第 14 章多元函数极限与连续

本章整理 $\mathbb{R}^n$ 中的距离与拓扑、多元函数的极限、累次极限、连续性与一致连续，以及紧集上连续函数的性质。多元极限比一元极限复杂，路径依赖是核心难点。

14.1 $\mathbb{R}^n$ 空间

14.1.1 距离与范数

对 $\boldsymbol x=(x_1,\dots,x_n)$、$\boldsymbol y=(y_1,\dots,y_n)\in\mathbb{R}^n$，定义

内积：$\boldsymbol x\cdot\boldsymbol y=\displaystyle\sum_{i=1}^nx_iy_i$。
范数：$|\boldsymbol x|=\sqrt{\boldsymbol x\cdot\boldsymbol x}=\sqrt{x_1^2+\cdots+x_n^2}$。
距离：$d(\boldsymbol x,\boldsymbol y)=|\boldsymbol x-\boldsymbol y|$。

基本性质：

$|\boldsymbol x|\ge0$，且 $|\boldsymbol x|=0\iff\boldsymbol x=\boldsymbol 0$。
$|\lambda\boldsymbol x|=|\lambda|,|\boldsymbol x|$。
柯西-施瓦茨不等式：$|\boldsymbol x\cdot\boldsymbol y|\le|\boldsymbol x|,|\boldsymbol y|$。
三角不等式：$|\boldsymbol x+\boldsymbol y|\le|\boldsymbol x|+|\boldsymbol y|$。
距离三角不等式：$d(\boldsymbol x,\boldsymbol z)\le d(\boldsymbol x,\boldsymbol y)+d(\boldsymbol y,\boldsymbol z)$。

14.1.2 邻域

点 $\boldsymbol x_0$ 的 $\delta$ 邻域： $$U(\boldsymbol x_0,\delta)={\boldsymbol x\in\mathbb{R}^n\mid|\boldsymbol x-\boldsymbol x_0|<\delta}.$$
去心邻域： $$\mathring U(\boldsymbol x_0,\delta)={\boldsymbol x\mid0<|\boldsymbol x-\boldsymbol x_0|<\delta}.$$
在 $\mathbb{R}^2$ 中，邻域是开圆盘；在 $\mathbb{R}^3$ 中，邻域是开球。

14.1.3 点集拓扑

设 $E\subseteq\mathbb{R}^n$。

内点：若存在 $U(\boldsymbol x_0,\delta)\subseteq E$，则 $\boldsymbol x_0$ 是 $E$ 的内点。$E$ 的全体内点构成内部 $\mathring E$。
开集：若 $E$ 中每一点都是内点，则 $E$ 是开集。
边界点：若 $\boldsymbol x_0$ 的任意邻域内既有 $E$ 的点，又有 $E^c$ 的点，则 $\boldsymbol x_0$ 是边界点。全体边界点构成边界 $\partial E$。
闭集：若 $E^c=\mathbb{R}^n\setminus E$ 是开集，则 $E$ 是闭集。等价地，$E$ 包含其全部聚点。
闭包：$\overline E=E\cup\partial E$，是包含 $E$ 的最小闭集。
聚点：若 $\boldsymbol x_0$ 的任意去心邻域内都含有 $E$ 的点，则 $\boldsymbol x_0$ 是 $E$ 的聚点。
孤立点：$\boldsymbol x_0\in E$ 但不是聚点。
有界集：若存在 $M>0$，使对一切 $\boldsymbol x\in E$ 有 $|\boldsymbol x|\le M$，则 $E$ 有界。
紧集：若 $E$ 的任意开覆盖都有有限子覆盖，则 $E$ 是紧集。在 $\mathbb{R}^n$ 中， $$E\text{ 紧}\iff E\text{ 有界闭}.$$
连通集：若 $E$ 不能表示为两个不相交的非空开集（相对于 $E$）的并，则 $E$ 连通。
道路连通集：若 $E$ 中任意两点可用 $E$ 中的连续曲线连接，则 $E$ 道路连通。在 $\mathbb{R}^n$ 中，开集的连通与道路连通等价。
区域：连通的开集称为区域。

14.2 多元函数的极限

14.2.1 定义

设 $f$ 在点 $\boldsymbol x_0$ 的某去心邻域内有定义。若存在常数 $A$，使对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，当 $$0<|\boldsymbol x-\boldsymbol x_0|<\delta$$ 时，都有 $$|f(\boldsymbol x)-A|<\varepsilon,$$ 则称当 $\boldsymbol x\to\boldsymbol x_0$ 时 $f(\boldsymbol x)$ 的极限为 $A$，记作 $$\lim_{\boldsymbol x\to\boldsymbol x_0}f(\boldsymbol x)=A.$$

定义要求从任意方向、任意路径趋于 $\boldsymbol x_0$ 时，$f$ 都趋于同一个 $A$。
与一元极限不同，多元极限存在的要求更强。

14.2.2 海涅定理（数列判别法）

$\lim\limits_{\boldsymbol x\to\boldsymbol x_0}f(\boldsymbol x)=A$ 当且仅当：对任意满足 $\boldsymbol x_k\ne\boldsymbol x_0$ 且 $\boldsymbol x_k\to\boldsymbol x_0$ 的点列，都有 $$f(\boldsymbol x_k)\to A.$$

证明极限不存在：找到两条路径（或两个点列），使 $f$ 沿它们的极限不同。
常用路径：直线 $y=kx$、抛物线 $y=x^2$、坐标轴、极坐标方向。

14.2.3 极限的性质

若 $\lim\limits_{\boldsymbol x\to\boldsymbol x_0}f(\boldsymbol x)=A$，$\lim\limits_{\boldsymbol x\to\boldsymbol x_0}g(\boldsymbol x)=B$，则：

极限唯一。
局部有界性：$f$ 在 $\boldsymbol x_0$ 的某去心邻域内有界。
局部保号性：若 $A>0$，则在某去心邻域内 $f(\boldsymbol x)>\dfrac A2>0$。
四则运算：$\lim(f\pm g)=A\pm B$，$\lim(fg)=AB$，当 $B\ne0$ 时 $\lim\dfrac fg=\dfrac AB$。
夹逼定理：若在去心邻域内 $f\le h\le g$ 且 $A=B$，则 $\lim h=A$。

14.2.4 极坐标判别法

在 $\mathbb{R}^2$ 中，令 $$x=x_0+r\cos\theta,\qquad y=y_0+r\sin\theta,\qquad r\to0^+.$$

若存在 $A$，使 $$|f(x_0+r\cos\theta,y_0+r\sin\theta)-A|\le h(r),$$ 其中 $h(r)\to0$（$r\to0^+$）且与 $\theta$ 无关，则 $$\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=A.$$

极坐标法成功的关键是上界与 $\theta$ 无关。
若沿不同 $\theta$ 得到不同极限，则极限不存在。
注意：沿每个固定方向极限相同，仍不能保证多元极限存在；还需要关于方向一致。

14.2.5 累次极限

先对 $y$ 后对 $x$ 的累次极限： $$\lim_{x\to x_0}\lim_{y\to y_0}f(x,y).$$
先对 $x$ 后对 $y$ 的累次极限： $$\lim_{y\to y_0}\lim_{x\to x_0}f(x,y).$$
累次极限与多元极限的关系：
- 若多元极限 $\lim\limits_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)$ 存在，且某个累次极限存在，则二者相等。
- 两个累次极限都存在但不相等，则多元极限必不存在。
- 两个累次极限相等，多元极限仍可能不存在。
例：$f(x,y)=\dfrac{xy}{x^2+y^2}$，两个累次极限都为 $0$，但沿 $y=kx$ 有 $$f(x,kx)=\frac{k}{1+k^2},$$ 随 $k$ 变化，故多元极限不存在。

14.3 多元函数的连续性

14.3.1 定义

设 $f$ 在点 $\boldsymbol x_0$ 的某邻域内有定义。若 $$\lim_{\boldsymbol x\to\boldsymbol x_0}f(\boldsymbol x)=f(\boldsymbol x_0),$$ 则称 $f$ 在 $\boldsymbol x_0$ 处连续。

$\varepsilon$-$\delta$ 形式：对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，当 $|\boldsymbol x-\boldsymbol x_0|<\delta$ 时，$|f(\boldsymbol x)-f(\boldsymbol x_0)|<\varepsilon$。
若 $f$ 在集合 $E$ 的每一点连续，则称 $f$ 在 $E$ 上连续。
多元初等函数在其定义域内连续。

14.3.2 连续函数的运算

若 $f,g$ 在 $\boldsymbol x_0$ 连续，则 $f\pm g$、$fg$、$\dfrac fg$（$g(\boldsymbol x_0)\ne0$）在 $\boldsymbol x_0$ 连续。
复合函数：若 $g$ 在 $\boldsymbol x_0$ 连续，$f$ 在 $g(\boldsymbol x_0)$ 连续，则 $f\circ g$ 在 $\boldsymbol x_0$ 连续。
若 $f$ 在连通集上连续且取两个不同的值，则它取到这两个值之间的一切值。

14.3.3 间断点

多元函数的间断点类型比一元复杂，没有“左右极限”的简单分类。
常见情形：
- 极限不存在（路径依赖），例如 $\dfrac{xy}{x^2+y^2}$ 在原点；
- 极限存在但不等于函数值（可去间断）；
- 函数在奇点附近无界，例如 $\dfrac1{x^2+y^2}$ 在原点。

14.3.4 一致连续

设 $f$ 在集合 $E$ 上有定义。若对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，使对任意 $\boldsymbol x,\boldsymbol y\in E$，只要 $|\boldsymbol x-\boldsymbol y|<\delta$，就有 $$|f(\boldsymbol x)-f(\boldsymbol y)|<\varepsilon,$$ 则称 $f$ 在 $E$ 上一致连续。

康托尔定理：若 $f$ 在紧集 $E$ 上连续，则 $f$ 在 $E$ 上一致连续。
有界开集上连续不一定一致连续：$f(x,y)=\dfrac1{x^2+y^2}$ 在 $0<x^2+y^2<1$ 上连续，但不一致连续。
若 $f$ 满足利普希茨条件 $$|f(\boldsymbol x)-f(\boldsymbol y)|\le L|\boldsymbol x-\boldsymbol y|,$$ 则 $f$ 一致连续。

14.4 紧集上连续函数的性质

设 $E\subseteq\mathbb{R}^n$ 是紧集，$f$ 在 $E$ 上连续。

有界性：$f$ 在 $E$ 上有界。
最值定理：$f$ 在 $E$ 上取得最大值和最小值。
一致连续性：$f$ 在 $E$ 上一致连续。
介值性：若 $E$ 连通，则 $f(E)$ 是区间；对 $f$ 在 $E$ 上取得的任意两个值之间的数，存在 $E$ 中的点取到该值。
连续映射保持紧性：$f(E)$ 是紧集。
连续映射保持连通性：若 $E$ 连通，则 $f(E)$ 连通。
注意：这些结论依赖 $E$ 是紧集。在非紧集上，连续函数可能有界但取不到最值，例如 $f(x,y)=x^2+y^2$ 在开圆盘 $x^2+y^2<1$ 上。

14.5 多元函数极限的求法

直接代入：初等函数在定义域内连续，可直接代入。
四则运算：先拆分，再分别求极限。
夹逼定理：利用 $|x|\le\sqrt{x^2+y^2}$、$|y|\le\sqrt{x^2+y^2}$ 等不等式放缩。
极坐标法：化为 $r\to0$，检验上界是否与 $\theta$ 无关。
等价无穷小：在 $(x,y)\to(0,0)$ 时，$\sin u\sim u$、$1-\cos u\sim\dfrac{u^2}2$、$\ln(1+u)\sim u$ 等仍然适用。
证明极限不存在：找两条路径，使极限不同。
累次极限：用于辅助判断；两个累次极限不同可直接否定多元极限。

14.6 常用不等式与放缩

$|x|\le\sqrt{x^2+y^2}$，$|y|\le\sqrt{x^2+y^2}$。
$|xy|\le\dfrac{x^2+y^2}2$。
$x^2+y^2\le(x^2+y^2)^\alpha$（$0<\alpha\le1$ 时不成立；按具体幂次处理）。
$\left|\dfrac{x^2y}{x^2+y^2}\right|\le|y|$。
$\left|\dfrac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}\right|\le\dfrac12\sqrt{x^2+y^2}$。
极坐标下 $x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$，$x^2+y^2=r^2$。

练习

求 $f(x,y)=\ln(x+y)$ 的定义域，并说明其在定义域内连续。
求 $\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}(x^2+y^2)\ln(x^2+y^2)$。
判断 $\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{xy}{x^2+y^2}$ 是否存在。
求 $\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{x^2y}{x^2+y^2}$。
判断 $\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{x+y}{x-y}$ 是否存在。
求 $\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{\sin(x^2+y^2)}{x^2+y^2}$。
求 $f(x,y)=\dfrac{xy}{x^2+y^2}$ 在 $(0,0)$ 处的两个累次极限，并说明多元极限是否存在。
讨论 $$f(x,y)=\begin{cases}\dfrac{xy}{x^2+y^2},&(x,y)\ne(0,0),\0,&(x,y)=(0,0)\end{cases}$$ 在 $(0,0)$ 处的连续性。
证明 $f(x,y)=x^2+y^2$ 在 $[0,1]^2$ 上一致连续。
求 $\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{\sin(xy)}{xy}$（在 $xy\ne0$ 的范围内讨论）。
判断 $\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{x^2y}{x^4+y^2}$ 是否存在。
求 $f(x,y)=x^2+y^2$ 在闭圆盘 $x^2+y^2\le1$ 上的最大值和最小值。

检测题

求 $\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{1-\cos(x^2+y^2)}{(x^2+y^2)^2}$。
求 $\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}$。
证明 $$f(x,y)=\begin{cases}\dfrac{x^2y}{x^2+y^2},&(x,y)\ne(0,0),\0,&(x,y)=(0,0)\end{cases}$$ 在 $(0,0)$ 处连续。
判断 $\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$ 是否存在。
求 $f(x,y)=\dfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$ 在 $(0,0)$ 处的两个累次极限。
证明 $f(x,y)=\dfrac1{x^2+y^2}$ 在 $0<x^2+y^2<1$ 上不一致连续。
求 $f(x,y)=\sqrt{1-x^2-y^2}$ 的定义域，并说明其在定义域上的连续性。
求 $\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{x^2y^2}{x^2+y^2}$。
设 $\alpha,\beta>0$。讨论 $$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{|x|^\alpha|y|^\beta}{x^2+y^2}$$ 在何条件下为 $0$。
求 $f(x,y)=x^2+xy+y^2$ 在闭圆盘 $x^2+y^2\le1$ 上的最大值和最小值。

参考答案与提示

定义域为 $D={(x,y)\mid x+y>0}$，是开集。$\ln u$ 在 $u>0$ 连续，$x+y$ 连续，故复合函数在 $D$ 内连续。
令 $r^2=x^2+y^2$，则 $$(x^2+y^2)\ln(x^2+y^2)=r^2\ln r^2\to0\quad(r\to0),$$ 故极限为 $0$。
沿 $y=kx$， $$\frac{xy}{x^2+y^2}=\frac{k}{1+k^2},$$ 随 $k$ 变化，故极限不存在。
$$\left|\frac{x^2y}{x^2+y^2}\right|\le|y|\to0,$$ 故极限为 $0$。
沿 $y=0$，极限为 $1$；沿 $x=0$，极限为 $-1$，故极限不存在。
令 $u=x^2+y^2\to0$，则 $$\frac{\sin u}{u}\to1.$$
两个累次极限： $$\lim_{x\to0}\lim_{y\to0}\frac{xy}{x^2+y^2}=0,\qquad \lim_{y\to0}\lim_{x\to0}\frac{xy}{x^2+y^2}=0.$$ 但沿 $y=kx$ 极限为 $\dfrac{k}{1+k^2}$，故多元极限不存在。
由第 3、7 题，极限不存在，故 $f$ 在 $(0,0)$ 处不连续。
对任意 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)\in[0,1]^2$， $$|(x_1^2+y_1^2)-(x_2^2+y_2^2)| \le(|x_1|+|x_2|)|x_1-x_2|+(|y_1|+|y_2|)|y_1-y_2| \le4\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}.$$ 故满足利普希茨条件，一致连续。
令 $u=xy\to0$，则 $\dfrac{\sin u}{u}\to1$。在坐标轴上 $xy=0$，可补充定义使函数值为 $1$。
沿 $y=0$，极限为 $0$；沿 $y=x^2$， $$\frac{x^2\cdot x^2}{x^4+x^4}=\frac12,$$ 故极限不存在。
在闭圆盘上 $0\le x^2+y^2\le1$，最小值 $0$ 在原点取得，最大值 $1$ 在单位圆周上取得。

检测题参考答案

令 $u=x^2+y^2\to0$， $$\frac{1-\cos u}{u^2}\to\frac12.$$
由 $|xy|\le\dfrac{x^2+y^2}2$， $$\left|\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}\right|\le\frac12\sqrt{x^2+y^2}\to0.$$
$$\left|\frac{x^2y}{x^2+y^2}\right|\le|y|\to0,$$ 故 $\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0=f(0,0)$，连续。
沿 $y=0$，极限为 $1$；沿 $x=0$，极限为 $-1$，故极限不存在。
$$\lim_{x\to0}\lim_{y\to0}\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} =\lim_{x\to0}1=1,$$ $$\lim_{y\to0}\lim_{x\to0}\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} =\lim_{y\to0}(-1)=-1.$$
取 $x_n=\dfrac1n$，$y_n=0$；$u_n=\dfrac1{n+1}$，$v_n=0$。则两点距离 $\dfrac1{n(n+1)}\to0$，但 $$f(x_n,y_n)-f(u_n,v_n)=n^2-(n+1)^2\to-\infty,$$ 故不一致连续。
定义域为闭圆盘 $D={(x,y)\mid x^2+y^2\le1}$。根号函数在 $[0,1]$ 上连续，$1-x^2-y^2$ 连续，故复合函数在 $D$ 上连续。$D$ 是紧集，故 $f$ 在 $D$ 上一致连续。
$$0\le\frac{x^2y^2}{x^2+y^2}\le\frac{(x^2+y^2)^2}{x^2+y^2}=x^2+y^2\to0,$$ 故极限为 $0$。
极坐标下， $$\frac{|x|^\alpha|y|^\beta}{x^2+y^2} =r^{\alpha+\beta-2}|\cos\theta|^\alpha|\sin\theta|^\beta.$$ 当 $\alpha+\beta>2$ 时，$r^{\alpha+\beta-2}\to0$，且三角因子有界，故极限为 $0$。当 $\alpha+\beta\le2$ 时，沿某些方向极限可能不为 $0$ 或依赖方向（例如 $\alpha=\beta=1$ 时沿 $y=kx$ 依赖 $k$），故不能保证极限为 $0$。
令 $x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$，$0\le r\le1$，则 $$f=r^2(1+\sin\theta\cos\theta) =r^2\left(1+\frac12\sin2\theta\right).$$ 因为 $\dfrac12\le1+\dfrac12\sin2\theta\le\dfrac32$，所以 $$\frac12r^2\le f\le\frac32r^2.$$ 最小值 $\dfrac12$ 在 $r=1$、$\sin2\theta=-1$ 时取得；最大值 $\dfrac32$ 在 $r=1$、$\sin2\theta=1$ 时取得。

第14章-多元函数极限与连续

第 14 章 多元函数极限与连续