第 8 章定积分的应用

本章整理用定积分计算面积、体积、弧长、旋转曲面面积以及功、压力、质心等物理量的方法。核心思想是微元法：把所求量分解为若干微小部分，写出微元，再积分求和。

8.1 微元法

若所求量 $U$ 与区间 $[a,b]$ 有关，且满足：

$U$ 对区间具有可加性；
在小区间 $[x,x+\mathrm dx]$ 上，$U$ 的增量可以近似表示为 $$\Delta U\approx f(x),\mathrm dx,$$ 且误差是比 $\mathrm dx$ 高阶的无穷小，

则 $$U=\int_a^b f(x),\mathrm dx.$$

$f(x),\mathrm dx$ 称为微元。
使用微元法的关键：选对积分变量，写对微元表达式，确定积分限。
常用微元：
- 面积微元 $\mathrm dA=f(x),\mathrm dx$；
- 体积微元 $\mathrm dV=A(x),\mathrm dx$；
- 弧长微元 $\mathrm ds=\sqrt{(\mathrm dx)^2+(\mathrm dy)^2}$；
- 功微元 $\mathrm dW=F(x),\mathrm dx$。

8.2 平面图形的面积

8.2.1 直角坐标情形

由曲线 $y=f(x)$（上）、$y=g(x)$（下）及直线 $x=a$、$x=b$ 围成的区域： $$A=\int_a^b[f(x)-g(x)],\mathrm dx.$$

定积分求平面图形面积

由曲线 $x=\varphi(y)$（右）、$x=\psi(y)$（左）及直线 $y=c$、$y=d$ 围成的区域： $$A=\int_c^d[\varphi(y)-\psi(y)],\mathrm dy.$$
计算前先求交点，确定积分限和被积函数（上减下、右减左）。

8.2.2 参数方程情形

设曲线由 $$\begin{cases}x=x(t),\y=y(t),\end{cases}\quad t\in[\alpha,\beta]$$ 给出，$x(t)$ 单调，则曲线与 $x$ 轴及 $x=x(\alpha)$、$x=x(\beta)$ 围成的区域面积为 $$A=\int_\alpha^\beta |y(t)x'(t)|,\mathrm dt.$$

对按逆时针方向绕行的闭曲线， $$A=\frac12\oint_C(x,\mathrm dy-y,\mathrm dx) =\frac12\int_\alpha^\beta\left[x(t)y'(t)-y(t)x'(t)\right]\mathrm dt.$$
若曲线按顺时针方向绕行，结果为负，取绝对值。

8.2.3 极坐标情形

由曲线 $r=r(\theta)$ 与两条射线 $\theta=\alpha$、$\theta=\beta$ 围成的曲边扇形： $$A=\frac12\int_\alpha^\beta r^2(\theta),\mathrm d\theta.$$
由两条曲线 $r=r_1(\theta)$（内）、$r=r_2(\theta)$（外）围成的区域： $$A=\frac12\int_\alpha^\beta\left[r_2^2(\theta)-r_1^2(\theta)\right]\mathrm d\theta.$$
求极坐标区域面积时，先确定 $\theta$ 的范围，再判断内外曲线。

8.3 体积

8.3.1 已知平行截面面积的立体

若立体在 $x$ 处的横截面积为 $A(x)$，则体积为 $$V=\int_a^b A(x),\mathrm dx.$$

8.3.2 旋转体体积（圆盘法）

曲线 $y=f(x)\ge0$（$a\le x\le b$）绕 $x$ 轴旋转： $$V=\pi\int_a^b f^2(x),\mathrm dx.$$
曲线 $x=g(y)\ge0$（$c\le y\le d$）绕 $y$ 轴旋转： $$V=\pi\int_c^d g^2(y),\mathrm dy.$$
两曲线之间的区域绕 $x$ 轴旋转（垫圈法）： $$V=\pi\int_a^b\left[R^2(x)-r^2(x)\right]\mathrm dx,$$ 其中 $R(x)$ 为外半径，$r(x)$ 为内半径。

8.3.3 旋转体体积（柱壳法）

曲线 $y=f(x)\ge0$（$0\le a\le x\le b$）与 $x$ 轴之间的区域绕 $y$ 轴旋转： $$V=2\pi\int_a^b x f(x),\mathrm dx.$$

柱壳法适用于绕 $y$ 轴旋转但 $x=g(y)$ 不易求出的情形。
柱壳微元：$\mathrm dV=2\pi x\cdot f(x),\mathrm dx$。

8.3.4 参数方程与极坐标情形

参数曲线绕 $x$ 轴旋转： $$V=\pi\int_\alpha^\beta y^2(t)|x'(t)|,\mathrm dt.$$
极坐标曲线 $r=r(\theta)$ 与射线 $\theta=\alpha,\beta$ 围成的区域绕极轴（$x$ 轴）旋转： $$V=\frac{2\pi}{3}\int_\alpha^\beta r^3(\theta)\sin\theta,\mathrm d\theta$$ （在 $r\ge0$、$0\le\theta\le\pi$ 等适用条件下）。

8.4 平面曲线的弧长

8.4.1 直角坐标

若 $y=f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有连续导数，则弧长为 $$s=\int_a^b\sqrt{1+\left[f'(x)\right]^2},\mathrm dx.$$

弧长微元： $$\mathrm ds=\sqrt{1+y'^2},\mathrm dx.$$

8.4.2 参数方程

若 $$\begin{cases}x=x(t),\y=y(t),\end{cases}\quad t\in[\alpha,\beta],$$ 且 $x',y'$ 连续，则 $$s=\int_\alpha^\beta\sqrt{\left[x'(t)\right]^2+\left[y'(t)\right]^2},\mathrm dt.$$

8.4.3 极坐标

若 $r=r(\theta)$（$\alpha\le\theta\le\beta$）有连续导数，则 $$s=\int_\alpha^\beta\sqrt{r^2(\theta)+\left[r'(\theta)\right]^2},\mathrm d\theta.$$

弧长微元： $$\mathrm ds=\sqrt{r^2+r'^2},\mathrm d\theta.$$

8.4.4 空间曲线

若空间曲线由 $$x=x(t),\quad y=y(t),\quad z=z(t),\quad t\in[\alpha,\beta]$$ 给出，则 $$s=\int_\alpha^\beta\sqrt{\left[x'(t)\right]^2+\left[y'(t)\right]^2+\left[z'(t)\right]^2},\mathrm dt.$$

8.5 旋转曲面的面积

曲线 $y=f(x)\ge0$（$a\le x\le b$）绕 $x$ 轴旋转： $$S=2\pi\int_a^b f(x)\sqrt{1+\left[f'(x)\right]^2},\mathrm dx.$$
参数曲线绕 $x$ 轴旋转： $$S=2\pi\int_\alpha^\beta |y(t)|\sqrt{\left[x'(t)\right]^2+\left[y'(t)\right]^2},\mathrm dt.$$
极坐标曲线绕极轴旋转： $$S=2\pi\int_\alpha^\beta |r(\theta)\sin\theta|\sqrt{r^2(\theta)+\left[r'(\theta)\right]^2},\mathrm d\theta.$$
注意：旋转曲面面积不是 $\pi\int y^2,\mathrm dx$，后者是旋转体体积。面积微元为 $$\mathrm dS=2\pi|y|,\mathrm ds.$$

8.6 物理应用

8.6.1 变力做功

若物体在力 $F(x)$ 作用下沿 $x$ 轴从 $a$ 移到 $b$，且 $F$ 的方向与运动方向一致，则 $$W=\int_a^b F(x),\mathrm dx.$$
弹簧做功：若伸长 $x$ 时弹力为 $kx$（胡克定律），则从 $0$ 拉伸到 $a$ 所做的功为 $$W=\int_0^a kx,\mathrm dx=\frac12ka^2.$$

8.6.2 液体静压力

深度为 $h$ 处的压强为 $p=\rho gh$，其中 $\rho$ 为液体密度，$g$ 为重力加速度。
若竖直平板在深度 $h$ 处的宽度为 $w(h)$，则液体对平板一侧的压力为 $$P=\int_{h_1}^{h_2}\rho gh,w(h),\mathrm dh.$$
计算时先建立坐标系，写出深度与宽度的关系。

8.6.3 质心

平面薄片（面密度均匀）由 $y=f(x)$（上）、$y=g(x)$（下）、$x=a$、$x=b$ 围成，面积为 $A$，则质心坐标： $$\bar x=\frac1A\int_a^b x[f(x)-g(x)],\mathrm dx,$$ $$\bar y=\frac1{2A}\int_a^b\left[f^2(x)-g^2(x)\right]\mathrm dx.$$
曲线 $y=f(x)$（$a\le x\le b$）的质心（线密度均匀）： $$\bar x=\frac{\int_a^b x\sqrt{1+y'^2},\mathrm dx}{\int_a^b\sqrt{1+y'^2},\mathrm dx},\qquad \bar y=\frac{\int_a^b y\sqrt{1+y'^2},\mathrm dx}{\int_a^b\sqrt{1+y'^2},\mathrm dx}.$$

8.6.4 转动惯量

平面薄片绕 $x$ 轴的转动惯量： $$I_x=\rho\int_a^b\int_{g(x)}^{f(x)}y^2,\mathrm dy,\mathrm dx =\frac{\rho}{3}\int_a^b\left[f^3(x)-g^3(x)\right]\mathrm dx.$$
绕 $y$ 轴的转动惯量： $$I_y=\rho\int_a^b x^2[f(x)-g(x)],\mathrm dx.$$
若面密度为 $\sigma$，则取 $\rho=\sigma$。

8.6.5 函数的平均值

函数 $f$ 在 $[a,b]$ 上的平均值为 $$\bar f=\frac1{b-a}\int_a^b f(x),\mathrm dx.$$

电流、功率等的平均值都可用此公式计算。

8.7 应用题的解题步骤

画图，建立坐标系，确定积分变量。
求出边界交点，确定积分限。
写出微元（面积、体积、弧长、功等）。
积分计算。
检验结果的量纲和合理性。

练习

求曲线 $y=x^2$ 与 $y=x$ 所围图形的面积。
求曲线 $y=\sin x$ 在 $[0,\pi]$ 上与 $x$ 轴围成的面积。
求椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 的面积。
求心形线 $r=a(1+\cos\theta)$（$a>0$）所围图形的面积。
求曲线 $y=\sqrt x$（$0\le x\le1$）与 $x$ 轴围成的图形绕 $x$ 轴旋转所得旋转体的体积。
求半径为 $R$ 的球体的体积。
求底面半径为 $r$、高为 $h$ 的圆锥的体积。
求曲线 $y=x^{3/2}$ 从 $x=0$ 到 $x=4$ 的弧长。
求摆线 $$\begin{cases}x=a(t-\sin t),\y=a(1-\cos t),\end{cases}\quad 0\le t\le2\pi$$ 的弧长（$a>0$）。
求半径为 $R$ 的球面的面积。
弹簧伸长 $x$ 时弹力为 $kx$。求从自然长度拉伸到 $a$ 所做的功。
求由 $y=x^2$ 与 $y=x$ 围成图形的质心。

检测题

求曲线 $y=x^3$ 与 $y=x$ 所围成的全部区域面积。
求圆 $r=2a\cos\theta$（$a>0$）所围图形的面积。
求曲线 $y=\sin x$（$0\le x\le\pi$）与 $x$ 轴围成的图形绕 $x$ 轴旋转所得旋转体的体积。
求曲线 $y=x$ 与 $y=x^2$ 围成的图形绕 $x$ 轴旋转所得旋转体的体积。
求曲线 $y=\ln(\cos x)$ 从 $x=0$ 到 $x=\dfrac\pi4$ 的弧长。
求星形线 $x=a\cos^3t$，$y=a\sin^3t$ 在第一象限内从 $t=0$ 到 $t=\dfrac\pi2$ 的弧长。
求曲线 $y=x$（$0\le x\le1$）绕 $x$ 轴旋转所得旋转曲面的面积。
弹簧伸长 $x$ 时弹力为 $kx$。求从伸长 $a$ 继续拉伸到 $b$（$b>a$）所做的功。
求由 $y=\sqrt x$、$x$ 轴及 $x=1$ 围成图形的质心。
求函数 $f(x)=x^2$ 在 $[0,1]$ 上的平均值。

参考答案与提示

交点为 $(0,0)$、$(1,1)$。在 $[0,1]$ 上 $x\ge x^2$，故 $$A=\int_0^1(x-x^2),\mathrm dx=\frac12-\frac13=\frac16.$$
在 $[0,\pi]$ 上 $\sin x\ge0$， $$A=\int_0^\pi\sin x,\mathrm dx=2.$$
由对称性， $$A=4\int_0^a b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}},\mathrm dx.$$ 令 $x=a\sin t$，得 $$A=4ab\int_0^{\pi/2}\cos^2t,\mathrm dt=4ab\cdot\frac\pi4=\pi ab.$$
心形线在 $0\le\theta\le2\pi$ 上闭合， $$A=\frac12\int_0^{2\pi}a^2(1+\cos\theta)^2,\mathrm d\theta =\frac{a^2}2\int_0^{2\pi}\left(1+2\cos\theta+\cos^2\theta\right)\mathrm d\theta =\frac{a^2}2\left(2\pi+\pi\right)=\frac{3\pi a^2}2.$$
$$V=\pi\int_0^1(\sqrt x)^2,\mathrm dx=\pi\int_0^1x,\mathrm dx=\frac\pi2.$$
球可看作 $y=\sqrt{R^2-x^2}$（$-R\le x\le R$）绕 $x$ 轴旋转： $$V=\pi\int_{-R}^R(R^2-x^2),\mathrm dx =\pi\left[R^2x-\frac{x^3}3\right]_{-R}^R=\frac{4\pi R^3}3.$$
圆锥可看作直线 $y=\dfrac rhx$（$0\le x\le h$）绕 $x$ 轴旋转： $$V=\pi\int_0^h\frac{r^2}{h^2}x^2,\mathrm dx=\frac{\pi r^2h}3.$$
$y'=\dfrac32\sqrt x$， $$s=\int_0^4\sqrt{1+\frac94x},\mathrm dx.$$ 令 $u=1+\dfrac94x$，得 $$s=\frac49\cdot\frac23\left[u^{3/2}\right]_1^{10} =\frac8{27}\left(10\sqrt{10}-1\right).$$
$x'=a(1-\cos t)$，$y'=a\sin t$，故 $$\sqrt{x'^2+y'^2}=a\sqrt{(1-\cos t)^2+\sin^2t} =a\sqrt{2-2\cos t}=2a\left|\sin\frac t2\right|.$$ 于是 $$s=\int_0^{2\pi}2a\sin\frac t2,\mathrm dt=8a.$$
球面由半圆 $y=\sqrt{R^2-x^2}$ 绕 $x$ 轴旋转生成。$y'=-\dfrac{x}{\sqrt{R^2-x^2}}$， $$\sqrt{1+y'^2}=\frac{R}{\sqrt{R^2-x^2}}.$$ 故 $$S=2\pi\int_{-R}^R\sqrt{R^2-x^2}\cdot\frac{R}{\sqrt{R^2-x^2}},\mathrm dx =2\pi R\cdot2R=4\pi R^2.$$
$$W=\int_0^a kx,\mathrm dx=\frac12ka^2.$$
区域面积 $A=\dfrac16$。 $$\bar x=\frac1A\int_0^1x(x-x^2),\mathrm dx =6\cdot\frac1{12}=\frac12.$$ $$\bar y=\frac1{2A}\int_0^1\left[x^2-(x^2)^2\right]\mathrm dx =3\cdot\left(\frac13-\frac15\right)=\frac25.$$ 质心为 $\left(\dfrac12,\dfrac25\right)$。

检测题参考答案

交点为 $(-1,-1)$、$(0,0)$、$(1,1)$。由对称性， $$A=2\int_0^1(x-x^3),\mathrm dx =2\left(\frac12-\frac14\right)=\frac12.$$
圆 $r=2a\cos\theta$ 对应 $-\dfrac\pi2\le\theta\le\dfrac\pi2$， $$A=\frac12\int_{-\pi/2}^{\pi/2}4a^2\cos^2\theta,\mathrm d\theta =2a^2\cdot\frac\pi2=\pi a^2.$$
$$V=\pi\int_0^\pi\sin^2x,\mathrm dx=\pi\cdot\frac\pi2=\frac{\pi^2}2.$$
在 $[0,1]$ 上 $x\ge x^2$， $$V=\pi\int_0^1(x^2-x^4),\mathrm dx =\pi\left(\frac13-\frac15\right)=\frac{2\pi}{15}.$$
$y'=-\tan x$，$\sqrt{1+y'^2}=\sec x$， $$s=\int_0^{\pi/4}\sec x,\mathrm dx =\ln\left(\sec x+\tan x\right)\Big|_0^{\pi/4} =\ln(\sqrt2+1).$$
$x'=-3a\cos^2t\sin t$，$y'=3a\sin^2t\cos t$， $$\sqrt{x'^2+y'^2}=3a\sin t\cos t\quad\left(0\le t\le\frac\pi2\right).$$ 故 $$s=\int_0^{\pi/2}3a\sin t\cos t,\mathrm dt=\frac{3a}2.$$
$y'=1$，$\sqrt{1+y'^2}=\sqrt2$， $$S=2\pi\int_0^1x\sqrt2,\mathrm dx=\pi\sqrt2.$$
$$W=\int_a^bkx,\mathrm dx=\frac k2(b^2-a^2).$$
面积 $A=\displaystyle\int_0^1\sqrt x,\mathrm dx=\frac23$。 $$\bar x=\frac1A\int_0^1x\sqrt x,\mathrm dx =\frac32\cdot\frac25=\frac35.$$ $$\bar y=\frac1{2A}\int_0^1(\sqrt x)^2,\mathrm dx =\frac34\cdot\frac12=\frac38.$$ 质心为 $\left(\dfrac35,\dfrac38\right)$。
$$\bar f=\frac1{1-0}\int_0^1x^2,\mathrm dx=\frac13.$$

第08章-定积分的应用

第 8 章 定积分的应用