第 12 章幂级数

本章整理幂级数的收敛半径与收敛区间、分析性质、泰勒级数、初等函数的幂级数展开以及幂级数在近似计算与求和中的应用。幂级数是函数项级数中最重要的一类。

12.1 幂级数及其收敛性

12.1.1 定义

形如 $$\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+\cdots$$ 的函数项级数称为幂级数，其中 $a_n$ 为常数，$x_0$ 为展开中心。

当 $x_0=0$ 时，幂级数为 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$。
幂级数的收敛域一定是区间（可能退化为一点或整个实数轴）。

12.1.2 阿贝尔定理

若幂级数 $\displaystyle\sum a_nx^n$ 在 $x=x_1\ne0$ 处收敛，则对任意满足 $|x|<|x_1|$ 的 $x$，幂级数绝对收敛；若在 $x=x_2$ 处发散，则对任意满足 $|x|>|x_2|$ 的 $x$，幂级数发散。

由此，存在唯一的 $R\in[0,+\infty]$，使：
- 当 $|x|<R$ 时，幂级数绝对收敛；
- 当 $|x|>R$ 时，幂级数发散；
- 当 $x=\pm R$ 时，敛散性需单独判断。
$R$ 称为收敛半径，$(-R,R)$ 称为收敛区间（开区间）。加上端点中收敛的点，得到收敛域。

幂级数的收敛区间

12.1.3 收敛半径的求法

根值公式： $$\frac1R=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}.$$ 约定 $\dfrac10=+\infty$，$\dfrac1{+\infty}=0$。
比值公式：若极限存在， $$R=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|.$$
对 $\displaystyle\sum a_n(x-x_0)^n$，收敛半径同上，收敛区间为 $(x_0-R,x_0+R)$。
端点 $x=x_0\pm R$ 处代入原级数，化为数项级数另行判断。

12.1.4 收敛域的结构

收敛域是区间，可能是：
- 单点 ${x_0}$（$R=0$）；
- 开区间、半开半闭区间、闭区间；
- 整个 $\mathbb{R}$（$R=+\infty$）。

12.2 幂级数的分析性质

12.2.1 内闭一致收敛

设幂级数的收敛半径为 $R>0$，则对任意 $0<r<R$，幂级数在 $[-r,r]$ 上一致收敛（对 $x_0=0$ 的情形）。

由阿贝尔定理与 $M$ 判别法可得。
因此幂级数在收敛区间内部可以逐项积分、逐项求导。

12.2.2 和函数的连续性

幂级数的和函数 $S(x)$ 在 $(-R,R)$ 内连续。
若幂级数在端点 $x=R$ 处收敛，则 $S(x)$ 在 $R$ 处左连续；若在 $x=-R$ 处收敛，则右连续（阿贝尔第二定理）。

12.2.3 逐项积分

设 $\displaystyle S(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$，$|x|<R$，则对任意 $x\in(-R,R)$， $$\int_0^xS(t),\mathrm dt=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{n+1}x^{n+1},$$ 且右端幂级数的收敛半径仍为 $R$。

逐项积分可能改善端点处的收敛性。

12.2.4 逐项求导

设 $\displaystyle S(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$，$|x|<R$，则 $S$ 在 $(-R,R)$ 内可导，且 $$S'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1},$$ 右端幂级数的收敛半径仍为 $R$。

可重复求导： $$S^{(k)}(x)=\sum_{n=k}^{\infty}n(n-1)\cdots(n-k+1)a_nx^{n-k}.$$
逐项求导可能降低端点处的收敛性。

12.2.5 系数唯一性

若在 $(-R,R)$ 内 $$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n=\sum_{n=0}^{\infty}b_nx^n,$$ 则 $a_n=b_n$（$n=0,1,2,\dots$）。
因此函数的幂级数展开（若存在）是唯一的。

12.3 泰勒级数

12.3.1 定义

设 $f$ 在 $x_0$ 的某邻域内无穷次可导，称幂级数 $$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$$ 为 $f$ 在 $x_0$ 处的泰勒级数。当 $x_0=0$ 时，称为麦克劳林级数。

泰勒级数在收敛区间内是否收敛于 $f$，需要考察余项： $$R_n(x)=f(x)-\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k.$$
$f$ 在 $x_0$ 的某邻域内等于其泰勒级数当且仅当 $$\lim_{n\to\infty}R_n(x)=0.$$
$f$ 无穷次可导（$C^\infty$）不一定能展开成泰勒级数。例如 $$f(x)=\begin{cases}\mathrm e^{-1/x^2},&x\ne0,\0,&x=0\end{cases}$$ 在 $0$ 处各阶导数都为 $0$，其泰勒级数恒为 $0$，但在 $x\ne0$ 处 $f(x)\ne0$。
若 $f$ 在包含 $x_0$ 的某区间内有任意阶导数，且存在 $M>0$，使 $$|f^{(n)}(x)|\le M\quad(n=0,1,2,\dots),$$ 则该区间内的泰勒级数收敛于 $f$。

12.3.2 泰勒级数与泰勒公式的关系

泰勒公式： $$f(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+R_n(x).$$
泰勒级数就是把 $n\to\infty$ 的极限形式。
常用余项：拉格朗日余项、佩亚诺余项、积分余项。

12.4 初等函数的幂级数展开

12.4.1 基本展开式

$$\frac1{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^n=1+x+x^2+\cdots\quad(|x|<1),$$

$$\frac1{1+x}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^n\quad(|x|<1),$$

$$\mathrm e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}\quad(x\in\mathbb{R}),$$

$$\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\quad(x\in\mathbb{R}),$$

$$\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}\quad(x\in\mathbb{R}),$$

$$\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}\quad(-1<x\le1),$$

$$\arctan x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}\quad(-1\le x\le1),$$

$$(1+x)^\alpha=1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n\quad(|x|<1).$$

二项式级数在端点 $x=\pm1$ 的敛散性取决于 $\alpha$，需单独讨论。
$\sinh x$、$\cosh x$ 的展开可由 $\mathrm e^x$ 与 $\mathrm e^{-x}$ 组合得到。

12.4.2 展开方法

直接法：求 $f^{(n)}(0)$，写出麦克劳林级数并验证余项。
代换法：利用已知展开式，例如 $\mathrm e^{-x^2}$ 由 $\mathrm e^t$ 的展开令 $t=-x^2$。
逐项求导/积分法：例如由 $\dfrac1{1+x}$ 积分得到 $\ln(1+x)$，由 $\dfrac1{1+x^2}$ 积分得到 $\arctan x$。
四则运算法：对已知级数进行加减乘除，注意收敛域。
待定系数法：适用于求微分方程的解或某些特殊函数展开。

12.4.3 常用展开的收敛域

函数	展开式	收敛域
$\dfrac1{1-x}$	$\sum x^n$	$(-1,1)$
$\mathrm e^x$	$\sum\dfrac{x^n}{n!}$	$\mathbb{R}$
$\sin x$	$\sum(-1)^n\dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$	$\mathbb{R}$
$\cos x$	$\sum(-1)^n\dfrac{x^{2n}}{(2n)!}$	$\mathbb{R}$
$\ln(1+x)$	$\sum(-1)^{n-1}\dfrac{x^n}{n}$	$(-1,1]$
$\arctan x$	$\sum(-1)^n\dfrac{x^{2n+1}}{2n+1}$	$[-1,1]$
$(1+x)^\alpha$	二项式级数	$(-1,1)$（端点另论）

12.5 幂级数的应用

12.5.1 近似计算

用幂级数的部分和近似函数值，余项用交错级数估计或拉格朗日余项估计。
例： $$\sin x\approx x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!},$$ $$\mathrm e^x\approx1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}.$$
误差估计：若为交错级数且满足莱布尼茨条件，误差不超过第一个被舍去项的绝对值。

12.5.2 求极限

将函数展开到适当阶数，消去低阶项。
例： $$\lim_{x\to0}\frac{\sin x-x}{x^3} =\lim_{x\to0}\frac{-\frac{x^3}6+o(x^3)}{x^3}=-\frac16.$$

12.5.3 计算积分

对原函数不是初等函数的积分，可先展开被积函数，再逐项积分。
例： $$\int_0^1\mathrm e^{-x^2},\mathrm dx =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!(2n+1)}.$$
逐项积分的合法性由幂级数在收敛区间内闭一致收敛保证。

12.5.4 求数项级数的和

构造幂级数 $S(x)=\sum a_nx^n$，求出和函数后令 $x$ 取特定值（需在收敛域内或利用阿贝尔定理取极限）。
例： $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}n=\ln2,$$ $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n2^n}=-\ln\left(1-\frac12\right)=\ln2.$$

12.5.5 求和函数的方法

直接套用已知展开式。
逐项求导：若 $\sum na_nx^{n-1}$ 易求，先求导再积分。
逐项积分：若 $\sum\dfrac{a_n}{n+1}x^{n+1}$ 易求，先积分再求导。
解微分方程：设 $S(x)=\sum a_nx^n$，利用系数关系建立 $S$ 的微分方程。
拆项：把系数拆成已知级数的线性组合。

12.5.6 欧拉公式

$$\mathrm e^{\mathrm ix}=\cos x+\mathrm i\sin x\quad(x\in\mathbb{R}).$$

由此可得 $$\cos x=\frac{\mathrm e^{\mathrm ix}+\mathrm e^{-\mathrm ix}}2,\qquad \sin x=\frac{\mathrm e^{\mathrm ix}-\mathrm e^{-\mathrm ix}}{2\mathrm i}.$$
欧拉公式把三角函数与指数函数联系起来，是复变函数与傅里叶分析的基础。

练习

求幂级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}$ 的收敛半径和收敛域。
求幂级数 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$ 的收敛半径和收敛域。
求幂级数 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}n!x^n$ 的收敛半径。
求幂级数 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x-1)^n}{2^n}$ 的收敛半径和收敛域。
求 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}x^n$ 的和函数及收敛域。
求 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}nx^n$ 的和函数（$|x|<1$）。
求 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}$ 的和函数及收敛域。
将 $\mathrm e^{-x^2}$ 展开为麦克劳林级数，并写出收敛域。
将 $\ln(1+x)$ 展开为麦克劳林级数，指出收敛域。
用幂级数计算 $\displaystyle\int_0^1\mathrm e^{-x^2},\mathrm dx$ 的级数表示，并求前 $3$ 项近似值。
用幂级数求 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x-x}{x^3}$。
将 $\arctan x$ 展开为麦克劳林级数，并指出收敛域。

检测题

求 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^nx^n}{n}$ 的收敛半径和收敛域。
求 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x+2)^n}{n3^n}$ 的收敛半径和收敛域。
求 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}n(n+1)x^n$ 的和函数（$|x|<1$）。
将 $\sin(x^2)$ 展开为麦克劳林级数，并写出收敛域。
将 $\dfrac{x}{1+x^2}$ 展开为幂级数，并写出收敛域。
用幂级数求 $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\mathrm e^x-1-x}{x^2}$。
用幂级数近似计算 $\sin0.1$，要求误差小于 $10^{-5}$。
求 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(n!)^2}{(2n)!}x^n$ 的收敛半径。
求 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n+1}$ 的和函数（$|x|<1$）。
利用 $\arctan x$ 的展开式计算 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}$。

参考答案与提示

由比值公式， $$R=\lim_{n\to\infty}\frac{1/n}{1/(n+1)}=1.$$ 当 $x=1$ 时为调和级数，发散；当 $x=-1$ 时为交错级数，收敛。故收敛域为 $[-1,1)$。
$$R=\lim_{n\to\infty}\frac{1/n!}{1/(n+1)!}=\lim_{n\to\infty}(n+1)=+\infty,$$ 收敛域为 $\mathbb{R}$。
$$R=\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{(n+1)!}=0,$$ 仅在 $x=0$ 处收敛。
令 $t=x-1$，$\sum\dfrac{t^n}{2^n}$ 的收敛半径为 $2$，故原级数收敛半径为 $2$，收敛区间为 $(-1,3)$。端点 $x=-1$ 时 $\sum(-1)^n$ 发散，$x=3$ 时 $\sum1$ 发散，故收敛域为 $(-1,3)$。
$$\sum_{n=0}^{\infty}x^n=\frac1{1-x},\qquad |x|<1.$$
由 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}x^n=\frac1{1-x}$ 逐项求导： $$\sum_{n=1}^{\infty}nx^{n-1}=\frac1{(1-x)^2},$$ 故 $$\sum_{n=1}^{\infty}nx^n=\frac{x}{(1-x)^2},\qquad |x|<1.$$
由 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}x^{n-1}=\frac1{1-x}$ 逐项积分： $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}=-\ln(1-x),\qquad -1\le x<1.$$ 在 $x=-1$ 处级数收敛于 $-\ln2$。
由 $\mathrm e^t=\sum\dfrac{t^n}{n!}$ 令 $t=-x^2$： $$\mathrm e^{-x^2}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nx^{2n}}{n!},\qquad x\in\mathbb{R}.$$
$$\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n},\qquad -1<x\le1.$$
$$\int_0^1\mathrm e^{-x^2},\mathrm dx =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!(2n+1)}.$$ 前三项： $$1-\frac13+\frac1{10}=\frac{23}{30}\approx0.7667.$$ 误差不超过下一项 $\dfrac1{42}\approx0.0238$。
$\sin x=x-\dfrac{x^3}6+o(x^3)$，故 $$\frac{\sin x-x}{x^3}\to-\frac16.$$
$$\arctan x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1},\qquad -1\le x\le1.$$

检测题参考答案

令 $t=2x$，$\sum\dfrac{t^n}{n}$ 的收敛半径为 $1$，故原级数收敛半径为 $\dfrac12$。端点 $x=\dfrac12$ 时为调和级数，发散；$x=-\dfrac12$ 时为交错级数，收敛。收敛域为 $\left[-\dfrac12,\dfrac12\right)$。
令 $t=x+2$，$\sum\dfrac{t^n}{n3^n}$ 的收敛半径为 $3$，故原级数收敛半径为 $3$，收敛区间为 $(-5,1)$。端点 $x=-5$ 时为 $\sum\dfrac{(-1)^n}{n}$，收敛；$x=1$ 时为调和级数，发散。收敛域为 $[-5,1)$。
已知 $$\sum_{n=1}^{\infty}nx^n=\frac{x}{(1-x)^2},\qquad \sum_{n=1}^{\infty}n^2x^n=\frac{x(1+x)}{(1-x)^3}.$$ 故 $$\sum_{n=1}^{\infty}n(n+1)x^n =\sum n^2x^n+\sum nx^n =\frac{x(1+x)}{(1-x)^3}+\frac{x}{(1-x)^2} =\frac{2x}{(1-x)^3}.$$
由 $\sin t=\sum(-1)^n\dfrac{t^{2n+1}}{(2n+1)!}$ 令 $t=x^2$： $$\sin(x^2)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{4n+2}}{(2n+1)!},\qquad x\in\mathbb{R}.$$
$$\frac{x}{1+x^2}=x\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^{2n} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^{2n+1},\qquad |x|<1.$$
$\mathrm e^x=1+x+\dfrac{x^2}2+o(x^2)$，故 $$\frac{\mathrm e^x-1-x}{x^2}\to\frac12.$$
$$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots$$ 取 $x=0.1$： $$\sin0.1\approx0.1-\frac{0.001}{6}=0.1-0.00016667=0.09983333.$$ 下一项为 $\dfrac{0.1^5}{120}\approx8.33\times10^{-8}<10^{-5}$，满足精度要求。
由比值公式， $$R=\lim_{n\to\infty}\frac{(n!)^2}{(2n)!}\cdot\frac{(2n+2)!}{((n+1)!)^2} =\lim_{n\to\infty}\frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)^2}=4.$$
当 $x\ne0$ 时， $$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n+1} =\frac1x\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n+1}}{n+1} =-\frac{\ln(1-x)}x.$$ 当 $x=0$ 时，和函数为 $1$。收敛域为 $[-1,1)$。
在 $\arctan x$ 的展开式中令 $x=1$： $$\arctan1=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\frac\pi4.$$

第12章-幂级数

第 12 章 幂级数