D$ 上有界，且间断点只分布在有限条光滑曲线上，则 $f$ 在 $D$ 上可积。
二重积分可通过达布和定义，且可积的充要条件是上和与下和之差趋于 $0$。

17.1.3 性质

设 $f,g$ 在 $D$ 上可积。

线性： $$\iint_D(\alpha f+\beta g),\mathrm d\sigma =\alpha\iint_Df,\mathrm d\sigma+\beta\iint_Dg,\mathrm d\sigma.$$
区域可加：若 $D=D_1\cup D_2$ 且 $D_1,D_2$ 内部不相交，则 $$\iint_Df,\mathrm d\sigma=\iint_{D_1}f,\mathrm d\sigma+\iint_{D_2}f,\mathrm d\sigma.$$
保序：若 $f\le g$，则 $$\iint_Df,\mathrm d\sigma\le\iint_Dg,\mathrm d\sigma.$$
绝对值不等式： $$\left|\iint_Df,\mathrm d\sigma\right|\le\iint_D|f|,\mathrm d\sigma.$$
估值：若 $m\le f\le M$，则 $$mS_D\le\iint_Df,\mathrm d\sigma\le MS_D,$$ 其中 $S_D$ 为 $D$ 的面积。
中值定理：若 $f$ 在连通闭区域 $D$ 上连续，则存在 $(\xi,\eta)\in D$，使 $$\iint_Df(x,y),\mathrm d\sigma=f(\xi,\eta)S_D.$$

17.2 二重积分的计算（直角坐标）

17.2.1 矩形区域

若 $D=[a,b]\times[c,d]$，且 $f$ 连续，则 $$\iint_Df(x,y),\mathrm dx,\mathrm dy =\int_a^b\mathrm dx\int_c^df(x,y),\mathrm dy =\int_c^d\mathrm dy\int_a^bf(x,y),\mathrm dx.$$

即累次积分，两个次序都可以。
若 $f(x,y)=g(x)h(y)$，则 $$\iint_Df,\mathrm d\sigma=\left(\int_a^bg(x),\mathrm dx\right)\left(\int_c^dh(y),\mathrm dy\right).$$

17.2.2 $X$ 型区域

若 $$D={(x,y)\mid a\le x\le b,\ \varphi_1(x)\le y\le\varphi_2(x)},$$ 则 $$\iint_Df(x,y),\mathrm dx,\mathrm dy =\int_a^b\mathrm dx\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x,y),\mathrm dy.$$

先对 $y$ 积分，再对 $x$ 积分。
画图确定上下边界。

二重积分的积分区域

17.2.3 $Y$ 型区域

若 $$D={(x,y)\mid c\le y\le d,\ \psi_1(y)\le x\le\psi_2(y)},$$ 则 $$\iint_Df(x,y),\mathrm dx,\mathrm dy =\int_c^d\mathrm dy\int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)}f(x,y),\mathrm dx.$$

先对 $x$ 积分，再对 $y$ 积分。
若区域既可看作 $X$ 型又可看作 $Y$ 型，可选择积分较易的次序。

17.2.4 交换积分次序

当先对 $y$ 积分困难，而先对 $x$ 积分容易时，可交换次序。
步骤：
1. 由原累次积分写出积分区域 $D$ 的不等式表示；
2. 画出区域 $D$；
3. 重新按另一种类型表示 $D$；
4. 写出新的累次积分。
例： $$\int_0^1\mathrm dx\int_x^1f(x,y),\mathrm dy =\int_0^1\mathrm dy\int_0^yf(x,y),\mathrm dx.$$

17.2.5 对称性

若 $D$ 关于 $x$ 轴对称，且 $f(x,-y)=-f(x,y)$，则 $$\iint_Df,\mathrm d\sigma=0.$$
若 $D$ 关于 $x$ 轴对称，且 $f(x,-y)=f(x,y)$，则 $$\iint_Df,\mathrm d\sigma=2\iint_{D\cap{y\ge0}}f,\mathrm d\sigma.$$
类似地可利用关于 $y$ 轴、原点的对称性。

17.3 二重积分的极坐标计算

17.3.1 变换

令 $$x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,$$ 则 $$\mathrm dx,\mathrm dy=r,\mathrm dr,\mathrm d\theta.$$

极坐标下面积元为 $r,\mathrm dr,\mathrm d\theta$。
极坐标适用于圆形、扇形、圆环、心形线等具有旋转对称性的区域。

17.3.2 常见区域的表示

圆盘 $x^2+y^2\le R^2$： $$0\le r\le R,\qquad 0\le\theta\le2\pi.$$
上半圆盘： $$0\le r\le R,\qquad 0\le\theta\le\pi.$$
圆环 $a^2\le x^2+y^2\le b^2$： $$a\le r\le b,\qquad 0\le\theta\le2\pi.$$
心形线 $r=a(1+\cos\theta)$ 内部： $$0\le r\le a(1+\cos\theta),\qquad 0\le\theta\le2\pi.$$
射线围成的扇形：$\alpha\le\theta\le\beta$，$0\le r\le r(\theta)$。

17.3.3 极坐标下的累次积分

若 $$D={(r,\theta)\mid\alpha\le\theta\le\beta,\ r_1(\theta)\le r\le r_2(\theta)},$$ 则 $$\iint_Df(x,y),\mathrm dx,\mathrm dy =\int_\alpha^\beta\mathrm d\theta\int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)} f(r\cos\theta,r\sin\theta),r,\mathrm dr.$$

先确定 $\theta$ 的范围，再对每个固定 $\theta$ 确定 $r$ 的范围。
极坐标下被积函数常化为只含 $r$ 的形式。

17.4 三重积分

17.4.1 定义与性质

设 $f(x,y,z)$ 在空间有界闭区域 $\Omega$ 上有界。将 $\Omega$ 分成小体积 $\Delta V_i$，作和 $$\sum_{i=1}^nf(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta V_i.$$ 若极限存在且唯一，则称为三重积分，记作 $$\iiint_\Omega f(x,y,z),\mathrm dV =\iiint_\Omega f(x,y,z),\mathrm dx,\mathrm dy,\mathrm dz.$$

三重积分的性质与二重积分类似：线性、区域可加、保序、估值、中值定理。
当 $f=1$ 时，三重积分等于 $\Omega$ 的体积。

17.4.2 直角坐标下的计算

投影法：若 $$\Omega={(x,y,z)\mid (x,y)\in D,\ z_1(x,y)\le z\le z_2(x,y)},$$ 则 $$\iiint_\Omega f,\mathrm dV =\iint_D\mathrm dx,\mathrm dy\int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z),\mathrm dz.$$
截面法：若 $$\Omega={(x,y,z)\mid c\le z\le d,\ (x,y)\in D_z},$$ 则 $$\iiint_\Omega f,\mathrm dV =\int_c^d\mathrm dz\iint_{D_z}f(x,y,z),\mathrm dx,\mathrm dy.$$
对长方体 $[a,b]\times[c,d]\times[e,f]$，可写成任意次序的三次累次积分。

17.4.3 柱坐标

令 $$x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad z=z,$$ 则 $$\mathrm dV=r,\mathrm dr,\mathrm d\theta,\mathrm dz.$$

柱坐标适用于圆柱、圆锥、旋转抛物面等绕 $z$ 轴对称的区域。
常见区域：
- 圆柱 $x^2+y^2\le R^2$，$0\le z\le h$： $$0\le r\le R,\quad 0\le\theta\le2\pi,\quad 0\le z\le h.$$
- 圆锥 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 与平面 $z=h$ 围成： $$0\le r\le h,\quad 0\le\theta\le2\pi,\quad r\le z\le h.$$

17.4.4 球坐标

令 $$x=r\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=r\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=r\cos\varphi,$$ 其中 $$r\ge0,\quad 0\le\varphi\le\pi,\quad 0\le\theta<2\pi.$$

则 $$\mathrm dV=r^2\sin\varphi,\mathrm dr,\mathrm d\varphi,\mathrm d\theta.$$

$\varphi$ 是与 $z$ 轴正方向的夹角（极角），$\theta$ 是 $xy$ 平面内的方位角。
球坐标适用于球体、球壳、锥体等。
常见区域：
- 球 $x^2+y^2+z^2\le R^2$： $$0\le r\le R,\quad 0\le\varphi\le\pi,\quad 0\le\theta\le2\pi.$$
- 上半球： $$0\le r\le R,\quad 0\le\varphi\le\frac\pi2,\quad 0\le\theta\le2\pi.$$
- 球心在原点、半径为 $R$ 的球面面积元： $$\mathrm dS=R^2\sin\varphi,\mathrm d\varphi,\mathrm d\theta.$$

17.4.5 一般换元

设变换 $$\begin{cases}x=x(u,v,w),\y=y(u,v,w),\z=z(u,v,w)\end{cases}$$ 在区域 $\Omega'$ 上具有连续偏导数、一一对应，且雅可比行列式 $$J=\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}\ne0,$$ 则 $$\iiint_\Omega f(x,y,z),\mathrm dx,\mathrm dy,\mathrm dz =\iiint_{\Omega'}f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w)),|J|,\mathrm du,\mathrm dv,\mathrm dw.$$

二重积分的换元公式类似： $$\iint_Df(x,y),\mathrm dx,\mathrm dy =\iint_{D'}f(x(u,v),y(u,v))\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|\mathrm du,\mathrm dv.$$
常用换元：
- 极坐标：$J=r$。
- 柱坐标：$J=r$。
- 球坐标：$J=r^2\sin\varphi$。
- 椭圆坐标 $x=ar\cos\theta$，$y=br\sin\theta$：$J=abr$。

17.4.6 对称性

若 $\Omega$ 关于 $xy$ 平面对称，且 $f(x,y,-z)=-f(x,y,z)$，则 $$\iiint_\Omega f,\mathrm dV=0.$$
若 $f$ 关于 $z$ 为偶函数，则积分等于上半部分积分的两倍。
若 $\Omega$ 关于原点对称，且 $f$ 为奇函数（$f(-x,-y,-z)=-f(x,y,z)$），则积分为 $0$。
轮换对称性：若 $\Omega$ 关于 $x,y,z$ 轮换对称，则 $$\iiint_\Omega x^2,\mathrm dV=\iiint_\Omega y^2,\mathrm dV=\iiint_\Omega z^2,\mathrm dV.$$

17.5 重积分的应用

17.5.1 面积与体积

平面区域 $D$ 的面积： $$S=\iint_D1,\mathrm dx,\mathrm dy.$$
空间区域 $\Omega$ 的体积： $$V=\iiint_\Omega1,\mathrm dV.$$
曲顶柱体体积： $$V=\iint_Df(x,y),\mathrm dx,\mathrm dy\quad(f\ge0).$$

17.5.2 质量与质心

平面薄片，面密度 $\rho(x,y)$： $$m=\iint_D\rho(x,y),\mathrm dx,\mathrm dy,$$ $$\bar x=\frac1m\iint_Dx\rho,\mathrm d\sigma,\qquad \bar y=\frac1m\iint_Dy\rho,\mathrm d\sigma.$$
空间物体，体密度 $\rho(x,y,z)$： $$m=\iiint_\Omega\rho,\mathrm dV,$$ $$\bar x=\frac1m\iiint_\Omega x\rho,\mathrm dV,\quad \bar y=\frac1m\iiint_\Omega y\rho,\mathrm dV,\quad \bar z=\frac1m\iiint_\Omega z\rho,\mathrm dV.$$

17.5.3 转动惯量

平面薄片绕 $x$ 轴、$y$ 轴、原点的转动惯量： $$I_x=\iint_Dy^2\rho,\mathrm d\sigma,\qquad I_y=\iint_Dx^2\rho,\mathrm d\sigma,\qquad I_O=\iint_D(x^2+y^2)\rho,\mathrm d\sigma.$$
空间物体绕坐标轴的转动惯量： $$I_x=\iiint_\Omega(y^2+z^2)\rho,\mathrm dV,$$ $$I_y=\iiint_\Omega(x^2+z^2)\rho,\mathrm dV,$$ $$I_z=\iiint_\Omega(x^2+y^2)\rho,\mathrm dV.$$

17.5.4 平均值

函数 $f$ 在区域 $D$ 上的平均值： $$\bar f=\frac1{S_D}\iint_Df,\mathrm d\sigma.$$
在空间区域 $\Omega$ 上的平均值： $$\bar f=\frac1{V_\Omega}\iiint_\Omega f,\mathrm dV.$$

17.5.5 曲面面积

曲面 $z=z(x,y)$ 在 $D$ 上的面积： $$S=\iint_D\sqrt{1+z_x^2+z_y^2},\mathrm dx,\mathrm dy.$$
更一般的参数曲面面积见第 18 章。

17.6 计算步骤与注意事项

画图，确定积分区域。
选择坐标系：直角坐标、极坐标、柱坐标或球坐标。
确定积分限，注意先后次序。
写出面积元或体积元。
若被积函数或区域具有对称性，先利用对称性化简。
检查积分限是否与被积函数的变量一致。
利用换元时，必须乘以雅可比行列式的绝对值。

练习

计算 $\displaystyle\iint_D(x+y),\mathrm dx,\mathrm dy$，其中 $D=[0,1]\times[0,1]$。
计算 $\displaystyle\iint_Dx^2y,\mathrm dx,\mathrm dy$，其中 $D=[0,1]\times[0,2]$。
计算 $\displaystyle\iint_Dxy,\mathrm dx,\mathrm dy$，其中 $D$ 是由 $x=0$、$y=0$、$x+y=1$ 围成的三角形。
交换积分次序： $$\int_0^1\mathrm dx\int_x^1f(x,y),\mathrm dy.$$
计算 $\displaystyle\iint_{x^2+y^2\le1}(x^2+y^2),\mathrm dx,\mathrm dy$。
用二重积分计算心形线 $r=a(1+\cos\theta)$ 所围区域的面积。
计算 $\displaystyle\iiint_{[0,1]^3}xyz,\mathrm dx,\mathrm dy,\mathrm dz$。
计算 $\displaystyle\iiint_{x^2+y^2+z^2\le R^2}z^2,\mathrm dV$。
用柱坐标计算 $\displaystyle\iiint_\Omega(x^2+y^2),\mathrm dV$，其中 $\Omega$ 是圆柱 $x^2+y^2\le1$，$0\le z\le1$。
用球坐标计算半径为 $R$ 的球的体积。
求均匀圆盘 $x^2+y^2\le R^2$ 的质心。
利用对称性计算 $$\iint_{[-1,1]\times[-1,1]}(x^3y+x^2),\mathrm dx,\mathrm dy.$$

检测题

计算 $\displaystyle\int_0^1\mathrm dx\int_0^x(x+y),\mathrm dy$。
交换积分次序： $$\int_0^1\mathrm dx\int_{x^2}^xf(x,y),\mathrm dy.$$
用极坐标计算 $$\iint_D\mathrm e^{-(x^2+y^2)},\mathrm dx,\mathrm dy,$$ 其中 $D$ 是 $x\ge0$、$y\ge0$、$x^2+y^2\le1$ 所围区域。
计算 $\displaystyle\iint_{1\le x^2+y^2\le4}(x^2+y^2),\mathrm dx,\mathrm dy$。
计算 $\displaystyle\iiint_{[0,1]^3}xyz,\mathrm dx,\mathrm dy,\mathrm dz$。
计算 $\displaystyle\iiint_{x^2+y^2+z^2\le1}z^2,\mathrm dV$。
用柱坐标计算圆柱 $x^2+y^2\le1$、$0\le z\le h$ 的体积。
交换积分次序： $$\int_0^1\mathrm dy\int_0^yf(x,y),\mathrm dx.$$
计算 $\displaystyle\iint_{x^2+y^2\le1}(x+y),\mathrm dx,\mathrm dy$。
求面密度为 $\rho=x^2+y^2$ 的单位圆盘的质量。

参考答案与提示

$$\iint_D(x+y),\mathrm dx,\mathrm dy =\int_0^1\mathrm dx\int_0^1(x+y),\mathrm dy =\int_0^1\left(x+\frac12\right)\mathrm dx=1.$$
$$\iint_Dx^2y,\mathrm dx,\mathrm dy =\left(\int_0^1x^2,\mathrm dx\right)\left(\int_0^2y,\mathrm dy\right) =\frac13\cdot2=\frac23.$$
$$D={(x,y)\mid0\le x\le1,\ 0\le y\le1-x}.$$ $$\iint_Dxy,\mathrm dx,\mathrm dy =\int_0^1x,\mathrm dx\int_0^{1-x}y,\mathrm dy =\frac12\int_0^1x(1-x)^2,\mathrm dx =\frac12\cdot\frac1{12}=\frac1{24}.$$
区域为 $0\le x\le1$，$x\le y\le1$，即 $0\le y\le1$，$0\le x\le y$。故 $$\int_0^1\mathrm dx\int_x^1f(x,y),\mathrm dy =\int_0^1\mathrm dy\int_0^yf(x,y),\mathrm dx.$$
极坐标： $$\iint_{x^2+y^2\le1}(x^2+y^2),\mathrm dx,\mathrm dy =\int_0^{2\pi}\mathrm d\theta\int_0^1r^2\cdot r,\mathrm dr =2\pi\cdot\frac14=\frac\pi2.$$
$$S=\frac12\int_0^{2\pi}a^2(1+\cos\theta)^2,\mathrm d\theta =\frac{3\pi a^2}2.$$
$$\iiint_{[0,1]^3}xyz,\mathrm dx,\mathrm dy,\mathrm dz =\left(\int_0^1x,\mathrm dx\right)^3 =\left(\frac12\right)^3=\frac18.$$
球坐标： $$\iiint_{r\le R}z^2,\mathrm dV =\int_0^{2\pi}\mathrm d\theta\int_0^\pi\mathrm d\varphi \int_0^R(r\cos\varphi)^2r^2\sin\varphi,\mathrm dr.$$ 计算得 $$2\pi\cdot\frac{R^5}5\cdot\int_0^\pi\cos^2\varphi\sin\varphi,\mathrm d\varphi =2\pi\cdot\frac{R^5}5\cdot\frac23=\frac{4\pi R^5}{15}.$$
柱坐标： $$\iiint_\Omega(x^2+y^2),\mathrm dV =\int_0^{2\pi}\mathrm d\theta\int_0^1r^2\cdot r,\mathrm dr\int_0^1\mathrm dz =2\pi\cdot\frac14=\frac\pi2.$$
球坐标： $$V=\int_0^{2\pi}\mathrm d\theta\int_0^\pi\mathrm d\varphi\int_0^Rr^2\sin\varphi,\mathrm dr =2\pi\cdot2\cdot\frac{R^3}3=\frac{4\pi R^3}3.$$
由对称性，$\bar x=\bar y=0$，质心为 $(0,0)$。
$x^3y$ 关于 $x$ 和 $y$ 均为奇函数，积分为 $0$。故 $$\iint_{[-1,1]^2}(x^3y+x^2),\mathrm dx,\mathrm dy =\int_{-1}^1\mathrm dy\int_{-1}^1x^2,\mathrm dx =2\cdot\frac23=\frac43.$$

检测题参考答案

$$\int_0^1\mathrm dx\int_0^x(x+y),\mathrm dy =\int_0^1\left(x^2+\frac{x^2}2\right)\mathrm dx =\frac32\cdot\frac13=\frac12.$$
区域为 $0\le x\le1$，$x^2\le y\le x$。对固定 $y\in[0,1]$，$x$ 满足 $y\le x\le\sqrt y$。故 $$\int_0^1\mathrm dy\int_y^{\sqrt y}f(x,y),\mathrm dx.$$
极坐标： $$\iint_D\mathrm e^{-(x^2+y^2)},\mathrm dx,\mathrm dy =\int_0^{\pi/2}\mathrm d\theta\int_0^1\mathrm e^{-r^2}r,\mathrm dr =\frac\pi2\cdot\frac{1-\mathrm e^{-1}}2 =\frac\pi4\left(1-\frac1{\mathrm e}\right).$$
极坐标： $$\int_0^{2\pi}\mathrm d\theta\int_1^2r^2\cdot r,\mathrm dr =2\pi\cdot\frac{16-1}4=\frac{15\pi}2.$$
$$\iiint_{[0,1]^3}xyz,\mathrm dV=\frac18.$$
由练习第 8 题，取 $R=1$： $$\iiint_{x^2+y^2+z^2\le1}z^2,\mathrm dV=\frac{4\pi}{15}.$$
柱坐标： $$V=\int_0^{2\pi}\mathrm d\theta\int_0^1r,\mathrm dr\int_0^h\mathrm dz =2\pi\cdot\frac12\cdot h=\pi h.$$
区域为 $0\le y\le1$，$0\le x\le y$，即 $0\le x\le1$，$x\le y\le1$。故 $$\int_0^1\mathrm dy\int_0^yf(x,y),\mathrm dx =\int_0^1\mathrm dx\int_x^1f(x,y),\mathrm dy.$$
由对称性，$x$ 与 $y$ 在圆盘上的积分均为 $0$，故 $$\iint_{x^2+y^2\le1}(x+y),\mathrm dx,\mathrm dy=0.$$
$$m=\iint_{x^2+y^2\le1}(x^2+y^2),\mathrm dx,\mathrm dy =\int_0^{2\pi}\mathrm d\theta\int_0^1r^2\cdot r,\mathrm dr =\frac\pi2.$$

第17章-重积分

第 17 章 重积分