大学数学分析讲义（浓缩教材）

这套讲义是什么

• 按知识主题组织数学分析的内容，覆盖通常“数学分析一、二、三”三个学期的范围，但不按册次拆目录。
• 不包含实变函数内容（测度论、勒贝格积分、可测函数等）。
• 只保留定义、定理、公式、方法和推理格式等实质内容，不含情境引入、例题、探究活动、阅读材料等教学性内容。
• 每章包含三部分：知识点、练习（巩固基本概念和常规方法）、检测题（综合性、灵活性较强，用于检验是否真正掌握）。
• 每章末尾附参考答案与提示，方便自检。
• 公式使用 LaTeX 书写，Typora 可直接渲染；插图使用 SVG，放在 assets/ 目录中。

使用说明

1. 建议按章顺序阅读。前章内容是后章的基础：实数与极限是整个分析的地基，导数与积分是一元部分的主干，级数与多元部分依赖前面的极限理论。
2. 先读知识点，再做“练习”；做完后对照答案。确认基本方法无误后，再独立完成“检测题”。
3. 检测题中的证明、判断、纠错、开放题，重点看推理是否完整、依据是否充分，而不是只看最终答案。
4. 证明题必须写清所用定理的条件。数学分析中大量命题的成立依赖“闭区间”“连续”“一致收敛”等条件，去掉条件后结论可能不成立。
5. 本讲义按数学分析的知识体系编写，不依赖某一套教材的具体编排。

目录

符号约定

• 用 $\mathbb{R}$ 表示实数集，$\mathbb{N}^*$ 表示正整数集，$\mathbb{Z}$ 表示整数集，$\mathbb{Q}$ 表示有理数集，$\mathbb{C}$ 表示复数集。
• 用 $\mathbb{R}^n$ 表示 $n$ 维欧氏空间，$\boldsymbol{x}=(x_1,\dots,x_n)$ 表示其中的点。
• 用 $U(x_0,\delta)$ 表示点 $x_0$ 的 $\delta$ 邻域，$\mathring{U}(x_0,\delta)$ 表示去心邻域。
• 用 $\sup S$、$\inf S$ 分别表示数集 $S$ 的上确界、下确界。
• 用 $f'(x)$、$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 表示导数，$\dfrac{\partial f}{\partial x}$ 表示偏导数。
• 用 $\displaystyle\int_a^b f(x),\mathrm{d}x$ 表示定积分，$\displaystyle\int f(x),\mathrm{d}x$ 表示不定积分。
• 用 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ 表示级数，$S_n$ 表示部分和。
• 用 $\mathrm{e}$ 表示自然对数的底，$\ln x$ 表示自然对数；$\Gamma(s)$、$\mathrm{B}(p,q)$ 分别表示伽马函数与贝塔函数。
• 用 $\nabla f$ 表示梯度，$\operatorname{div}\boldsymbol{F}$ 表示散度，$\operatorname{rot}\boldsymbol{F}$ 表示旋度。