第 13 章 傅里叶级数

本章整理三角函数系的正交性、傅里叶系数与傅里叶级数、狄利克雷收敛定理、正弦级数与余弦级数、贝塞尔不等式与帕塞瓦尔等式以及复数形式的傅里叶级数。

13.1 三角函数系的正交性

三角函数系 $$1,\ \cos x,\ \sin x,\ \cos2x,\ \sin2x,\ \dots,\ \cos nx,\ \sin nx,\ \dots$$ 在 $[-\pi,\pi]$ 上具有正交性：

$$\int_{-\pi}^{\pi}1\cdot\cos nx,\mathrm dx=0\quad(n=0,1,2,\dots),$$

$$\int_{-\pi}^{\pi}1\cdot\sin nx,\mathrm dx=0\quad(n=1,2,\dots),$$

$$\int_{-\pi}^{\pi}\sin mx\sin nx,\mathrm dx =\begin{cases}0,&m\ne n,\\pi,&m=n,\end{cases}$$

$$\int_{-\pi}^{\pi}\cos mx\cos nx,\mathrm dx =\begin{cases}0,&m\ne n,\\pi,&m=n,\end{cases}$$

$$\int_{-\pi}^{\pi}\sin mx\cos nx,\mathrm dx=0\quad(m,n=1,2,\dots).$$

  • 对周期为 $2l$ 的情形，把 $\cos\dfrac{n\pi x}l$、$\sin\dfrac{n\pi x}l$ 看作基本函数，正交区间为 $[-l,l]$。
  • 正交性是求傅里叶系数的依据。

13.2 傅里叶系数与傅里叶级数

13.2.1 周期为 $2\pi$ 的情形

设 $f$ 在 $[-\pi,\pi]$ 上可积，定义

$$a_0=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x),\mathrm dx,$$

$$a_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx,\mathrm dx\quad(n=1,2,\dots),$$

$$b_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx,\mathrm dx\quad(n=1,2,\dots).$$

称 $a_0,a_n,b_n$ 为 $f$ 的傅里叶系数，并称三角级数

$$f(x)\sim\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos nx+b_n\sin nx\right)$$

为 $f$ 的傅里叶级数。

  • 符号“$\sim$”表示右端是由 $f$ 生成的傅里叶级数，并不预先断言它收敛于 $f$。
  • 若 $f$ 为奇函数，则 $a_n=0$，只剩正弦项；若 $f$ 为偶函数，则 $b_n=0$，只剩余弦项和常数项。
  • 傅里叶系数只依赖于 $f$ 在 $[-\pi,\pi]$ 上的值，改变有限个点的函数值不改变傅里叶系数。

13.2.2 周期为 $2l$ 的情形

设 $f$ 在 $[-l,l]$ 上可积，令

$$a_0=\frac1l\int_{-l}^lf(x),\mathrm dx,$$

$$a_n=\frac1l\int_{-l}^lf(x)\cos\frac{n\pi x}l,\mathrm dx\quad(n=1,2,\dots),$$

$$b_n=\frac1l\int_{-l}^lf(x)\sin\frac{n\pi x}l,\mathrm dx\quad(n=1,2,\dots),$$

则

$$f(x)\sim\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos\frac{n\pi x}l+b_n\sin\frac{n\pi x}l\right).$$

  • 当 $l=\pi$ 时回到周期 $2\pi$ 的情形。
  • 周期为 $T=2l$ 的函数，其傅里叶级数也是周期 $T$ 的。

13.3 收敛定理

13.3.1 狄利克雷收敛定理

设 $f$ 在 $[-\pi,\pi]$ 上分段连续、分段单调（或分段光滑），则其傅里叶级数在每一点 $x$ 处收敛于 $$\frac{f(x+)+f(x-)}2,$$ 其中 $f(x+)$、$f(x-)$ 分别为 $f$ 在 $x$ 处的右极限与左极限。在端点 $x=\pm\pi$ 处，级数收敛于 $$\frac{f(-\pi+)+f(\pi-)}2.$$

  • 若 $f$ 在 $x$ 处连续，则 $f(x+)=f(x-)=f(x)$，级数收敛于 $f(x)$。
  • 若 $f$ 在 $x$ 处有跳跃间断，则级数收敛于左右极限的平均值，而不是 $f(x)$。
  • 分段光滑是指 $f$ 和 $f'$ 在 $[-\pi,\pi]$ 上除有限个点外连续，且在间断点处有有限左右极限。
  • 在间断点附近，傅里叶级数的部分和会出现吉布斯现象（过冲），但过冲幅度随项数增加趋于一个常数比例。

13.3.2 收敛性的其他判别

  • 若 $f$ 在 $[-\pi,\pi]$ 上平方可积，则其傅里叶级数在 $L^2$ 意义下收敛于 $f$（这属于更深入的理论）。
  • 狄利克雷条件是充分条件，不是必要条件。
  • 傅里叶级数可以逐项积分（在一定条件下），但逐项求导要求更高。

13.4 正弦级数与余弦级数

13.4.1 奇函数与偶函数

  • 若 $f$ 在 $[-\pi,\pi]$ 上是奇函数，则 $$a_n=0,\qquad b_n=\frac2\pi\int_0^\pi f(x)\sin nx,\mathrm dx,$$ 其傅里叶级数为正弦级数： $$f(x)\sim\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin nx.$$
  • 若 $f$ 是偶函数，则 $$b_n=0,\qquad a_n=\frac2\pi\int_0^\pi f(x)\cos nx,\mathrm dx,$$ 其傅里叶级数为余弦级数： $$f(x)\sim\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos nx.$$

13.4.2 半区间展开

设 $f$ 只定义在 $[0,\pi]$ 上。

  • 正弦级数展开：把 $f$ 奇延拓到 $[-\pi,\pi]$，即令 $F(x)=-f(-x)$（$-\pi<x<0$），则 $F$ 的傅里叶级数为正弦级数，其系数为 $$b_n=\frac2\pi\int_0^\pi f(x)\sin nx,\mathrm dx.$$
  • 余弦级数展开：把 $f$ 偶延拓到 $[-\pi,\pi]$，即令 $F(x)=f(-x)$（$-\pi<x<0$），则 $F$ 的傅里叶级数为余弦级数，其系数为 $$a_n=\frac2\pi\int_0^\pi f(x)\cos nx,\mathrm dx.$$
  • 对 $[0,l]$ 上的函数，可类似作奇延拓或偶延拓，得到周期 $2l$ 的正弦或余弦级数。
  • 半区间展开不唯一：同一个 $[0,\pi]$ 上的函数可以有不同的正弦级数和余弦级数，它们在 $[0,\pi]$ 上都收敛于 $f$（在连续点）。

13.5 傅里叶级数的性质

13.5.1 黎曼-勒贝格引理

若 $f$ 在 $[-\pi,\pi]$ 上可积，则 $$\lim_{n\to\infty}a_n=0,\qquad \lim_{n\to\infty}b_n=0.$$

  • 即傅里叶系数趋于 $0$。

13.5.2 贝塞尔不等式

若 $f$ 在 $[-\pi,\pi]$ 上可积且平方可积，则 $$\frac{a_0^2}2+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n^2+b_n^2\right) \le\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f^2(x),\mathrm dx.$$

  • 贝塞尔不等式说明傅里叶系数的平方和收敛。

13.5.3 帕塞瓦尔等式

若 $f$ 在 $[-\pi,\pi]$ 上平方可积，则 $$\frac{a_0^2}2+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n^2+b_n^2\right) =\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f^2(x),\mathrm dx.$$

  • 帕塞瓦尔等式说明三角函数系是完备正交系，常用于计算数项级数的和。
  • 对周期为 $2l$ 的情形， $$\frac{a_0^2}2+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n^2+b_n^2\right) =\frac1l\int_{-l}^lf^2(x),\mathrm dx.$$

13.5.4 逐项积分与逐项求导

  • 傅里叶级数在 $[-\pi,\pi]$ 上可以逐项积分（在一定条件下），且积分后的级数一致收敛。
  • 逐项求导要求原函数连续、导数分段光滑且傅里叶级数一致收敛等较强条件。
  • 计算时优先使用逐项积分，逐项求导需谨慎。

13.6 复数形式的傅里叶级数

设 $f$ 在 $[-\pi,\pi]$ 上可积，定义复傅里叶系数

$$c_n=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\mathrm e^{-\mathrm inx},\mathrm dx\quad(n\in\mathbb{Z}),$$

则复数形式的傅里叶级数为

$$f(x)\sim\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_n\mathrm e^{\mathrm inx}.$$

  • 与实系数关系： $$c_0=\frac{a_0}2,\qquad c_n=\frac{a_n-\mathrm ib_n}2,\qquad c_{-n}=\frac{a_n+\mathrm ib_n}2\quad(n\ge1).$$
  • 帕塞瓦尔等式变为 $$\sum_{n=-\infty}^{+\infty}|c_n|^2=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|f(x)|^2,\mathrm dx.$$
  • 对周期为 $2l$ 的情形， $$c_n=\frac1{2l}\int_{-l}^lf(x)\mathrm e^{-\mathrm i\frac{n\pi x}l},\mathrm dx.$$

13.7 典型例子

13.7.1 方波

设 $$f(x)=\begin{cases}-1,&-\pi<x<0,\1,&0<x<\pi.\end{cases}$$

则 $f$ 为奇函数，$a_n=0$， $$b_n=\frac2\pi\int_0^\pi\sin nx,\mathrm dx =\frac{2(1-(-1)^n)}{n\pi}.$$

于是 $$f(x)\sim\frac4\pi\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\sin(2k-1)x}{2k-1}.$$

方波的傅里叶级数部分和

  • 在 $x=0$ 处，级数收敛于 $\dfrac{f(0-)+f(0+)}2=0$。
  • 在 $x=\dfrac\pi2$ 处，由收敛定理得 $$1=\frac4\pi\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1},$$ 即 $$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}=\frac\pi4.$$

13.7.2 $f(x)=x$

在 $(-\pi,\pi)$ 上，$f$ 为奇函数， $$b_n=\frac2\pi\int_0^\pi x\sin nx,\mathrm dx=\frac{2(-1)^{n-1}}n.$$

故 $$x\sim2\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{\sin nx}{n}.$$

  • 在 $x=\pi$ 处，周期延拓后左右极限分别为 $\pi$ 与 $-\pi$，级数收敛于 $0$。

13.7.3 $f(x)=|x|$

$f$ 为偶函数，$b_n=0$， $$a_0=\frac2\pi\int_0^\pi x,\mathrm dx=\pi,$$ $$a_n=\frac2\pi\int_0^\pi x\cos nx,\mathrm dx =\frac{2\left[(-1)^n-1\right]}{n^2\pi}.$$

故 $$|x|\sim\frac\pi2-\frac4\pi\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\cos(2k-1)x}{(2k-1)^2}.$$

  • 在 $x=0$ 处， $$0=\frac\pi2-\frac4\pi\sum_{k=1}^{\infty}\frac1{(2k-1)^2},$$ 得 $$\sum_{k=1}^{\infty}\frac1{(2k-1)^2}=\frac{\pi^2}8.$$

13.7.4 $f(x)=x^2$

在 $(-\pi,\pi)$ 上，$f$ 为偶函数，$b_n=0$， $$a_0=\frac2\pi\int_0^\pi x^2,\mathrm dx=\frac{2\pi^2}3,$$ $$a_n=\frac2\pi\int_0^\pi x^2\cos nx,\mathrm dx=\frac{4(-1)^n}{n^2}.$$

故 $$x^2\sim\frac{\pi^2}3+4\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{\cos nx}{n^2}.$$

  • 在 $x=\pi$ 处， $$\pi^2=\frac{\pi^2}3+4\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^2},$$ 得 $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^2}=\frac{\pi^2}6.$$
  • 由帕塞瓦尔等式还可导出 $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^4}=\frac{\pi^4}{90}.$$

13.7.5 其他常用结果

  • $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}=\ln2$。
  • $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^2}=\frac{\pi^2}6$，$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{(2n-1)^2}=\frac{\pi^2}8$。
  • $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{2n-1}=\frac\pi4$。
  • $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^4}=\frac{\pi^4}{90}$。

练习

  1. 利用正交性计算 $$\int_{-\pi}^{\pi}\sin2x\sin3x,\mathrm dx,\qquad \int_{-\pi}^{\pi}\cos2x\cos2x,\mathrm dx.$$

  2. 求 $f(x)=x$（$-\pi<x<\pi$）的傅里叶级数。

  3. 求 $f(x)=|x|$（$-\pi<x<\pi$）的傅里叶级数。

  4. 求 $f(x)=x^2$（$-\pi<x<\pi$）的傅里叶级数。

  5. 将 $f(x)=1$（$0<x<\pi$）展开为正弦级数。

  6. 将 $f(x)=x$（$0<x<\pi$）展开为余弦级数。

  7. 利用 $x^2$ 的傅里叶级数在 $x=\pi$ 处的收敛性，求 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^2}$。

  8. 利用方波的傅里叶级数在 $x=\dfrac\pi2$ 处的收敛性，求 $\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}$。

  9. 设 $$f(x)=\begin{cases}-1,&-\pi<x<0,\1,&0<x<\pi.\end{cases}$$ 求其傅里叶级数在 $x=0$、$x=\pi$ 处的和。

  10. 求 $f(x)=x$（$-l<x<l$）的傅里叶级数。

  11. 利用 $f(x)=x$ 的傅里叶级数与帕塞瓦尔等式，求 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^2}$。

  12. 写出 $f(x)=x$（$-\pi<x<\pi$）的复数形式傅里叶级数。

检测题

  1. 求方波 $$f(x)=\begin{cases}-1,&-\pi<x<0,\1,&0<x<\pi\end{cases}$$ 的傅里叶级数，并说明在 $x=0$ 处的收敛值。

  2. 利用 $f(x)=x^2$ 的傅里叶级数求 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^2}$。

  3. 将 $f(x)=1$（$0<x<\pi$）展开为正弦级数，并利用 $x=\dfrac\pi2$ 处的值求 $\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}$。

  4. 将 $f(x)=x$（$0<x<\pi$）展开为余弦级数。

  5. 求 $f(x)=x+1$（$-\pi<x<\pi$）的傅里叶级数。

  6. 利用 $f(x)=x^2$ 的傅里叶级数与帕塞瓦尔等式，求 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^4}$。

  7. 求 $f(x)=|\sin x|$ 的傅里叶级数。

  8. 求 $f(x)=x$（$-\pi<x<\pi$）的复数形式傅里叶系数。

  9. 求 $f(x)=\pi-x$（$0<x<2\pi$）的傅里叶级数（周期 $2\pi$）。

  10. 讨论 $$f(x)=\operatorname{sgn}x=\begin{cases}-1,&x<0,\0,&x=0,\1,&x>0\end{cases}$$ 在 $[-\pi,\pi]$ 上的傅里叶级数在 $x=0$ 处的收敛值。

参考答案与提示

  1. 由正交性， $$\int_{-\pi}^{\pi}\sin2x\sin3x,\mathrm dx=0,\qquad \int_{-\pi}^{\pi}\cos^22x,\mathrm dx=\pi.$$
  2. $f$ 为奇函数，$a_n=0$， $$b_n=\frac2\pi\int_0^\pi x\sin nx,\mathrm dx=\frac{2(-1)^{n-1}}n,$$ 故 $$x\sim2\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{\sin nx}{n}.$$
  3. $f$ 为偶函数，$b_n=0$， $$a_0=\pi,\qquad a_n=\frac{2\left[(-1)^n-1\right]}{n^2\pi},$$ 故 $$|x|\sim\frac\pi2-\frac4\pi\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\cos(2k-1)x}{(2k-1)^2}.$$
  4. $f$ 为偶函数，$b_n=0$， $$a_0=\frac{2\pi^2}3,\qquad a_n=\frac{4(-1)^n}{n^2},$$ 故 $$x^2\sim\frac{\pi^2}3+4\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{\cos nx}{n^2}.$$
  5. 作奇延拓， $$b_n=\frac2\pi\int_0^\pi\sin nx,\mathrm dx =\frac{2(1-(-1)^n)}{n\pi},$$ 故 $$1\sim\frac4\pi\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\sin(2k-1)x}{2k-1},\qquad 0<x<\pi.$$
  6. 作偶延拓， $$a_0=\frac2\pi\int_0^\pi x,\mathrm dx=\pi,$$ $$a_n=\frac2\pi\int_0^\pi x\cos nx,\mathrm dx =\frac{2\left[(-1)^n-1\right]}{n^2\pi},$$ 故 $$x\sim\frac\pi2-\frac4\pi\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\cos(2k-1)x}{(2k-1)^2},\qquad 0<x<\pi.$$
  7. 在 $x=\pi$ 处， $$\pi^2=\frac{\pi^2}3+4\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^2},$$ 故 $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^2}=\frac{\pi^2}6.$$
  8. 在 $x=\dfrac\pi2$ 处，方波的值为 $1$， $$1=\frac4\pi\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\sin\left((2k-1)\frac\pi2\right)}{2k-1} =\frac4\pi\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1},$$ 故 $$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}=\frac\pi4.$$
  9. 在 $x=0$ 处，左右极限分别为 $-1$ 与 $1$，级数收敛于 $\dfrac{-1+1}2=0$。在 $x=\pi$ 处，按周期延拓，左右极限分别为 $1$ 与 $-1$，级数收敛于 $0$。
  10. 令 $t=\dfrac{\pi x}l$，化为 $[-\pi,\pi]$ 上的问题。$f$ 为奇函数， $$b_n=\frac1l\int_{-l}^lx\sin\frac{n\pi x}l,\mathrm dx =\frac{2l(-1)^{n-1}}{n\pi},$$ 故 $$x\sim\frac{2l}\pi\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}n\sin\frac{n\pi x}l.$$
  11. 由第 2 题，$a_0=0$，$a_n=0$，$b_n=\dfrac{2(-1)^{n-1}}n$。帕塞瓦尔等式给出 $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac4{n^2}=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}x^2,\mathrm dx=\frac{2\pi^2}3,$$ 故 $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^2}=\frac{\pi^2}6.$$
  12. 由 $b_n=\dfrac{2(-1)^{n-1}}n$，$a_n=0$，$a_0=0$， $$c_0=0,\qquad c_n=\frac{a_n-\mathrm ib_n}2=-\frac{\mathrm i(-1)^{n-1}}n,\qquad c_{-n}=\frac{\mathrm i(-1)^{n-1}}n\quad(n\ge1).$$ 故 $$x\sim\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\mathrm i(-1)^n}{n}\mathrm e^{\mathrm inx} +\sum_{n=1}^{\infty}\frac{-\mathrm i(-1)^n}{n}\mathrm e^{-\mathrm inx}.$$

检测题参考答案

  1. 方波为奇函数，$a_n=0$， $$b_n=\frac2\pi\int_0^\pi\sin nx,\mathrm dx =\frac{2(1-(-1)^n)}{n\pi}.$$ 故 $$f(x)\sim\frac4\pi\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\sin(2k-1)x}{2k-1}.$$ 在 $x=0$ 处，左右极限分别为 $-1$ 与 $1$，级数收敛于 $0$。
  2. $x^2\sim\dfrac{\pi^2}3+4\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\dfrac{\cos nx}{n^2}$。令 $x=\pi$，得 $$\pi^2=\frac{\pi^2}3+4\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^2},$$ 故 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^2}=\frac{\pi^2}6$。
  3. 正弦级数为 $$1\sim\frac4\pi\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\sin(2k-1)x}{2k-1}.$$ 令 $x=\dfrac\pi2$，得 $$1=\frac4\pi\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1},$$ 故 $\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}=\frac\pi4$。
  4. 余弦级数为 $$x\sim\frac\pi2-\frac4\pi\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\cos(2k-1)x}{(2k-1)^2},\qquad 0<x<\pi.$$
  5. 由 $x$ 的展开式与常数 $1$ 的展开式相加。常数 $1$ 的傅里叶级数为 $1$ 本身（$a_0=2$，其余系数为 $0$）。故 $$x+1\sim1+2\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{\sin nx}{n}.$$
  6. 对 $f(x)=x^2$，$a_0=\dfrac{2\pi^2}3$，$a_n=\dfrac{4(-1)^n}{n^2}$，$b_n=0$。由帕塞瓦尔等式， $$\frac{a_0^2}2+\sum_{n=1}^{\infty}a_n^2 =\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}x^4,\mathrm dx=\frac{2\pi^4}5.$$ 即 $$\frac{2\pi^4}9+16\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^4}=\frac{2\pi^4}5,$$ 故 $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^4}=\frac{\pi^4}{90}.$$
  7. $|\sin x|$ 是偶函数，周期为 $\pi$，在 $[-\pi,\pi]$ 上 $$|\sin x|=\frac2\pi-\frac4\pi\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\cos2kx}{4k^2-1}.$$ 计算要点：$b_n=0$，$a_0=\dfrac4\pi$，对 $n\ge1$， $$a_n=\frac2\pi\int_0^\pi\sin x\cos nx,\mathrm dx =\begin{cases}0,&n\text{ 为奇数},\[4pt] -\dfrac4{\pi(n^2-1)},&n\text{ 为偶数}. \end{cases}$$ 令 $n=2k$ 即得上述级数。
  8. $c_0=0$，且对 $n\ne0$， $$c_n=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x\mathrm e^{-\mathrm inx},\mathrm dx =\frac{\mathrm i(-1)^n}{n}.$$ 故 $$x\sim\sum_{n\ne0}\frac{\mathrm i(-1)^n}{n}\mathrm e^{\mathrm inx}.$$
  9. 在 $[0,2\pi]$ 上， $$a_0=\frac1\pi\int_0^{2\pi}(\pi-x),\mathrm dx=0,$$ $$a_n=\frac1\pi\int_0^{2\pi}(\pi-x)\cos nx,\mathrm dx=0,$$ $$b_n=\frac1\pi\int_0^{2\pi}(\pi-x)\sin nx,\mathrm dx=\frac2n.$$ 故 $$\pi-x\sim2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin nx}{n},\qquad 0<x<2\pi.$$
  10. $\operatorname{sgn}x$ 为奇函数，其傅里叶级数为 $$\operatorname{sgn}x\sim\frac4\pi\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\sin(2k-1)x}{2k-1}.$$ 在 $x=0$ 处，左右极限分别为 $-1$ 与 $1$，故级数收敛于 $$\frac{-1+1}2=0.$$