第 16 章 隐函数定理与条件极值

本章整理隐函数存在定理、雅可比行列式、反函数定理、条件极值与拉格朗日乘数法。隐函数定理是多元微分学的核心定理之一，条件极值则是其重要应用。

16.1 隐函数存在定理

16.1.1 一个方程的情形

设函数 $F(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的某邻域内具有连续偏导数，且 （1）$F(x_0,y_0)=0$； （2）$F_y(x_0,y_0)\ne0$， 则存在 $\delta>0$、$\eta>0$ 及唯一的函数 $y=f(x)$，使：

  • 当 $|x-x_0|<\delta$ 时，$|f(x)-y_0|<\eta$；
  • $f(x_0)=y_0$；
  • $F(x,f(x))=0$；
  • $f$ 在 $(x_0-\delta,x_0+\delta)$ 内连续可导，且 $$f'(x)=-\frac{F_x(x,f(x))}{F_y(x,f(x))}.$$
  • 条件 $F_y(x_0,y_0)\ne0$ 保证方程在局部可以解出 $y$。
  • 若 $F$ 有 $k$ 阶连续偏导数，则隐函数 $f$ 也有 $k$ 阶连续导数。
  • 若 $F_x(x_0,y_0)=0$，则 $f'(x_0)=0$，曲线在该点有水平切线。
  • 若 $F_y(x_0,y_0)=0$，定理失效，可能出现多种情形：无隐函数、多个隐函数或隐函数不可导。

求导方法：

  1. 公式法： $$\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=-\frac{F_x}{F_y}.$$
  2. 直接求导法：对 $F(x,y)=0$ 两边关于 $x$ 求导，视 $y$ 为 $x$ 的函数，解出 $y'$。
  3. 全微分法：由 $$F_x,\mathrm dx+F_y,\mathrm dy=0$$ 解出 $\mathrm dy/\mathrm dx$。

16.1.2 方程组的情形

设 $F_i(x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_m)=0$（$i=1,\dots,m$）在点 $P_0$ 的某邻域内具有连续偏导数，$P_0$ 满足方程组，且雅可比行列式 $$\frac{\partial(F_1,\dots,F_m)}{\partial(y_1,\dots,y_m)}\bigg|{P_0}\ne0,$$ 则方程组在 $P_0$ 附近唯一确定一组连续可微函数 $$y_i=\varphi_i(x_1,\dots,x_n)\quad(i=1,\dots,m),$$ 满足 $y_i(P_0)=y{i0}$，且 $F_i(x,\varphi(x))=0$。

  • 雅可比矩阵： $$J=\frac{\partial(F_1,\dots,F_m)}{\partial(y_1,\dots,y_m)} =\begin{pmatrix} \dfrac{\partial F_1}{\partial y_1}&\cdots&\dfrac{\partial F_1}{\partial y_m}\ \vdots&\ddots&\vdots\ \dfrac{\partial F_m}{\partial y_1}&\cdots&\dfrac{\partial F_m}{\partial y_m} \end{pmatrix}.$$
  • 偏导数可由解线性方程组得到： $$J\begin{pmatrix}\dfrac{\partial y_1}{\partial x_j}\\vdots\\dfrac{\partial y_m}{\partial x_j}\end{pmatrix} =-\begin{pmatrix}\dfrac{\partial F_1}{\partial x_j}\\vdots\\dfrac{\partial F_m}{\partial x_j}\end{pmatrix}.$$
  • 两个方程、两个隐变量的情形常用于曲线、曲面的局部参数化。

16.1.3 隐函数定理的几何意义

  • 曲线 $F(x,y)=0$ 在满足 $F_y\ne0$ 的点附近可表示为 $y=f(x)$，即曲线不是垂直的。
  • 曲面 $F(x,y,z)=0$ 在满足 $F_z\ne0$ 的点附近可表示为 $z=z(x,y)$。
  • 若 $\nabla F(P_0)\ne0$，则曲面 $F=0$ 在 $P_0$ 附近是光滑曲面，切平面存在。

16.2 雅可比行列式与反函数定理

16.2.1 雅可比行列式

设变换 $$\begin{cases}x=x(u,v),\y=y(u,v)\end{cases}$$ 具有连续偏导数，定义雅可比行列式 $$J=\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} =\begin{vmatrix} x_u&x_v\ y_u&y_v \end{vmatrix} =x_uy_v-x_vy_u.$$

  • 对 $n$ 元变换 $\boldsymbol x=\boldsymbol x(\boldsymbol u)$： $$J=\det\left(\frac{\partial x_i}{\partial u_j}\right).$$
  • 雅可比行列式是体积元伸缩因子：$\mathrm dx,\mathrm dy=|J|,\mathrm du,\mathrm dv$。
  • 若变换可逆，则 $$\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\cdot\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}=1.$$

16.2.2 反函数定理

设映射 $\boldsymbol F:U\subseteq\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ 在点 $\boldsymbol x_0$ 的某邻域内连续可微，且雅可比行列式 $$J_{\boldsymbol F}(\boldsymbol x_0)=\det\left(\frac{\partial F_i}{\partial x_j}(\boldsymbol x_0)\right)\ne0,$$ 则存在 $\boldsymbol x_0$ 的邻域 $U_0$ 及 $\boldsymbol y_0=\boldsymbol F(\boldsymbol x_0)$ 的邻域 $V_0$，使 $\boldsymbol F:U_0\to V_0$ 是一一映射，其逆映射 $\boldsymbol F^{-1}:V_0\to U_0$ 连续可微，且 $$J_{\boldsymbol F^{-1}}(\boldsymbol y_0)=\left[J_{\boldsymbol F}(\boldsymbol x_0)\right]^{-1}.$$

  • 反函数定理说明：雅可比行列式非零是局部可逆的充分条件。
  • 局部可逆不保证整体可逆。例如极坐标变换在 $(r,\theta)=(0,0)$ 处雅可比为 $0$，且整体上不是一一的。
  • 求逆映射的偏导数也可由隐函数定理得到。

16.3 条件极值

16.3.1 问题

求函数 $f(x,y)$ 在约束条件 $$g(x,y)=0$$ 下的极值。

  • 几何意义：在曲线 $g(x,y)=0$ 上寻找 $f$ 的极值。
  • 在极值点处，等值线 $f=\text{常数}$ 与约束曲线 $g=0$ 相切（在正则条件下）。

16.3.2 拉格朗日乘数法（一个约束）

设 $f,g$ 具有连续偏导数，$P_0(x_0,y_0)$ 是条件极值点，且 $$\nabla g(P_0)\ne\boldsymbol0.$$ 则存在常数 $\lambda$，使 $$\nabla f(P_0)=\lambda\nabla g(P_0),$$ 即 $$f_x(P_0)=\lambda g_x(P_0),\qquad f_y(P_0)=\lambda g_y(P_0),$$ 并且 $g(P_0)=0$。

  • 构造拉格朗日函数： $$L(x,y,\lambda)=f(x,y)-\lambda g(x,y).$$
  • 解方程组 $$\begin{cases} L_x=f_x-\lambda g_x=0,\ L_y=f_y-\lambda g_y=0,\ L_\lambda=-g=0, \end{cases}$$ 得到候选点。
  • 乘数 $\lambda$ 有经济意义：它表示约束放松一个单位时目标函数最优值的近似变化率。

16.3.3 多个约束

求 $f(\boldsymbol x)$ 在约束 $$g_i(\boldsymbol x)=0\quad(i=1,\dots,m)$$ 下的极值，构造 $$L(\boldsymbol x,\lambda_1,\dots,\lambda_m)=f(\boldsymbol x)-\sum_{i=1}^m\lambda_ig_i(\boldsymbol x).$$

必要条件： $$\nabla f=\sum_{i=1}^m\lambda_i\nabla g_i,$$ 并且 $g_i=0$。要求 $\nabla g_1,\dots,\nabla g_m$ 线性无关（约束正则）。

16.3.4 条件极值的充分条件

  • 在候选点处，考虑拉格朗日函数的二阶微分 $$\mathrm d^2L=\sum_{i,j}\frac{\partial^2L}{\partial x_i\partial x_j}\mathrm dx_i\mathrm dx_j$$ 限制在约束的切空间（即满足 $\sum_j\frac{\partial g_k}{\partial x_j}\mathrm dx_j=0$ 的方向）上。
  • 若限制后的二次型正定，则为条件极小值；负定则为条件极大值；不定则不是极值。
  • 实际问题中，若由题意知最值存在且候选点唯一，则该点即为所求最值点，无需再判二阶条件。

16.3.5 几何应用

  • 点到曲线或曲面的最短距离：在曲线上/曲面上最小化距离平方。
  • 例：求原点到平面 $ax+by+cz=d$ 的距离。令 $$L=x^2+y^2+z^2-\lambda(ax+by+cz-d),$$ 得 $$2x=\lambda a,\quad2y=\lambda b,\quad2z=\lambda c,$$ 解得 $$x=\frac{\lambda a}2,\quad y=\frac{\lambda b}2,\quad z=\frac{\lambda c}2.$$ 代入约束得 $$\lambda=\frac{2d}{a^2+b^2+c^2},$$ 最短距离为 $$d_{\min}=\frac{|d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.$$
  • 求椭球面、柱面等几何体的最大最小距离时，常将约束写成隐式方程。

16.4 变量代换中的雅可比

在重积分换元中（详见第 17 章），变换 $$\begin{cases}x=x(u,v),\y=y(u,v)\end{cases}$$ 的雅可比行列式为 $$J=\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}.$$

  • 面积元： $$\mathrm dx,\mathrm dy=|J|,\mathrm du,\mathrm dv.$$
  • 三重积分： $$\mathrm dx,\mathrm dy,\mathrm dz=|J|,\mathrm du,\mathrm dv,\mathrm dw.$$
  • 极坐标变换 $x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$： $$J=\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)}=r.$$
  • 柱坐标 $x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$，$z=z$： $$J=r.$$
  • 球坐标 $x=r\sin\varphi\cos\theta$，$y=r\sin\varphi\sin\theta$，$z=r\cos\varphi$： $$J=r^2\sin\varphi.$$

16.5 隐函数定理的应用步骤

  1. 写出方程 $F(x,y)=0$ 或方程组。
  2. 验证 $F(P_0)=0$ 与相应的雅可比条件。
  3. 由公式或直接求导求出隐函数的偏导数。
  4. 若需高阶导数，对一阶导数关系式继续求导。
  5. 条件极值问题先写约束，再构造拉格朗日函数，解驻点方程，最后判断或结合实际意义取最值。

练习

  1. 验证方程 $x^2+y^2=1$ 在点 $(0,1)$ 附近确定隐函数 $y=y(x)$，并求 $y'$。

  2. 设 $x^2+xy+y^2=3$，求在点 $(1,1)$ 处的 $\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}$。

  3. 设 $x^2+y^2+z^2=1$，求 $\dfrac{\partial z}{\partial x}$、$\dfrac{\partial z}{\partial y}$。

  4. 设 $\mathrm e^z+xyz=1$，求 $\dfrac{\partial z}{\partial x}$、$\dfrac{\partial z}{\partial y}$。

  5. 设 $x-y+\sin y=0$，求 $\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}$。

  6. 讨论方程 $x^2+y^2=0$ 在 $(0,0)$ 附近能否确定隐函数 $y=y(x)$，并说明隐函数定理的条件。

  7. 求函数 $f(x,y)=xy$ 在约束 $x+y=2$ 下的最大值。

  8. 求函数 $f(x,y)=x^2+y^2$ 在约束 $x+y=1$ 下的最小值。

  9. 求函数 $f(x,y,z)=xyz$ 在约束 $x+y+z=1$（$x,y,z>0$）下的最大值。

  10. 求原点到平面 $x+2y+2z=6$ 的最短距离。

  11. 求函数 $f(x,y)=x+y$ 在圆 $x^2+y^2=1$ 上的最大值和最小值。

  12. 求函数 $f(x,y)=xy$ 在圆 $x^2+y^2=1$ 上的最大值和最小值。

检测题

  1. 验证方程 $x^2-y^3=0$ 在点 $(1,1)$ 附近确定隐函数 $y=y(x)$，并求 $y'$。

  2. 设 $x^2+y^2+z^2=3xyz$，求 $\dfrac{\partial z}{\partial x}$、$\dfrac{\partial z}{\partial y}$。

  3. 设变换 $$\begin{cases}u=\mathrm e^x\cos y,\v=\mathrm e^x\sin y.\end{cases}$$ 求其雅可比行列式，并判断在 $(0,0)$ 附近是否可逆。

  4. 求函数 $f(x,y)=xy$ 在约束 $x^2+y^2=1$ 下的最大值和最小值。

  5. 求函数 $f(x,y,z)=x+y+z$ 在球面 $x^2+y^2+z^2=1$ 上的最大值和最小值。

  6. 求点 $(1,0)$ 到直线 $x+2y=5$ 的最短距离。

  7. 求函数 $f(x,y)=x^2y$ 在约束 $x+y=3$（$x,y>0$）下的最大值。

  8. 求函数 $f(x,y)=x^2+y^2$ 在约束 $xy=1$ 下的最小值。

  9. 求函数 $f(x,y)=x^2+y^2$ 在约束 $x+y=1$ 下的最小值，并说明拉格朗日乘数 $\lambda$ 的意义。

  10. 用条件极值证明不等式 $$(x+y)^2\le2(x^2+y^2).$$

参考答案与提示

  1. 令 $F(x,y)=x^2+y^2-1$。$F(0,1)=0$，$F_y(0,1)=2\ne0$，由隐函数定理，在 $(0,1)$ 附近确定 $y=y(x)$。由 $$y'=-\frac{F_x}{F_y}=-\frac{2x}{2y}=-\frac xy,$$ 在 $(0,1)$ 处 $y'=0$。
  2. 令 $F=x^2+xy+y^2-3$。$F_x=2x+y$，$F_y=x+2y$。在 $(1,1)$ 处，$F_x=3$，$F_y=3$，故 $$y'=-\frac{F_x}{F_y}=-1.$$
  3. 令 $F=x^2+y^2+z^2-1$。$F_x=2x$，$F_y=2y$，$F_z=2z$，故 $$\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{x}{z},\qquad \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{y}{z}\quad(z\ne0).$$
  4. 令 $F=\mathrm e^z+xyz-1$。$F_x=yz$，$F_y=xz$，$F_z=\mathrm e^z+xy$，故 $$\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{yz}{\mathrm e^z+xy},\qquad \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{xz}{\mathrm e^z+xy}.$$
  5. 令 $F=x-y+\sin y$。$F_x=1$，$F_y=-1+\cos y$，故 $$\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=-\frac1{-1+\cos y}=\frac1{1-\cos y}.$$
  6. $F(x,y)=x^2+y^2$，$F(0,0)=0$，但 $F_y(0,0)=0$，不满足隐函数定理条件。事实上方程只确定点 $(0,0)$，在 $x=0$ 附近不能确定唯一的 $y=y(x)$。
  7. 拉格朗日函数 $$L=xy-\lambda(x+y-2).$$ 由 $$y=\lambda,\qquad x=\lambda,\qquad x+y=2,$$ 得 $x=y=1$，最大值为 $f(1,1)=1$。
  8. $$L=x^2+y^2-\lambda(x+y-1).$$ 由 $2x=\lambda$，$2y=\lambda$，得 $x=y=\dfrac12$，最小值为 $$f\left(\frac12,\frac12\right)=\frac12.$$
  9. $$L=xyz-\lambda(x+y+z-1).$$ 由 $$yz=\lambda,\qquad xz=\lambda,\qquad xy=\lambda,$$ 得 $x=y=z=\dfrac13$，最大值为 $$f\left(\frac13,\frac13,\frac13\right)=\frac1{27}.$$
  10. 最小化 $x^2+y^2+z^2$，约束 $x+2y+2z=6$。由拉格朗日乘数法得 $$x=\frac23,\qquad y=\frac43,\qquad z=\frac43,$$ 最短距离为 $$\sqrt{\left(\frac23\right)^2+\left(\frac43\right)^2+\left(\frac43\right)^2}=2.$$
  11. $$L=x+y-\lambda(x^2+y^2-1).$$ 由 $1=2\lambda x$，$1=2\lambda y$，得 $x=y=\pm\dfrac1{\sqrt2}$。最大值为 $\sqrt2$，最小值为 $-\sqrt2$。
  12. $$L=xy-\lambda(x^2+y^2-1).$$ 由 $y=2\lambda x$，$x=2\lambda y$，得 $x^2=y^2=\dfrac12$。候选点为 $\left(\pm\dfrac1{\sqrt2},\pm\dfrac1{\sqrt2}\right)$。最大值为 $\dfrac12$，最小值为 $-\dfrac12$。

检测题参考答案

  1. $F=x^2-y^3$。$F(1,1)=0$，$F_y=-3y^2$，在 $(1,1)$ 处为 $-3\ne0$，故在 $(1,1)$ 附近确定 $y=y(x)$。由 $$y'=-\frac{F_x}{F_y}=-\frac{2x}{-3y^2}=\frac{2x}{3y^2},$$ 在 $(1,1)$ 处 $y'=\dfrac23$。
  2. 令 $F=x^2+y^2+z^2-3xyz$。$F_x=2x-3yz$，$F_y=2y-3xz$，$F_z=2z-3xy$，故 $$\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{2x-3yz}{2z-3xy},\qquad \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{2y-3xz}{2z-3xy}.$$
  3. 雅可比行列式 $$J=\begin{vmatrix} \mathrm e^x\cos y&-\mathrm e^x\sin y\ \mathrm e^x\sin y&\mathrm e^x\cos y \end{vmatrix} =\mathrm e^{2x}(\cos^2y+\sin^2y)=\mathrm e^{2x}.$$ 在 $(0,0)$ 处 $J=1\ne0$，由反函数定理，在 $(0,0)$ 附近局部可逆。
  4. 由练习第 12 题，最大值为 $\dfrac12$，最小值为 $-\dfrac12$。
  5. $$L=x+y+z-\lambda(x^2+y^2+z^2-1).$$ 由 $1=2\lambda x$，$1=2\lambda y$，$1=2\lambda z$，得 $x=y=z=\pm\dfrac1{\sqrt3}$。最大值为 $\sqrt3$，最小值为 $-\sqrt3$。
  6. 点 $(1,0)$ 到直线 $x+2y=5$ 的距离为 $$\frac{|1+0-5|}{\sqrt{1+4}}=\frac4{\sqrt5}.$$
  7. $$L=x^2y-\lambda(x+y-3).$$ 由 $2xy=\lambda$，$x^2=\lambda$，得 $x=2y$。代入 $x+y=3$ 得 $y=1$，$x=2$，最大值为 $f(2,1)=4$。
  8. $$L=x^2+y^2-\lambda(xy-1).$$ 由 $2x=\lambda y$，$2y=\lambda x$，得 $x^2=y^2$。结合 $xy=1$，得 $x=y=\pm1$，最小值为 $2$。
  9. 最小值为 $\dfrac12$，在 $\left(\dfrac12,\dfrac12\right)$ 处取得。乘数 $\lambda=1$，表示约束右端增加一个单位时，最小值的近似增量为 $1$。
  10. 令 $f(x,y)=(x+y)^2$，约束 $g(x,y)=x^2+y^2-2=0$（取固定值 $2$）。由 $$2(x+y)=2\lambda x,\qquad 2(x+y)=2\lambda y,$$ 得 $x=y$。代入约束得 $x=y=\pm1$。在约束 $x^2+y^2=2$ 上，$f$ 的最大值为 $4$，即 $$(x+y)^2\le2(x^2+y^2).$$