第 1 章 实数与函数
本章把实数系的基本性质、确界原理、常用不等式、函数概念与初等函数合并在一起。实数完备性是整个极限理论的基础，函数则是数学分析研究的基本对象。
1.1 实数系
1.1.1 实数集的性质
- $\mathbb{R}$ 对加、减、乘、除（除数非零）封闭，构成一个域。
- 有序性：对任意 $a,b\in\mathbb{R}$，$a<b$、$a=b$、$a>b$ 三式中恰有一式成立；若 $a<b$ 且 $b<c$，则 $a<c$。
- 序与运算相容：若 $a<b$，则 $a+c<b+c$；若 $a<b$ 且 $c>0$，则 $ac<bc$。
- 阿基米德性：对任意 $a>0$、$b>0$，存在 $n\in\mathbb{N}^$，使 $na>b$。等价地，$\mathbb{N}^$ 无上界。
- 有理数稠密性：任意两个实数之间既有有理数，也有无理数。
- 实数与数轴上的点一一对应。
1.1.2 上界、下界与确界
设 $S\subseteq\mathbb{R}$ 非空。若存在 $M\in\mathbb{R}$，使对一切 $x\in S$ 有 $x\le M$，则称 $M$ 是 $S$ 的一个上界，并称 $S$ 有上界。若存在 $m\in\mathbb{R}$，使对一切 $x\in S$ 有 $x\ge m$，则称 $m$ 是 $S$ 的一个下界，并称 $S$ 有下界。
设 $S$ 非空且有上界。若 $\beta$ 满足： （1）$\beta$ 是 $S$ 的上界； （2）对任意 $\varepsilon>0$，存在 $x\in S$，使 $x>\beta-\varepsilon$， 则称 $\beta$ 是 $S$ 的上确界，记作 $\beta=\sup S$。
- 上确界是最小的上界；下确界是最大的下界，记作 $\inf S$。
- $\sup S$ 可以属于 $S$，也可以不属于 $S$。若属于 $S$，则它就是 $S$ 的最大值 $\max S$；否则 $S$ 无最大值。
- 确界原理：非空有上界的实数集必有上确界；非空有下界的实数集必有下确界。
- 确界原理是实数完备性的基本形式，与单调有界定理、闭区间套定理、有限覆盖定理、聚点定理、柯西收敛准则等价。
确界的运算性质（所涉及的集合非空且有相应确界）：
- $\sup(A+B)=\sup A+\sup B$，其中 $A+B={a+b\mid a\in A,\ b\in B}$。
- $\inf(A+B)=\inf A+\inf B$。
- 若 $c>0$，则 $\sup(cA)=c\sup A$，$\inf(cA)=c\inf A$，其中 $cA={ca\mid a\in A}$。
- 若 $c<0$，则 $\sup(cA)=c\inf A$，$\inf(cA)=c\sup A$。
- 若 $A\subseteq B$，则 $\sup A\le\sup B$，$\inf A\ge\inf B$。
1.1.3 绝对值
$$|a|=\begin{cases}a,&a\ge0,\-a,&a<0.\end{cases}$$
- $|a|\ge0$，且 $|a|=0\iff a=0$。
- $|ab|=|a|,|b|$，$\left|\dfrac ab\right|=\dfrac{|a|}{|b|}$（$b\ne0$）。
- $|a+b|\le|a|+|b|$（三角不等式），等号成立当且仅当 $ab\ge0$。
- $\bigl||a|-|b|\bigr|\le|a-b|$。
- $|a-b|$ 表示数轴上点 $a$ 与点 $b$ 的距离。
- 当 $b>0$ 时，$|a|\le b\iff -b\le a\le b$；$|a|\ge b\iff a\ge b$ 或 $a\le -b$。
1.1.4 常用不等式
- 伯努利不等式：对 $x>-1$ 及 $n\in\mathbb{N}^*$， $$(1+x)^n\ge1+nx.$$
- 平均值不等式：对 $a_i>0$（$i=1,\dots,n$）， $$\frac{n}{\frac1{a_1}+\cdots+\frac1{a_n}}\le\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}\le\frac{a_1+\cdots+a_n}{n}\le\sqrt{\frac{a_1^2+\cdots+a_n^2}{n}}.$$ 各等号均当且仅当 $a_1=\cdots=a_n$ 时成立。
- 柯西-施瓦茨不等式： $$\left(\sum_{i=1}^n a_ib_i\right)^2\le\left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right).$$
- 杨不等式：设 $p,q>1$，$\dfrac1p+\dfrac1q=1$，$a,b\ge0$，则 $$ab\le\frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}.$$
- 赫尔德不等式：设 $p,q>1$，$\dfrac1p+\dfrac1q=1$，则 $$\sum_{i=1}^n|a_ib_i|\le\left(\sum_{i=1}^n|a_i|^p\right)^{1/p}\left(\sum_{i=1}^n|b_i|^q\right)^{1/q}.$$
- 常用初等不等式：
- 对一切 $x\in\mathbb{R}$，$|\sin x|\le|x|$，$|\cos x|\le1$。
- 对 $x>-1$，$\ln(1+x)\le x$，等号仅在 $x=0$ 时成立。
- 对 $x\ne0$，$\mathrm{e}^x>1+x$。
- 对 $0<x<\dfrac\pi2$，$\sin x<x<\tan x$。
1.1.5 区间与邻域
- 有限区间：$(a,b)$、$[a,b]$、$[a,b)$、$(a,b]$。
- 无限区间：$(a,+\infty)$、$[a,+\infty)$、$(-\infty,b)$、$(-\infty,b]$、$(-\infty,+\infty)$。
- 点 $a$ 的 $\delta$ 邻域：$U(a,\delta)=(a-\delta,a+\delta)$，其中 $\delta>0$。
- 点 $a$ 的去心 $\delta$ 邻域：$\mathring{U}(a,\delta)=(a-\delta,a)\cup(a,a+\delta)$。
- 无穷邻域：$U(+\infty,M)=(M,+\infty)$，$U(-\infty,M)=(-\infty,M)$。
- 点集 $E$ 的直径：$d(E)=\sup{|x-y|\mid x,y\in E}$。
1.2 函数概念
1.2.1 函数的定义
设 $D\subseteq\mathbb{R}$ 非空。若对每个 $x\in D$，按照某个对应法则 $f$，都有唯一确定的实数 $y$ 与之对应，则称 $f$ 是定义在 $D$ 上的函数，记作 $y=f(x)$，$x\in D$。
- $D$ 叫定义域，$f(D)={f(x)\mid x\in D}$ 叫值域。
- 函数由定义域和对应法则确定。两个函数相同，当且仅当定义域相同且对应法则相同。
- 函数的图像：${(x,f(x))\mid x\in D}$。
- 分段函数：在定义域的不同部分用不同表达式表示。常见的有
- 绝对值函数 $|x|$；
- 符号函数 $\operatorname{sgn}x=\begin{cases}1,&x>0,\0,&x=0,\-1,&x<0;\end{cases}$
- 取整函数 $ $：不超过 $x$ 的最大整数；
- 小数部分函数 ${x}=x- $。
- 常用记号：$\max{a,b}$、$\min{a,b}$。
1.2.2 函数的性质
- 有界性：若存在 $M>0$，使对一切 $x\in D$ 有 $|f(x)|\le M$，则称 $f$ 在 $D$ 上有界，否则称无界。$f$ 在 $D$ 上有界当且仅当 $f$ 在 $D$ 上既有上界又有下界。
- 单调性：若对任意 $x_1,x_2\in D$，$x_1<x_2$，都有 $f(x_1)\le f(x_2)$，则称 $f$ 在 $D$ 上单调递增；若都有 $f(x_1)<f(x_2)$，则称严格单调递增。类似定义单调递减与严格单调递减。
- 奇偶性：设 $D$ 关于原点对称。若对一切 $x\in D$ 有 $f(-x)=f(x)$，则 $f$ 为偶函数；若 $f(-x)=-f(x)$，则 $f$ 为奇函数。偶函数图像关于 $y$ 轴对称，奇函数图像关于原点对称。
- 周期性：若存在 $T>0$，使对一切 $x\in D$ 有 $x+T\in D$，且 $f(x+T)=f(x)$，则称 $f$ 为周期函数，$T$ 为一个周期。若存在最小的正周期，则称之为基本周期。
- 注意：有界函数不一定取得最大值或最小值。例如 $f(x)=x$（$0\le x<1$），$f(1)=0$ 在 $[0,1]$ 上有界，但最大值 $1$ 取不到。闭区间上连续的函数才一定取得最大值和最小值。
1.2.3 复合函数与反函数
- 复合函数：设 $y=f(u)$ 定义在 $D_f$ 上，$u=g(x)$ 定义在 $D_g$ 上，且 $g(D_g)\subseteq D_f$，则 $y=f(g(x))$ 是复合函数，其定义域为 ${x\in D_g\mid g(x)\in D_f}$。
- 反函数：设 $f$ 在 $D$ 上严格单调，值域为 $f(D)$。对每个 $y\in f(D)$，存在唯一的 $x\in D$ 使 $f(x)=y$。由此定义的函数叫 $f$ 的反函数，记作 $x=f^{-1}(y)$。
- 严格单调函数必有反函数，且反函数与 $f$ 的单调性相同。
- $f^{-1}$ 的定义域是 $f$ 的值域，$f^{-1}$ 的值域是 $f$ 的定义域，并且 $$f^{-1}(f(x))=x\ (x\in D),\qquad f(f^{-1}(y))=y\ (y\in f(D)).$$
- $y=f(x)$ 与 $y=f^{-1}(x)$ 的图像关于直线 $y=x$ 对称。
1.2.4 初等函数
- 幂函数：$y=x^\alpha$，$\alpha\in\mathbb{R}$。定义域随 $\alpha$ 而定；在 $(0,+\infty)$ 上有定义且连续。
- 指数函数：$y=a^x$，$a>0$，$a\ne1$。定义域为 $\mathbb{R}$，值域为 $(0,+\infty)$；$a>1$ 时严格递增，$0<a<1$ 时严格递减；恒过点 $(0,1)$。
- 对数函数：$y=\log_a x$，$a>0$，$a\ne1$。它是 $y=a^x$ 的反函数；定义域为 $(0,+\infty)$，值域为 $\mathbb{R}$；恒过点 $(1,0)$。记 $\ln x=\log_{\mathrm{e}}x$，$\lg x=\log_{10}x$。
- 三角函数：
- $\sin x$、$\cos x$：定义域 $\mathbb{R}$，值域 $[-1,1]$，周期 $2\pi$。
- $\tan x$：定义域 $x\ne k\pi+\dfrac\pi2$，值域 $\mathbb{R}$，周期 $\pi$。
- $\cot x$：定义域 $x\ne k\pi$，值域 $\mathbb{R}$，周期 $\pi$。
- $\sec x=\dfrac1{\cos x}$，$\csc x=\dfrac1{\sin x}$。
- 反三角函数：
- $y=\arcsin x$：定义域 $[-1,1]$，值域 $\left[-\dfrac\pi2,\dfrac\pi2\right]$，严格递增。
- $y=\arccos x$：定义域 $[-1,1]$，值域 $[0,\pi]$，严格递减。
- $y=\arctan x$：定义域 $\mathbb{R}$，值域 $\left(-\dfrac\pi2,\dfrac\pi2\right)$，严格递增。
- $y=\operatorname{arccot}x$：定义域 $\mathbb{R}$，值域 $(0,\pi)$，严格递减。
- 双曲函数： $$\sinh x=\frac{\mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-x}}2,\qquad \cosh x=\frac{\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}}2,\qquad \tanh x=\frac{\sinh x}{\cosh x}.$$ 满足 $\cosh^2x-\sinh^2x=1$；$\sinh x$ 为奇函数，$\cosh x$ 为偶函数。
- 反双曲函数： $$\operatorname{arsinh}x=\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right),\qquad \operatorname{arcosh}x=\ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)\ (x\ge1).$$
- 初等函数：由常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数经过有限次四则运算与复合所得到的函数。
1.2.5 常用恒等式
- $\sin^2x+\cos^2x=1$，$1+\tan^2x=\sec^2x$，$1+\cot^2x=\csc^2x$。
- $\sin(x\pm y)=\sin x\cos y\pm\cos x\sin y$。
- $\cos(x\pm y)=\cos x\cos y\mp\sin x\sin y$。
- $\sin2x=2\sin x\cos x$。
- $\cos2x=\cos^2x-\sin^2x=2\cos^2x-1=1-2\sin^2x$。
- $\sin x+\sin y=2\sin\dfrac{x+y}2\cos\dfrac{x-y}2$。
- $\cos x+\cos y=2\cos\dfrac{x+y}2\cos\dfrac{x-y}2$。
- $\cos x-\cos y=-2\sin\dfrac{x+y}2\sin\dfrac{x-y}2$。
- $\arcsin x+\arccos x=\dfrac\pi2$（$|x|\le1$）。
- $\arctan x+\operatorname{arccot}x=\dfrac\pi2$（$x\in\mathbb{R}$）。
- $\arctan x+\arctan\dfrac1x=\dfrac\pi2$（$x>0$），$\arctan x+\arctan\dfrac1x=-\dfrac\pi2$（$x<0$）。
- $\sin(\arctan x)=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}$，$\cos(\arctan x)=\dfrac1{\sqrt{1+x^2}}$。
练习
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求下列集合的上确界和下确界： （1）$A=\left{\dfrac1n\mid n\in\mathbb{N}^\right}$； （2）$B={x\in\mathbb{Q}\mid x^2<2}$； （3）$C=\left{(-1)^n+\dfrac1n\mid n\in\mathbb{N}^\right}$。
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设 $A,B$ 是非空有上界的实数集。证明： $$\sup(A+B)=\sup A+\sup B,$$ 其中 $A+B={a+b\mid a\in A,\ b\in B}$。
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解绝对值不等式 $|x-1|+|x+2|<5$。
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设 $x>0$，用平均值不等式证明 $x+\dfrac1x\ge2$，并指出等号成立的条件。
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求函数 $f(x)=\sqrt{1-x^2}+\ln(x+1)$ 的定义域。
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判断函数 $f(x)=\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)$ 的奇偶性，并证明。
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求函数 $y=\dfrac{2^x}{1+2^x}$ 的反函数及其定义域。
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设 $f(x)=x^2$，$g(x)=2x+1$，求 $f(g(x))$、$g(f(x))$、$f(f(x))$。
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证明 $f(x)=\sin x+\cos x$ 在 $\mathbb{R}$ 上有界，且以 $2\pi$ 为周期。
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设 $S=\left{1-\dfrac1n\mid n\in\mathbb{N}^*\right}$，求 $\sup S$、$\inf S$、$\max S$、$\min S$。
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证明：对任意 $x>0$，有 $\ln(1+x)<x$。
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设 $f$ 在区间 $I$ 上严格单调递增。证明 $f$ 存在反函数，且反函数在 $f(I)$ 上严格单调递增。
检测题
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设 $A={x\mid x^2+x-2<0}$，$B={x\mid |x-1|<1}$，求 $A\cap B$ 与 $A\cup B$。
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用确界原理证明：非空有下界的实数集必有下确界。
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求集合 $\left{\dfrac1m+\dfrac1n\mid m,n\in\mathbb{N}^*\right}$ 的上确界和下确界。
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证明 $f(x)=x+\sin x$ 在 $\mathbb{R}$ 上严格单调递增，从而存在反函数。
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设 $f(x)=\dfrac{x}{1+x^2}$，讨论 $f$ 在 $[1,+\infty)$ 上的单调性，求其值域，并判断反函数是否存在。
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证明：对任意 $x,y\in\mathbb{R}$，$|\sin x-\sin y|\le|x-y|$。
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设 $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 满足 $f(x+y)=f(x)+f(y)$，且 $f$ 在 $x=0$ 处连续。证明存在常数 $c$，使 $f(x)=cx$。
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求函数 $f(x)=\sqrt{x^2-2x+5}+\sqrt{x^2+2x+5}$ 的最小值。
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判断命题“若 $f$ 在 $[a,b]$ 上有界，则 $f$ 在 $[a,b]$ 上必有最大值”是否正确，并说明理由。
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设 $f$ 在区间 $I$ 上严格单调。证明 $f^{-1}$ 在 $f(I)$ 上严格单调，且单调方向与 $f$ 相同。
参考答案与提示
- （1）$\sup A=1$，$\inf A=0$；（2）$\sup B=\sqrt2$，$\inf B=-\sqrt2$；（3）偶数项 $n=2$ 时取得最大值 $\dfrac32$，奇数项趋于 $-1$ 但取不到，故 $\sup C=\dfrac32$，$\inf C=-1$。
- 先证 $\sup A+\sup B$ 是 $A+B$ 的上界；再对任意 $\varepsilon>0$，取 $a\in A$ 使 $a>\sup A-\dfrac\varepsilon2$，取 $b\in B$ 使 $b>\sup B-\dfrac\varepsilon2$，则 $a+b>\sup A+\sup B-\varepsilon$。由确界定义得证。
- 分 $x<-2$、$-2\le x\le1$、$x>1$ 讨论，解得 $-3<x<2$。
- 由平均值不等式，$x+\dfrac1x\ge2\sqrt{x\cdot\dfrac1x}=2$，等号当且仅当 $x=1$。
- 需 $1-x^2\ge0$ 且 $x+1>0$，即 $-1\le x\le1$ 且 $x>-1$，所以定义域为 $(-1,1]$。
- 定义域为 $\mathbb{R}$。因为 $$f(-x)=\ln\left(-x+\sqrt{1+x^2}\right)=\ln\frac1{x+\sqrt{1+x^2}}=-f(x),$$ 所以 $f$ 是奇函数。
- 由 $y=\dfrac{2^x}{1+2^x}$ 得 $2^x=\dfrac{y}{1-y}$，所以 $x=\log_2\dfrac{y}{1-y}$。反函数为 $y=\log_2\dfrac{x}{1-x}$，定义域为 $(0,1)$。
- $f(g(x))=(2x+1)^2$，$g(f(x))=2x^2+1$，$f(f(x))=x^4$。
- $f(x)=\sqrt2\sin\left(x+\dfrac\pi4\right)$，故 $|f(x)|\le\sqrt2$，且 $f(x+2\pi)=f(x)$。
- $\sup S=1$（取不到），$\inf S=0$（$n=1$ 时取到），故 $\min S=0$，$S$ 无最大值。
- 令 $g(x)=x-\ln(1+x)$，则 $g(0)=0$，且 $g'(x)=1-\dfrac1{1+x}=\dfrac{x}{1+x}>0$（$x>0$），故 $g(x)>g(0)=0$。
- 对任意 $y\in f(I)$，由严格单调性，满足 $f(x)=y$ 的 $x$ 唯一，故 $f^{-1}$ 存在。若 $y_1<y_2$，取 $x_i=f^{-1}(y_i)$，则必有 $x_1<x_2$（否则 $x_1\ge x_2$，由 $f$ 严格递增得 $y_1\ge y_2$，矛盾），所以 $f^{-1}$ 严格递增。
检测题参考答案
- $A=(-2,1)$，$B=(0,2)$，所以 $A\cap B=(0,1)$，$A\cup B=(-2,2)$。
- 设 $S$ 非空有下界。令 $-S={-x\mid x\in S}$，则 $-S$ 非空有上界。由确界原理，$\sup(-S)$ 存在，且 $\inf S=-\sup(-S)$。
- 因为 $\dfrac1m+\dfrac1n\le2$，等号在 $m=n=1$ 时成立，所以上确界为 $2$；又 $\dfrac1m+\dfrac1n>0$，且当 $m,n\to\infty$ 时趋于 $0$，所以下确界为 $0$。
- $f'(x)=1+\cos x\ge0$。对任意 $x<y$， $$f(y)-f(x)=\int_x^y(1+\cos t),\mathrm dt>0,$$ 因为被积函数非负且在任意子区间上不恒为零。故 $f$ 严格递增，反函数存在。
- $f'(x)=\dfrac{1-x^2}{(1+x^2)^2}\le0$（$x\ge1$），等号仅在 $x=1$ 处成立，故 $f$ 在 $[1,+\infty)$ 上严格递减。$f(1)=\dfrac12$，且 $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0$，所以值域为 $\left(0,\dfrac12\right]$。严格单调，故反函数存在。
- 由拉格朗日中值定理，存在 $\xi$ 介于 $x,y$ 之间，使 $\sin x-\sin y=\cos\xi,(x-y)$，于是 $|\sin x-\sin y|\le|x-y|$。
- 由 $f(0)=f(0+0)=2f(0)$ 得 $f(0)=0$。又 $f(x+h)-f(x)=f(h)$，由 $f$ 在 $0$ 处连续得 $f$ 在任意点连续。对有理数 $r=\dfrac mn$，有 $f(r)=rf(1)$。令 $c=f(1)$，由连续性与有理数稠密性，对一切 $x\in\mathbb{R}$ 有 $f(x)=cx$。
- 配方得 $$f(x)=\sqrt{(x-1)^2+2^2}+\sqrt{(x+1)^2+2^2},$$ 它表示 $x$ 轴上的点 $P(x,0)$ 到 $A(1,2)$ 与 $B(-1,2)$ 的距离之和。作 $A$ 关于 $x$ 轴的对称点 $A'(1,-2)$，则最小值为 $|A'B|=\sqrt{(-2)^2+(-4)^2}=2\sqrt5$，在 $x=0$ 时取得。
- 不正确。例如 $$f(x)=\begin{cases}x,&0\le x<1,\0,&x=1,\end{cases}$$ $f$ 在 $[0,1]$ 上有界，但上确界 $1$ 取不到，故无最大值。
- 设 $f$ 严格递增。若 $y_1<y_2$，令 $x_i=f^{-1}(y_i)$。若 $x_1\ge x_2$，则由 $f$ 严格递增得 $y_1\ge y_2$，矛盾，故 $x_1<x_2$，即 $f^{-1}$ 严格递增。严格递减情形同理可证。