第 2 章数列极限

本章整理数列极限的定义、性质、存在准则与常用求法。数列极限是整个数学分析的起点，函数极限、连续、导数、积分和级数都要用到它。

2.1 数列极限的定义

2.1.1 数列

定义在正整数集上的函数 $a_n=f(n)$ 称为数列，记作 ${a_n}$。
数列可以看作数轴上的一个点列 $a_1,a_2,\dots,a_n,\dots$。

2.1.2 极限的定义

设 ${a_n}$ 是数列，$a\in\mathbb{R}$。若对任意 $\varepsilon>0$，存在 $N\in\mathbb{N}^*$，使当 $n>N$ 时，都有 $$|a_n-a|<\varepsilon,$$ 则称数列 ${a_n}$ 收敛于 $a$，称 $a$ 为它的极限，记作 $$\lim_{n\to\infty}a_n=a\quad\text{或}\quad a_n\to a\ (n\to\infty).$$ 若数列不收敛，则称它发散。

几何意义：对任意 $\varepsilon>0$，数列从某一项以后的全部项都落在 $a$ 的 $\varepsilon$ 邻域 $U(a,\varepsilon)$ 内。
等价说法：对任意 $\varepsilon>0$，只有有限项落在 $U(a,\varepsilon)$ 之外。

数列极限的 ε-N 定义

$\varepsilon$ 是任意小的正数，$N$ 依赖于 $\varepsilon$，一般不唯一。
用定义证明 $\lim a_n=a$ 的基本步骤：
1. 任给 $\varepsilon>0$；
2. 从 $|a_n-a|<\varepsilon$ 出发，解出 $n>N(\varepsilon)$；
3. 取定这样的 $N$；
4. 当 $n>N$ 时，验证 $|a_n-a|<\varepsilon$。

2.1.3 基本例子

$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac1n=0$。
$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac1{n^k}=0$（$k>0$）。
设 $|q|<1$，则 $\lim\limits_{n\to\infty}q^n=0$。
常数列的极限等于该常数。

2.2 收敛数列的性质

2.2.1 唯一性

若数列 ${a_n}$ 收敛，则它的极限唯一。

证明思路：设 $a_n\to a$ 且 $a_n\to b$，$a\ne b$。取 $\varepsilon=\dfrac{|a-b|}2>0$，则当 $n$ 充分大时，$|a_n-a|<\varepsilon$ 且 $|a_n-b|<\varepsilon$，于是 $$|a-b|\le|a-a_n|+|a_n-b|<2\varepsilon=|a-b|,$$ 矛盾。

2.2.2 有界性

收敛数列必有界。

即存在 $M>0$，使对一切 $n$ 有 $|a_n|\le M$。
反之不成立：${(-1)^n}$ 有界但不收敛。
无界数列必发散。

2.2.3 保号性

若 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=a>0$，则存在 $N$，使当 $n>N$ 时，$a_n>\dfrac a2>0$。

类似地，若 $a<0$，则从某项以后 $a_n<\dfrac a2<0$。

推论：若 $a_n\ge0$（$n>N_0$）且 $a_n\to a$，则 $a\ge0$。

注意：非严格不等式可以取极限，严格不等式不能保持。例如 $a_n=\dfrac1n>0$，但极限为 $0$。

2.2.4 保序性

设 $a_n\to a$，$b_n\to b$。若存在 $N_0$，使当 $n>N_0$ 时 $a_n\le b_n$，则 $a\le b$。

特别地，若 $a_n\le M$，则 $\lim a_n\le M$。
若 $a<b$，则从某项以后 $a_n<b_n$。

2.2.5 夹逼定理

设存在 $N_0$，使当 $n>N_0$ 时， $$a_n\le c_n\le b_n.$$ 若 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}b_n=l$，则 $$\lim_{n\to\infty}c_n=l.$$

夹逼定理常用于含 $n$ 项和、根式、取整等难以直接求极限的数列。
常用放缩：$n\cdot\min\le\sum\le n\cdot\max$。

2.2.6 四则运算

设 $a_n\to a$，$b_n\to b$，则：

$\lim(a_n\pm b_n)=a\pm b$。
$\lim(a_nb_n)=ab$。
若 $b\ne0$ 且 $b_n\ne0$（从某项以后），则 $\lim\dfrac{a_n}{b_n}=\dfrac ab$。
对常数 $c$，$\lim(ca_n)=ca$。
$\lim(a_n)^k=a^k$（$k\in\mathbb{N}^*$）。

2.2.7 其他性质

若 $a_n\to a$，则 $|a_n|\to|a|$；反之不成立，例如 $a_n=(-1)^n$。
若 $a_n\to0$，而 ${b_n}$ 有界，则 $a_nb_n\to0$。
若 $a_n\to a$，$a_n\ge0$，则 $\sqrt{a_n}\to\sqrt a$。
若 $a_n>0$（从某项以后）且 $a_n\to a>0$，则 $\ln a_n\to\ln a$。

2.3 单调有界准则

单调有界定理：单调递增且有上界的数列必收敛，其极限等于 $\sup{a_n}$；单调递减且有下界的数列必收敛，其极限等于 $\inf{a_n}$。

使用步骤：
1. 证明数列单调（作差或作比，或数学归纳法）；
2. 证明数列有界；
3. 设极限为 $l$，对递推式两边取极限，解出 $l$；
4. 根据单调性确定所取的值。
只能用单调有界定理证明极限存在，不能先假定极限存在再求值。若只需求值而极限存在性已知，可直接对递推式取极限。

2.3.1 重要极限 $\mathrm{e}$

$$ \mathrm{e}=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n. $$

数列 $a_n=\left(1+\dfrac1n\right)^n$ 单调递增且有上界 $3$。
二项式展开： $$a_n=\sum_{k=0}^n\mathrm{C}n^k\frac1{n^k} =1+\sum{k=1}^n\frac1{k!}\prod_{j=0}^{k-1}\left(1-\frac jn\right).$$
由此还可得到 $$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^{n+1}=\mathrm{e},\qquad \lim_{n\to\infty}\left(1-\frac1n\right)^n=\frac1{\mathrm e}.$$

2.4 子列与波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理

2.4.1 子列

从数列 ${a_n}$ 中按 $n_1<n_2<\cdots<n_k<\cdots$ 取出项，得到的新数列 ${a_{n_k}}$ 称为 ${a_n}$ 的子列。

子列的下标满足 $n_k\ge k$。
若 ${a_n}$ 收敛于 $a$，则它的任何子列也收敛于 $a$。
因此，若两个子列收敛于不同的值，则原数列发散。
特别地，${a_n}$ 收敛当且仅当奇子列 ${a_{2k-1}}$ 与偶子列 ${a_{2k}}$ 都收敛于同一极限。

2.4.2 波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理

致密性定理：有界数列必有收敛子列。

等价说法：有界无限点集必有聚点（聚点定理）。
该定理是实数完备性的重要表现形式。

2.4.3 上极限与下极限

上极限： $$\limsup_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}\sup_{k\ge n}a_k.$$
下极限： $$\liminf_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}\inf_{k\ge n}a_k.$$
对任意数列，$\liminf a_n\le\limsup a_n$。
${a_n}$ 收敛（有限极限）当且仅当 $\liminf a_n=\limsup a_n$ 且为有限数。
$\limsup a_n$ 是 ${a_n}$ 的所有收敛子列极限中的最大值（在扩充实数范围内），$\liminf a_n$ 是最小值。

2.5 柯西收敛准则

2.5.1 柯西数列

若对任意 $\varepsilon>0$，存在 $N\in\mathbb{N}^*$，使当 $m,n>N$ 时，都有 $$|a_m-a_n|<\varepsilon,$$ 则称 ${a_n}$ 为柯西数列（基本数列）。

2.5.2 柯西收敛准则

数列 ${a_n}$ 收敛当且仅当它是柯西数列。

必要性：若 $a_n\to a$，则 $|a_m-a_n|\le|a_m-a|+|a_n-a|$，取 $N$ 使两项都小于 $\dfrac\varepsilon2$。
充分性依赖实数完备性。柯西准则的意义在于：判断收敛时不需要预先知道极限值。
常用推论：若存在收敛级数 $\sum c_n$（$c_n\ge0$），使从某项以后 $$|a_{n+1}-a_n|\le c_n,$$ 则 ${a_n}$ 收敛。

2.5.3 发散的应用

证明 $\left{1+\dfrac12+\cdots+\dfrac1n\right}$ 发散：取 $m=2n$，则 $$|a_{2n}-a_n|=\frac1{n+1}+\cdots+\frac1{2n}\ge n\cdot\frac1{2n}=\frac12,$$ 不满足柯西条件。

2.6 数列极限的求法

定义法：适用于证明给定的极限值，关键是放缩 $|a_n-a|$。
四则运算法：适用于分式、根式等由基本极限组合而成的数列。
夹逼定理：适用于 $n$ 项和、取整、根式等。
单调有界准则：适用于递推数列。
柯西准则：适用于判断收敛而不求极限。
施托尔茨定理：

设 ${b_n}$ 严格递增且 $\lim\limits_{n\to\infty}b_n=+\infty$。若 $$\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=l,$$ 则 $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{b_n}=l$。

对 $\dfrac00$ 型也有相应结论：若 $a_n\to0$，$b_n\to0$，${b_n}$ 严格单调，且差分之比的极限为 $l$，则 $\dfrac{a_n}{b_n}\to l$。
比值与根值的关系：若 $a_n>0$ 且 $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=q$，则 $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=q$。
递推数列：先证明收敛（单调有界或压缩），再对递推式取极限。

2.7 常用极限

$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1$。
$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a}=1$（$a>0$）。
$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n^k}{a^n}=0$（$a>1$，$k>0$）。
$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a^n}{n!}=0$（$a>0$）。
$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n!}{n^n}=0$。
$\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac1n\right)^n=\mathrm e$。
$\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac xn\right)^n=\mathrm e^x$（$x\in\mathbb{R}$）。
$\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\dfrac1n\right)^n=\dfrac1{\mathrm e}$。
$\lim\limits_{n\to\infty}\left(\sqrt{n+1}-\sqrt n\right)=0$。
$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1+\frac12+\cdots+\frac1n}{\ln n}=1$。

练习

用 $\varepsilon$-$N$ 定义证明 $$\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{3n-2}=\frac23.$$
求下列极限：（1）$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n^2+3n}{2n^2-1}$；（2）$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1+2+\cdots+n}{n^2}$；（3）$\lim\limits_{n\to\infty}\left(\dfrac12\right)^n$；（4）$\lim\limits_{n\to\infty}\left(\sqrt{n+1}-\sqrt n\right)$。
证明数列 $a_n=\dfrac{n}{n+1}$ 单调递增且有上界。
设 $a_1=1$，$a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}$。证明 ${a_n}$ 收敛，并求极限。
求下列极限：（1）$\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac1n\right)^{n+1}$；（2）$\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\dfrac1n\right)^n$。
设 $a_n\to a$。证明 $|a_n|\to|a|$；并举例说明反之不成立。
设 $a_n>0$，且 $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=q<1$。证明 $a_n\to0$。
用夹逼定理求 $$\lim_{n\to\infty}\left(\frac1{\sqrt{n^2+1}}+\frac1{\sqrt{n^2+2}}+\cdots+\frac1{\sqrt{n^2+n}}\right).$$
证明数列 $a_n=(-1)^n+\dfrac1n$ 发散。
用柯西准则证明数列 $a_n=1+\dfrac12+\cdots+\dfrac1n$ 发散。
证明 $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1$。
设 $a_1=1$，$a_{n+1}=\dfrac12\left(a_n+\dfrac2{a_n}\right)$。证明 ${a_n}$ 收敛，并求极限。

检测题

用 $\varepsilon$-$N$ 定义证明 $$\lim_{n\to\infty}\frac{n^2-1}{2n^2+1}=\frac12.$$
求 $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{2^n+3^n}{2^{n+1}+3^{n+1}}$。
设 $a_n=\dfrac{n}{2n+1}$。用定义证明 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\dfrac12$。
设 $a_1=\sqrt2$，$a_{n+1}=\sqrt{2a_n}$。证明 ${a_n}$ 收敛，并求极限。
用施托尔茨定理求 $$\lim_{n\to\infty}\frac{1+\sqrt2+\cdots+\sqrt n}{n^{3/2}}.$$
设 ${a_n}$ 无界。证明存在子列 ${a_{n_k}}$，使 $|a_{n_k}|\to+\infty$。
判断命题“若 ${|a_n|}$ 收敛，则 ${a_n}$ 收敛”是否正确，并说明理由。
证明 $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n!}{n^n}=0$。
讨论数列 ${q^n}$ 的收敛性，其中 $q\in\mathbb{R}$。
证明数列 $a_n=\left(1+\dfrac1n\right)^n$ 收敛。

参考答案与提示

任给 $\varepsilon>0$，要使 $$\left|\frac{2n+1}{3n-2}-\frac23\right|=\frac{7}{3(3n-2)}\le\frac{7}{9n}<\varepsilon,$$ 只需 $n>\dfrac{7}{9\varepsilon}$。取 $N=\left[\dfrac{7}{9\varepsilon}\right]+1$，则当 $n>N$ 时不等式成立。
（1）分子分母同除以 $n^2$，得 $\dfrac12$；（2）和为 $\dfrac{n(n+1)}2$，极限为 $\dfrac12$；（3）$0$；（4）有理化得 $\dfrac1{\sqrt{n+1}+\sqrt n}\to0$。
$$a_{n+1}-a_n=\frac{n+1}{n+2}-\frac n{n+1}=\frac1{(n+1)(n+2)}>0,$$ 且 $a_n<1$，故单调递增且有上界 $1$。
先证 $1\le a_n<2$：$a_1=1$；若 $a_n<2$，则 $a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}<\sqrt4=2$。再证递增： $$a_{n+1}^2-a_n^2=2+a_n-a_n^2=-(a_n-2)(a_n+1)>0,$$ 故 $a_{n+1}>a_n$。由单调有界定理，极限 $L$ 存在。对递推式取极限得 $L=\sqrt{2+L}$，即 $L^2-L-2=0$，解得 $L=2$ 或 $L=-1$。由 $a_n\ge1$ 得 $L=2$。
（1）$\mathrm e$；（2）$\dfrac1{\mathrm e}$。
由 $\bigl||a_n|-|a|\bigr|\le|a_n-a|$ 得 $|a_n|\to|a|$。反之不成立：$a_n=(-1)^n$，$|a_n|=1$ 收敛，但 $a_n$ 发散。
取 $r$ 使 $q<r<1$。存在 $N$，使当 $n\ge N$ 时 $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}<r$。于是对 $n>N$， $$a_n<a_Nr^{n-N}\to0,$$ 由夹逼定理得 $a_n\to0$。
记 $S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n\frac1{\sqrt{n^2+k}}$。则 $$\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}\le S_n\le\frac{n}{\sqrt{n^2+1}}.$$ 两端都趋于 $1$，所以 $S_n\to1$。
奇子列 $a_{2k-1}=-1+\dfrac1{2k-1}\to-1$，偶子列 $a_{2k}=1+\dfrac1{2k}\to1$。两个子列极限不同，故原数列发散。
取 $m=2n$，则 $$|a_{2n}-a_n|=\frac1{n+1}+\cdots+\frac1{2n}\ge\frac12,$$ 不满足柯西条件，故发散。
令 $h_n=\sqrt[n]{n}-1\ge0$。由二项式展开， $$n=(1+h_n)^n\ge\frac{n(n-1)}2h_n^2,$$ 所以 $0\le h_n\le\sqrt{\dfrac2{n-1}}$（$n\ge2$），夹逼得 $h_n\to0$，即 $\sqrt[n]{n}\to1$。
当 $n\ge2$ 时，由平均值不等式， $$a_{n+1}=\frac12\left(a_n+\frac2{a_n}\right)\ge\sqrt2,$$ 且 $$a_{n+1}-a_n=\frac{2-a_n^2}{2a_n}\le0,$$ 故从第二项起单调递减且有下界 $\sqrt2$，极限 $L$ 存在。对递推式取极限得 $L=\dfrac12\left(L+\dfrac2L\right)$，即 $L^2=2$，由 $L>0$ 得 $L=\sqrt2$。

检测题参考答案

任给 $\varepsilon>0$， $$\left|\frac{n^2-1}{2n^2+1}-\frac12\right|=\frac{3}{2(2n^2+1)}<\frac{3}{4n^2}\le\frac{3}{4n}<\varepsilon$$ 当 $n>\dfrac{3}{4\varepsilon}$。取 $N=\left[\dfrac{3}{4\varepsilon}\right]+1$ 即可。
分子分母同除以 $3^n$： $$\frac{(2/3)^n+1}{2(2/3)^n+3}\to\frac13.$$
任给 $\varepsilon>0$， $$\left|\frac{n}{2n+1}-\frac12\right|=\frac1{2(2n+1)}<\frac1{4n}<\varepsilon$$ 当 $n>\dfrac1{4\varepsilon}$。取 $N=\left[\dfrac1{4\varepsilon}\right]+1$。
显然 $a_n>0$。由 $a_1=\sqrt2<2$，且若 $a_n<2$，则 $a_{n+1}=\sqrt{2a_n}<2$，故 $a_n<2$。又 $$a_{n+1}^2-a_n^2=2a_n-a_n^2=a_n(2-a_n)>0,$$ 故 ${a_n}$ 单调递增且有上界 $2$。设极限为 $L$，则 $L=\sqrt{2L}$，即 $L(L-2)=0$。由 $a_n\ge\sqrt2$ 得 $L=2$。
令 $b_n=n^{3/2}$，则 ${b_n}$ 严格递增趋于 $+\infty$，且 $$\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n} =\frac{\sqrt{n+1}}{(n+1)^{3/2}-n^{3/2}} =\frac{\sqrt{n+1}}{(n+1)^{3/2}\left[1-\left(1-\frac1{n+1}\right)^{3/2}\right]} \to\frac23.$$ 由施托尔茨定理，原极限为 $\dfrac23$。
由无界性，对每个 $k\in\mathbb{N}^*$，存在下标 $m_k$ 使 $|a_{m_k}|>k$。依次选取 $n_1=m_1$，$n_{k}>n_{k-1}$ 且 $|a_{n_k}|>k$，得到子列 ${a_{n_k}}$，满足 $|a_{n_k}|\to+\infty$。
不正确。例如 $a_n=(-1)^n$，${|a_n|}$ 恒等于 $1$，收敛；但 ${a_n}$ 的两个子列极限分别为 $-1$ 和 $1$，故发散。
令 $a_n=\dfrac{n!}{n^n}$，则 $a_n>0$，且 $$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}\cdot\frac{n^n}{n!} =\left(\frac{n}{n+1}\right)^n\to\frac1{\mathrm e}<1.$$ 由练习第 7 题，$a_n\to0$。
当 $|q|<1$ 时，$q^n\to0$；当 $q=1$ 时，$q^n=1\to1$；当 $q=-1$ 时，$q^n=(-1)^n$ 发散；当 $|q|>1$ 时，$|q^n|\to+\infty$，数列无界，发散。
由二项式展开， $$a_n=\sum_{k=0}^n\mathrm C_n^k\frac1{n^k} =1+\sum_{k=1}^n\frac1{k!}\prod_{j=0}^{k-1}\left(1-\frac jn\right).$$ 对固定的 $k$，因子 $\prod_{j=0}^{k-1}\left(1-\frac jn\right)$ 随 $n$ 增大而增大，因此 $a_n$ 单调递增。又 $$a_n\le1+\sum_{k=1}^n\frac1{k!}\le1+1+\frac12+\cdots+\frac1{2^{k-1}}<3,$$ 故 ${a_n}$ 有上界。由单调有界定理，${a_n}$ 收敛，其极限记为 $\mathrm e$。

第02章-数列极限

第 2 章 数列极限