第 19 章 含参量积分

本章整理含参量正常积分、含参量反常积分、一致收敛判别法、积分号下求导与积分，以及欧拉积分（伽马函数与贝塔函数）。含参量积分是研究函数和分析积分的重要工具。

19.1 含参量正常积分

19.1.1 定义

设 $f(x,y)$ 在矩形 $[a,b]\times[c,d]$ 上有定义。对每个固定的 $x\in[a,b]$，积分 $$I(x)=\int_c^df(x,y),\mathrm dy$$ 存在，则称 $I(x)$ 为含参量 $x$ 的正常积分。

  • 含参量积分定义了一个新的函数 $I(x)$。
  • 积分上下限也可以是 $x$ 的函数：$I(x)=\displaystyle\int_{c(x)}^{d(x)}f(x,y),\mathrm dy$。

19.1.2 连续性

若 $f(x,y)$ 在矩形 $[a,b]\times[c,d]$ 上连续，则 $$I(x)=\int_c^df(x,y),\mathrm dy$$ 在 $[a,b]$ 上连续。

  • 即可以交换极限与积分： $$\lim_{x\to x_0}\int_c^df(x,y),\mathrm dy =\int_c^d\lim_{x\to x_0}f(x,y),\mathrm dy.$$
  • 若积分上下限 $c(x),d(x)$ 也连续，则 $$I(x)=\int_{c(x)}^{d(x)}f(x,y),\mathrm dy$$ 仍连续。

19.1.3 积分号下求导

若 $f(x,y)$ 与 $f_x(x,y)$ 在矩形 $[a,b]\times[c,d]$ 上连续，则 $I(x)$ 在 $[a,b]$ 上可导，且 $$I'(x)=\int_c^df_x(x,y),\mathrm dy.$$

  • 即 $$\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\int_c^df(x,y),\mathrm dy =\int_c^d\frac{\partial f}{\partial x}(x,y),\mathrm dy.$$
  • 若上下限依赖于 $x$，则 $$\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\int_{c(x)}^{d(x)}f(x,y),\mathrm dy =f(x,d(x))d'(x)-f(x,c(x))c'(x)+\int_{c(x)}^{d(x)}f_x(x,y),\mathrm dy.$$

19.1.4 积分次序交换

若 $f(x,y)$ 在矩形 $[a,b]\times[c,d]$ 上连续，则 $$\int_a^b\mathrm dx\int_c^df(x,y),\mathrm dy =\int_c^d\mathrm dy\int_a^bf(x,y),\mathrm dx.$$

  • 这是二重积分与累次积分的关系，也是含参量正常积分的基本性质。

19.2 含参量反常积分

19.2.1 定义

设 $f(x,y)$ 在 $[a,+\infty)\times[c,d]$ 上有定义，且对每个 $x\in[c,d]$，反常积分 $$I(x)=\int_a^{+\infty}f(x,y),\mathrm dy$$ 收敛，则称 $I(x)$ 为含参量 $x$ 的反常积分。

  • 类似定义瑕积分形式的含参量积分。
  • 含参量反常积分的关键问题是：收敛性是否关于 $x$ 一致。

19.2.2 一致收敛

若对任意 $\varepsilon>0$，存在 $M>a$，使当 $R>M$ 时，对一切 $x\in[c,d]$，都有 $$\left|\int_R^{+\infty}f(x,y),\mathrm dy\right|<\varepsilon,$$ 则称含参量反常积分 $\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x,y),\mathrm dy$ 在 $[c,d]$ 上一致收敛。

  • 一致收敛是交换积分次序、求导、取极限的前提。
  • 逐点收敛不能保证极限函数的连续性，也不能保证积分号下求导。

19.2.3 柯西准则

$\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x,y),\mathrm dy$ 在 $[c,d]$ 上一致收敛当且仅当：对任意 $\varepsilon>0$，存在 $M>a$，使对任意 $R_1,R_2>M$ 及一切 $x\in[c,d]$，都有 $$\left|\int_{R_1}^{R_2}f(x,y),\mathrm dy\right|<\varepsilon.$$

19.3 一致收敛判别法

19.3.1 魏尔斯特拉斯判别法（$M$ 判别法）

若存在函数 $g(y)\ge0$，使 $$|f(x,y)|\le g(y)\quad(x\in[c,d],\ y\ge a),$$ 且 $\displaystyle\int_a^{+\infty}g(y),\mathrm dy$ 收敛，则 $$\int_a^{+\infty}f(x,y),\mathrm dy$$ 在 $[c,d]$ 上一致收敛（且绝对收敛）。

  • $M$ 判别法是最常用的一致收敛判别法。

19.3.2 狄利克雷判别法

设： （1）$\displaystyle\int_a^Af(x,y),\mathrm dy$ 对 $x\in[c,d]$、$A>a$ 一致有界； （2）对每个固定的 $x$，$g(x,y)$ 关于 $y$ 单调，且当 $y\to+\infty$ 时 $g(x,y)$ 一致趋于 $0$， 则 $\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x,y)g(x,y),\mathrm dy$ 在 $[c,d]$ 上一致收敛。

19.3.3 阿贝尔判别法

设： （1）$\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x,y),\mathrm dy$ 在 $[c,d]$ 上一致收敛； （2）对每个固定的 $x$，$g(x,y)$ 关于 $y$ 单调，且 $g(x,y)$ 在 $[c,d]\times[a,+\infty)$ 上一致有界， 则 $\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x,y)g(x,y),\mathrm dy$ 在 $[c,d]$ 上一致收敛。

19.4 含参量反常积分的性质

19.4.1 连续性

若 $f(x,y)$ 在 $[c,d]\times[a,+\infty)$ 上连续，且 $$I(x)=\int_a^{+\infty}f(x,y),\mathrm dy$$ 在 $[c,d]$ 上一致收敛，则 $I(x)$ 在 $[c,d]$ 上连续。

  • 即 $$\lim_{x\to x_0}\int_a^{+\infty}f(x,y),\mathrm dy =\int_a^{+\infty}\lim_{x\to x_0}f(x,y),\mathrm dy.$$

19.4.2 积分次序交换

若 $f(x,y)$ 在 $[c,d]\times[a,+\infty)$ 上连续，且 $\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x,y),\mathrm dy$ 在 $[c,d]$ 上一致收敛，则 $$\int_c^d\mathrm dx\int_a^{+\infty}f(x,y),\mathrm dy =\int_a^{+\infty}\mathrm dy\int_c^df(x,y),\mathrm dx.$$

  • 即累次积分可以交换次序。

19.4.3 积分号下求导

若 $f(x,y)$ 与 $f_x(x,y)$ 在 $[c,d]\times[a,+\infty)$ 上连续， （1）$\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x_0,y),\mathrm dy$ 在某个 $x_0\in[c,d]$ 处收敛； （2）$\displaystyle\int_a^{+\infty}f_x(x,y),\mathrm dy$ 在 $[c,d]$ 上一致收敛， 则 $$I'(x)=\int_a^{+\infty}f_x(x,y),\mathrm dy.$$

  • 条件（1）保证原积分至少在一个点收敛，条件（2）保证求导后积分一致收敛。

19.4.4 一致收敛的极限函数性质

  • 一致收敛的含参量积分可以取极限、求导、积分。
  • 若只知道逐点收敛，上述性质一般不成立。

19.5 欧拉积分

19.5.1 伽马函数

对 $s>0$，定义 $$\Gamma(s)=\int_0^{+\infty}y^{s-1}\mathrm e^{-y},\mathrm dy.$$ 该积分对 $s>0$ 收敛，称为伽马函数。

基本性质：

  • 递推公式： $$\Gamma(s+1)=s\Gamma(s)\quad(s>0).$$
  • 对正整数 $n$： $$\Gamma(n+1)=n!.$$
  • $\Gamma(1)=1$，$\Gamma(2)=1$。
  • $$\Gamma\left(\frac12\right)=\sqrt\pi.$$
  • 反射公式： $$\Gamma(s)\Gamma(1-s)=\frac{\pi}{\sin\pi s}\quad(0<s<1).$$
  • 倍增公式： $$\Gamma(s)\Gamma\left(s+\frac12\right)=2^{1-2s}\sqrt\pi,\Gamma(2s).$$
  • 当 $s\to0^+$ 时，$\Gamma(s)\to+\infty$。
  • $\Gamma(s)$ 在 $(0,+\infty)$ 上无穷次可导，且 $$\Gamma^{(n)}(s)=\int_0^{+\infty}(\ln y)^ny^{s-1}\mathrm e^{-y},\mathrm dy.$$
  • 斯特林公式： $$\Gamma(s+1)\sim\sqrt{2\pi s}\left(\frac{s}{\mathrm e}\right)^s\quad(s\to+\infty).$$

19.5.2 贝塔函数

对 $p>0$，$q>0$，定义 $$\mathrm B(p,q)=\int_0^1t^{p-1}(1-t)^{q-1},\mathrm dt.$$ 称为贝塔函数。

基本性质：

  • 对称性： $$\mathrm B(p,q)=\mathrm B(q,p).$$
  • 与伽马函数的关系： $$\mathrm B(p,q)=\frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}.$$
  • 三角形式： $$\mathrm B(p,q)=2\int_0^{\pi/2}\sin^{2p-1}\theta\cos^{2q-1}\theta,\mathrm d\theta.$$
  • 另一形式： $$\mathrm B(p,q)=\int_0^{+\infty}\frac{u^{p-1}}{(1+u)^{p+q}},\mathrm du.$$
  • 递推： $$\mathrm B(p,q)=\frac{p-1}{p+q-1}\mathrm B(p-1,q)\quad(p>1),$$ $$\mathrm B(p,q)=\frac{q-1}{p+q-1}\mathrm B(p,q-1)\quad(q>1).$$
  • 对正整数 $m,n$： $$\mathrm B(m,n)=\frac{(m-1)!(n-1)!}{(m+n-1)!}.$$

19.5.3 常见积分

  • $\displaystyle\int_0^{+\infty}\mathrm e^{-x^2},\mathrm dx=\frac{\sqrt\pi}2$。
  • $\displaystyle\int_0^{+\infty}x^{s-1}\mathrm e^{-x},\mathrm dx=\Gamma(s)$（$s>0$）。
  • $\displaystyle\int_0^1x^{p-1}(1-x)^{q-1},\mathrm dx=\mathrm B(p,q)$。
  • $\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin^{2p-1}\theta\cos^{2q-1}\theta,\mathrm d\theta=\frac12\mathrm B(p,q)$。
  • $\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{x^{p-1}}{1+x},\mathrm dx=\mathrm B(p,1-p)=\frac{\pi}{\sin p\pi}$（$0<p<1$）。
  • $\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\sin x}{x},\mathrm dx=\frac\pi2$。
  • $\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{1-\cos x}{x^2},\mathrm dx=\frac\pi2$。

19.6 含参量积分的计算技巧

19.6.1 积分号下求导

  • 构造含参量积分 $I(a)$，使 $I'(a)$ 容易计算，再对 $a$ 积分还原。
  • 例： $$I(a)=\int_0^{+\infty}\mathrm e^{-ax},\mathrm dx=\frac1a\quad(a>0),$$ 对 $a$ 求导得 $$\int_0^{+\infty}x\mathrm e^{-ax},\mathrm dx=\frac1{a^2},$$ 再求导得 $$\int_0^{+\infty}x^2\mathrm e^{-ax},\mathrm dx=\frac2{a^3}.$$
  • 一般地， $$\int_0^{+\infty}x^n\mathrm e^{-ax},\mathrm dx=\frac{n!}{a^{n+1}}\quad(a>0).$$

19.6.2 积分号下积分

  • 若被积函数可写成 $\displaystyle\int_c^dg(x,y),\mathrm dy$，可交换积分次序。
  • 例： $$\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm e^{-ax}-\mathrm e^{-bx}}x,\mathrm dx =\int_0^{+\infty}\mathrm dy\int_a^b\mathrm e^{-xy},\mathrm dx =\int_a^b\frac{\mathrm dy}y=\ln\frac ba\quad(a,b>0).$$ 这里用了 $$\frac{\mathrm e^{-ax}-\mathrm e^{-bx}}x=\int_a^b\mathrm e^{-xy},\mathrm dy.$$

19.6.3 引入收敛因子

  • 对条件收敛的积分，可引入 $\mathrm e^{-ax}$ 等因子使其绝对收敛，求导或取极限后再令 $a\to0^+$。
  • 例：计算狄利克雷积分 $$I(a)=\int_0^{+\infty}\mathrm e^{-ax}\frac{\sin x}{x},\mathrm dx\quad(a\ge0).$$ 则 $$I'(a)=-\int_0^{+\infty}\mathrm e^{-ax}\sin x,\mathrm dx=-\frac1{1+a^2},$$ 且 $I(+\infty)=0$，故 $$I(a)=\frac\pi2-\arctan a.$$ 令 $a\to0^+$，得 $$\int_0^{+\infty}\frac{\sin x}{x},\mathrm dx=\frac\pi2.$$

19.6.4 常用积分总结

  • $\displaystyle\int_0^{+\infty}\mathrm e^{-ax^2},\mathrm dx=\frac12\sqrt{\frac\pi a}$（$a>0$）。
  • $\displaystyle\int_0^{+\infty}x^{2n}\mathrm e^{-ax^2},\mathrm dx=\frac{(2n-1)!!}{2^{n+1}a^n}\sqrt{\frac\pi a}$。
  • $\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm dx}{1+x^2}=\frac\pi2$。
  • $\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{x^{p-1}}{1+x^q},\mathrm dx=\frac{\pi}{q\sin\frac{p\pi}q}$（$0<p<q$）。
  • $\displaystyle\int_0^1\frac{x^{p-1}}{1-x},\mathrm dx$ 发散；带 $\ln x$ 的积分常用求导法。

19.7 计算步骤

  1. 判断积分类型：正常积分还是反常积分。
  2. 若需交换次序或求导，先验证一致收敛。
  3. 选择合适的参量，使求导后的积分容易计算。
  4. 利用欧拉积分化简含幂函数与指数函数的积分。
  5. 对条件收敛积分，引入收敛因子后再取极限。
  6. 检验结果的特殊值和量纲。

练习

  1. 设 $I(x)=\displaystyle\int_0^1(x+y),\mathrm dy$，求 $I(x)$，并说明其连续性。

  2. 设 $I(x)=\displaystyle\int_0^1\mathrm e^{xy},\mathrm dy$，用积分号下求导计算 $I'(x)$。

  3. 计算 $\displaystyle\int_0^1\mathrm dx\int_0^1xy,\mathrm dy$，并交换积分次序验证。

  4. 讨论 $\displaystyle\int_0^{+\infty}\mathrm e^{-xy},\mathrm dy$ 在 $x\in[a,+\infty)$（$a>0$）上的一致收敛性。

  5. 计算 $\displaystyle\int_0^{+\infty}\mathrm e^{-xy}\sin x,\mathrm dx$（$y>0$）。

  6. 计算 $\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm e^{-ax}-\mathrm e^{-bx}}x,\mathrm dx$（$a,b>0$）。

  7. 计算 $\Gamma\left(\dfrac12\right)$。

  8. 计算 $\Gamma(5)$。

  9. 计算 $\mathrm B(2,3)$。

  10. 计算 $\displaystyle\int_0^1x^2(1-x)^3,\mathrm dx$。

  11. 计算 $\displaystyle\int_0^{+\infty}x^2\mathrm e^{-x},\mathrm dx$。

  12. 利用 $\displaystyle\int_0^{+\infty}\mathrm e^{-ax},\mathrm dx=\frac1a$ 求 $\displaystyle\int_0^{+\infty}x\mathrm e^{-ax},\mathrm dx$ 与 $\displaystyle\int_0^{+\infty}x^2\mathrm e^{-ax},\mathrm dx$（$a>0$）。

检测题

  1. 求 $\lim\limits_{x\to0}\displaystyle\int_0^1\cos(xy),\mathrm dy$。

  2. 设 $I(x)=\displaystyle\int_0^1\frac{\sin(xy)}y,\mathrm dy$，求 $I'(x)$。

  3. 讨论 $\displaystyle\int_0^{+\infty}x\mathrm e^{-xy},\mathrm dy$ 在 $x\in[a,b]$（$0<a<b$）上的一致收敛性。

  4. 利用 $\Gamma\left(\dfrac12\right)=\sqrt\pi$ 计算 $\displaystyle\int_0^{+\infty}\mathrm e^{-x^2},\mathrm dx$。

  5. 计算 $\Gamma\left(\dfrac32\right)$。

  6. 计算 $\mathrm B\left(\dfrac12,\dfrac12\right)$。

  7. 计算 $\displaystyle\int_0^{+\infty}x^{3/2}\mathrm e^{-x},\mathrm dx$。

  8. 计算 $\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm e^{-x}-\mathrm e^{-2x}}x,\mathrm dx$。

  9. 计算 $\displaystyle\int_0^{+\infty}x\mathrm e^{-x^2},\mathrm dx$。

  10. 讨论 $\displaystyle\int_0^{+\infty}\mathrm e^{-xy},\mathrm dy$ 在 $x\in[\delta,+\infty)$（$\delta>0$）上的一致收敛性。

参考答案与提示

  1. $$I(x)=\int_0^1(x+y),\mathrm dy=x+\frac12.$$ 它关于 $x$ 连续。
  2. $I(x)=\dfrac{\mathrm e^x-1}x$（$x\ne0$），$I(0)=1$。由积分号下求导， $$I'(x)=\int_0^1y\mathrm e^{xy},\mathrm dy =\frac{(x-1)\mathrm e^x+1}{x^2}.$$
  3. $$\int_0^1\mathrm dx\int_0^1xy,\mathrm dy =\int_0^1\frac x2,\mathrm dx=\frac14.$$ 交换次序后 $$\int_0^1\mathrm dy\int_0^1xy,\mathrm dx=\int_0^1\frac y2,\mathrm dy=\frac14,$$ 结果一致。
  4. 积分值为 $\dfrac1x$。对 $x\in[a,+\infty)$， $$\left|\int_R^{+\infty}\mathrm e^{-xy},\mathrm dy\right|=\frac{\mathrm e^{-Rx}}x\le\frac{\mathrm e^{-Ra}}a\to0\quad(R\to+\infty),$$ 故在 $[a,+\infty)$ 上一致收敛。在 $(0,+\infty)$ 上不一致收敛。
  5. 分部积分两次，或利用 $$\int_0^{+\infty}\mathrm e^{-xy}\sin x,\mathrm dx =\frac1{1+y^2}\quad(y>0).$$
  6. 交换积分次序： $$I=\int_0^{+\infty}\mathrm dy\int_a^b\mathrm e^{-xy},\mathrm dx =\int_a^b\frac{\mathrm dy}y=\ln\frac ba.$$
  7. $$\Gamma\left(\frac12\right)=\int_0^{+\infty}y^{-1/2}\mathrm e^{-y},\mathrm dy=\sqrt\pi.$$
  8. $\Gamma(5)=4!=24$。
  9. $$\mathrm B(2,3)=\frac{\Gamma(2)\Gamma(3)}{\Gamma(5)} =\frac{1!\cdot2!}{4!}=\frac2{24}=\frac1{12}.$$
  10. $$\int_0^1x^2(1-x)^3,\mathrm dx=\mathrm B(3,4) =\frac{\Gamma(3)\Gamma(4)}{\Gamma(7)} =\frac{2!\cdot3!}{6!}=\frac1{60}.$$
  11. $$\int_0^{+\infty}x^2\mathrm e^{-x},\mathrm dx=\Gamma(3)=2!=2.$$
  12. 对 $a$ 求导： $$\int_0^{+\infty}x\mathrm e^{-ax},\mathrm dx=\frac1{a^2},$$ 再求导： $$\int_0^{+\infty}x^2\mathrm e^{-ax},\mathrm dx=\frac2{a^3}.$$

检测题参考答案

  1. 由连续性，可以交换极限与积分： $$\lim_{x\to0}\int_0^1\cos(xy),\mathrm dy =\int_0^1\cos0,\mathrm dy=1.$$
  2. $$I'(x)=\int_0^1\cos(xy),\mathrm dy=\frac{\sin x}{x}\quad(x\ne0).$$ 当 $x=0$ 时，$I'(0)=1$。
  3. 积分值为 $1$（$x>0$）。尾部估计： $$\left|\int_R^{+\infty}x\mathrm e^{-xy},\mathrm dy\right|=\mathrm e^{-Rx}\le\mathrm e^{-Ra}\to0,$$ 对一切 $x\in[a,b]$ 一致，故一致收敛。
  4. 令 $u=x^2$，$\mathrm du=2x,\mathrm dx$： $$\int_0^{+\infty}\mathrm e^{-x^2},\mathrm dx =\frac12\int_0^{+\infty}u^{-1/2}\mathrm e^{-u},\mathrm du =\frac12\Gamma\left(\frac12\right)=\frac{\sqrt\pi}2.$$
  5. $$\Gamma\left(\frac32\right)=\frac12\Gamma\left(\frac12\right)=\frac{\sqrt\pi}2.$$
  6. $$\mathrm B\left(\frac12,\frac12\right) =\frac{\Gamma(1/2)\Gamma(1/2)}{\Gamma(1)}=\pi.$$
  7. $$\int_0^{+\infty}x^{3/2}\mathrm e^{-x},\mathrm dx =\Gamma\left(\frac52\right) =\frac32\cdot\frac12\sqrt\pi=\frac{3\sqrt\pi}4.$$
  8. $$\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm e^{-x}-\mathrm e^{-2x}}x,\mathrm dx =\ln\frac21=\ln2.$$
  9. 令 $u=x^2$，$\mathrm du=2x,\mathrm dx$： $$\int_0^{+\infty}x\mathrm e^{-x^2},\mathrm dx =\frac12\int_0^{+\infty}\mathrm e^{-u},\mathrm du=\frac12.$$
  10. 积分值为 $\dfrac1x$。对 $x\ge\delta$， $$\left|\int_R^{+\infty}\mathrm e^{-xy},\mathrm dy\right| =\frac{\mathrm e^{-Rx}}x\le\frac{\mathrm e^{-R\delta}}\delta\to0,$$ 故在 $[\delta,+\infty)$ 上一致收敛。