第 4 章 导数与微分

本章整理导数的定义、求导法则、高阶导数、微分以及隐函数、参数方程和极坐标曲线的求导方法。导数是研究函数变化率和局部线性化的基本工具。

4.1 导数的概念

4.1.1 导数的定义

设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某邻域内有定义。若极限 $$\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x} =\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$ 存在，则称 $f$ 在 $x_0$ 处可导，该极限称为 $f$ 在 $x_0$ 处的导数，记作 $$f'(x_0),\quad y'(x_0),\quad \left.\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\right|_{x=x_0}.$$

  • 导数是函数在 $x_0$ 处的瞬时变化率。
  • 几何意义：曲线 $y=f(x)$ 在点 $(x_0,f(x_0))$ 处切线的斜率。 $$k=f'(x_0).$$

导数是割线斜率的极限

  • 物理意义：若 $s=s(t)$ 是位移函数，则 $s'(t)$ 是瞬时速度；速度的导数是加速度。
  • 切线方程： $$y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0).$$
  • 法线方程（$f'(x_0)\ne0$）： $$y-f(x_0)=-\frac1{f'(x_0)}(x-x_0).$$

4.1.2 单侧导数

  • 左导数： $$f'-(x_0)=\lim{\Delta x\to0^-}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}.$$
  • 右导数： $$f'+(x_0)=\lim{\Delta x\to0^+}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}.$$
  • $f$ 在 $x_0$ 可导当且仅当 $f'-(x_0)=f'+(x_0)$。
  • 对分段函数在分界点处，必须用左右导数判断可导性。

4.1.3 可导与连续的关系

若 $f$ 在 $x_0$ 处可导，则 $f$ 在 $x_0$ 处连续。

证明： $$f(x)-f(x_0)=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}(x-x_0)\to f'(x_0)\cdot0=0\quad(x\to x_0).$$

  • 反之不成立：$f(x)=|x|$ 在 $x=0$ 处连续但不可导，因为左导数为 $-1$，右导数为 $1$。
  • 连续是可导的必要条件，不是充分条件。
  • 若 $f'(x_0)=\pm\infty$，也称曲线在该点有垂直切线，但函数在该点不可导。

4.1.4 导函数

  • 若 $f$ 在区间 $I$ 上每点可导，则 $f'(x)$ 也是 $I$ 上的函数，称为导函数。
  • 二阶导数记作 $f''(x)$ 或 $\dfrac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2}$。
  • 类似定义 $n$ 阶导数 $f^{(n)}(x)$，并约定 $f^{(0)}(x)=f(x)$。

4.2 求导法则

4.2.1 四则运算

设 $u(x),v(x)$ 可导，则：

  • $(u\pm v)'=u'\pm v'$。
  • $(uv)'=u'v+uv'$。
  • $\left(\dfrac uv\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$（$v\ne0$）。
  • $(Cu)'=Cu'$（$C$ 为常数）。

4.2.2 复合函数求导（链式法则）

若 $u=g(x)$ 在 $x$ 处可导，$y=f(u)$ 在 $u=g(x)$ 处可导，则 $y=f(g(x))$ 在 $x$ 处可导，且 $$\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=f'(g(x))g'(x).$$

  • 链式法则可推广到多层复合： $$\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\frac{\mathrm dy}{\mathrm du_1}\cdot\frac{\mathrm du_1}{\mathrm du_2}\cdots\frac{\mathrm du_{n-1}}{\mathrm dx}.$$

4.2.3 反函数求导

若 $f$ 在区间 $I$ 上严格单调且可导，$f'(x)\ne0$，则其反函数 $x=f^{-1}(y)$ 在对应点可导，且 $$\left(f^{-1}\right)'(y)=\frac1{f'(x)},\qquad x=f^{-1}(y).$$

  • 即 $\dfrac{\mathrm dx}{\mathrm dy}=\dfrac1{\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}}$。

4.2.4 基本导数公式

函数 导数 函数 导数
$C$ $0$ $x^\alpha$ $\alpha x^{\alpha-1}$
$a^x$ $a^x\ln a$ $\mathrm e^x$ $\mathrm e^x$
$\log_a x$ $\dfrac1{x\ln a}$ $\ln x$ $\dfrac1x$
$\sin x$ $\cos x$ $\cos x$ $-\sin x$
$\tan x$ $\sec^2x$ $\cot x$ $-\csc^2x$
$\sec x$ $\sec x\tan x$ $\csc x$ $-\csc x\cot x$
$\arcsin x$ $\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}$ $\arccos x$ $-\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}$
$\arctan x$ $\dfrac1{1+x^2}$ $\operatorname{arccot}x$ $-\dfrac1{1+x^2}$
$\sinh x$ $\cosh x$ $\cosh x$ $\sinh x$
$\tanh x$ $\operatorname{sech}^2x$ $\operatorname{arsinh}x$ $\dfrac1{\sqrt{1+x^2}}$
  • 对 $\ln|x|$（$x\ne0$），有 $\left(\ln|x|\right)'=\dfrac1x$。

4.3 高阶导数

4.3.1 定义

  • $f''(x)=(f'(x))'$，$f^{(n)}(x)=\left(f^{(n-1)}(x)\right)'$。
  • 若函数在区间上 $n$ 阶可导且 $n$ 阶导数连续，则称它 $n$ 阶连续可导，记作 $f\in C^n(I)$。

4.3.2 常用高阶导数

  • $\left(x^m\right)^{(n)}=m(m-1)\cdots(m-n+1)x^{m-n}$（$n\le m$）；当 $n>m$ 时为 $0$。
  • $\left(\mathrm e^{ax}\right)^{(n)}=a^n\mathrm e^{ax}$。
  • $\left(\sin x\right)^{(n)}=\sin\left(x+\dfrac{n\pi}2\right)$。
  • $\left(\cos x\right)^{(n)}=\cos\left(x+\dfrac{n\pi}2\right)$。
  • $\left(\ln(1+x)\right)^{(n)}=\dfrac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{(1+x)^n}$（$n\ge1$）。
  • $\left(\dfrac1{1-x}\right)^{(n)}=\dfrac{n!}{(1-x)^{n+1}}$。
  • $\left(\dfrac1{1+x}\right)^{(n)}=\dfrac{(-1)^nn!}{(1+x)^{n+1}}$。

4.3.3 莱布尼茨公式

若 $u,v$ 均 $n$ 阶可导，则 $$(uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^n\mathrm C_n^k u^{(k)}v^{(n-k)}.$$

  • 形式与二项式定理相同。常用情形：其中一个因子是多项式，高阶导数很快为零。

4.4 微分

4.4.1 微分的定义

设 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某邻域内有定义。若存在与 $\Delta x$ 无关的常数 $A$，使 $$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=A\Delta x+o(\Delta x)\quad(\Delta x\to0),$$ 则称 $f$ 在 $x_0$ 处可微，$A\Delta x$ 称为 $f$ 在 $x_0$ 处的微分，记作 $$\mathrm dy=A\Delta x.$$

  • $f$ 在 $x_0$ 处可微当且仅当 $f$ 在 $x_0$ 处可导，且 $A=f'(x_0)$。
  • 因此 $$\mathrm dy=f'(x_0)\Delta x=f'(x_0)\mathrm dx,$$ 其中约定 $\mathrm dx=\Delta x$。
  • 导数可写成 $\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}$，即微分之商。

4.4.2 微分的几何意义与近似

  • 微分 $\mathrm dy=f'(x_0)\mathrm dx$ 是曲线在 $x_0$ 处切线的增量。
  • 局部线性近似： $$f(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+f'(x_0)\Delta x,$$ 即 $$f(x)\approx f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0).$$
  • 常用近似（$|x|$ 很小）： $$\sin x\approx x,\qquad \tan x\approx x,\qquad \mathrm e^x\approx1+x,\qquad \ln(1+x)\approx x,$$ $$(1+x)^\alpha\approx1+\alpha x,\qquad \sqrt{1+x}\approx1+\frac x2.$$

4.4.3 微分形式不变性

  • 若 $y=f(u)$ 可微，$u=g(x)$ 可微，则 $$\mathrm dy=f'(u),\mathrm du,$$ 无论 $u$ 是自变量还是中间变量，一阶微分形式相同。
  • 高阶微分不具有形式不变性。

4.4.4 微分法则

  • $\mathrm d(u\pm v)=\mathrm du\pm\mathrm dv$。
  • $\mathrm d(uv)=u,\mathrm dv+v,\mathrm du$。
  • $\mathrm d\left(\dfrac uv\right)=\dfrac{v,\mathrm du-u,\mathrm dv}{v^2}$（$v\ne0$）。
  • $\mathrm d(f(u))=f'(u),\mathrm du$。

4.5 隐函数与参数方程求导

4.5.1 隐函数求导

  • 设 $F(x,y)=0$ 确定可导函数 $y=y(x)$。对等式两边关于 $x$ 求导，视 $y$ 为 $x$ 的函数，再解出 $y'$。
  • 求二阶导数时，对已得到的一阶导数关系式再求导一次，并将 $y'$ 的表达式代入。
  • 例：$x^2+y^2=1$，两边求导得 $2x+2yy'=0$，故 $y'=-\dfrac xy$；再求导得 $$y''=-\frac{y-xy'}{y^2}=-\frac{y+x^2/y}{y^2}=-\frac1{y^3}.$$

4.5.2 参数方程求导

设曲线由 $$\begin{cases}x=\varphi(t),\y=\psi(t)\end{cases}$$ 给出，$\varphi,\psi$ 可导且 $\varphi'(t)\ne0$，则 $$\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}.$$

二阶导数： $$\frac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2} =\frac{\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left(\dfrac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}\right)}{\varphi'(t)} =\frac{\psi''(t)\varphi'(t)-\psi'(t)\varphi''(t)}{\left[\varphi'(t)\right]^3}.$$

4.5.3 极坐标曲线求导

设曲线由 $r=r(\theta)$ 给出，则 $$x=r(\theta)\cos\theta,\qquad y=r(\theta)\sin\theta.$$

于是 $$\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx} =\frac{r'(\theta)\sin\theta+r(\theta)\cos\theta}{r'(\theta)\cos\theta-r(\theta)\sin\theta}.$$

  • 若曲线过极点，且 $r(\theta_0)=0$，则极点在曲线上的切线方向由 $\theta_0$ 决定。
  • 极坐标下曲线与射线围成的面积公式见第 8 章。

4.6 相关变化率

  • 若变量 $x,y$ 都依赖于时间 $t$，且满足某个方程 $F(x,y)=0$，则对 $t$ 求导可得 $\dfrac{\mathrm dx}{\mathrm dt}$ 与 $\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dt}$ 的关系。
  • 解题步骤：建立变量关系；对时间求导；代入已知变化率和瞬时值；解出未知变化率。

练习

  1. 用定义求下列函数在指定点处的导数： （1）$f(x)=x^2$ 在 $x=1$ 处； （2）$f(x)=\sqrt x$ 在 $x=4$ 处。

  2. 求下列函数的导数： （1）$y=x^3+2x^2-5x+1$； （2）$y=x^2\mathrm e^x$； （3）$y=\ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)$； （4）$y=\sin(2x+1)$； （5）$y=\arctan\dfrac1x$； （6）$y=(1+x^2)^{10}$。

  3. 求 $y=x^x$（$x>0$）的导数。

  4. 求 $y=\ln|x|$（$x\ne0$）的导数。

  5. 求下列函数的 $n$ 阶导数： （1）$y=\sin x$； （2）$y=x\mathrm e^x$； （3）$y=\dfrac1{1-x}$。

  6. 设 $x^2+y^2=1$，求 $y'$ 与 $y''$。

  7. 设 $$\begin{cases}x=t-\sin t,\y=1-\cos t,\end{cases}$$ 求 $\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}$ 与 $\dfrac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2}$。

  8. 设 $r=a(1+\cos\theta)$（$a>0$），求曲线在 $\theta=\dfrac\pi2$ 处的切线斜率。

  9. 用微分近似计算 $\sqrt{1.02}$，并估计误差。

  10. 证明 $\arcsin x+\arccos x=\dfrac\pi2$（$|x|<1$），并求其导数。

  11. 讨论下列函数在 $x=0$ 处的可导性： （1）$f(x)=|x|$； （2）$f(x)=x|x|$。

  12. 设 $$f(x)=\begin{cases}\mathrm e^{2x},&x\le0,\ax+b,&x>0.\end{cases}$$ 若 $f$ 在 $x=0$ 处可导，求 $a,b$。

检测题

  1. 用定义求 $f(x)=\dfrac1x$ 在 $x=2$ 处的导数。

  2. 求下列函数的导数： （1）$y=\dfrac{x}{\ln x}$； （2）$y=\mathrm e^{\sin^2x}$； （3）$y=\ln(\cos x)$； （4）$y=\sqrt{x^2+1}$； （5）$y=\tan(x^2+1)$。

  3. 求 $y=(\sin x)^x$（$0<x<\pi$）的导数。

  4. 设 $\mathrm e^y+xy=\mathrm e$，求曲线在点 $(0,1)$ 处的切线斜率。

  5. 设 $$\begin{cases}x=a\cos t,\y=b\sin t,\end{cases}$$ 求 $\dfrac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2}$。

  6. 求 $y=\ln(1+x)$ 的 $n$ 阶导数。

  7. 用微分近似计算 $\ln1.01$。

  8. 证明 $$f(x)=\begin{cases}x^2\sin\dfrac1x,&x\ne0,\0,&x=0\end{cases}$$ 在 $x=0$ 处可导，但 $f'(x)$ 在 $x=0$ 处不连续。

  9. 设 $$f(x)=\begin{cases}\mathrm e^{2x},&x\le0,\ax+b,&x>0.\end{cases}$$ 若 $f$ 在 $x=0$ 处可导，求 $a,b$，并写出该点处的切线方程。

  10. 证明：若 $f$ 在 $x_0$ 处可导，则 $f$ 在 $x_0$ 处连续；并举例说明反之不成立。

参考答案与提示

  1. （1） $$f'(1)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{(1+\Delta x)^2-1}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}(2+\Delta x)=2.$$ （2） $$f'(4)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\sqrt{4+\Delta x}-2}{\Delta x} =\lim_{\Delta x\to0}\frac1{\sqrt{4+\Delta x}+2}=\frac14.$$
  2. （1）$y'=3x^2+4x-5$； （2）$y'=2x\mathrm e^x+x^2\mathrm e^x=x(x+2)\mathrm e^x$； （3）$y'=\dfrac1{\sqrt{1+x^2}}$； （4）$y'=2\cos(2x+1)$； （5）$y'=-\dfrac1{1+x^2}$（分 $x>0$、$x<0$ 分别求导，结果相同）； （6）$y'=20x(1+x^2)^9$。
  3. $y=x^x=\mathrm e^{x\ln x}$，所以 $$y'=\mathrm e^{x\ln x}(\ln x+1)=x^x(\ln x+1).$$
  4. 当 $x>0$ 时，$y'=\dfrac1x$；当 $x<0$ 时，$y=\ln(-x)$，$y'=\dfrac1{-x}\cdot(-1)=\dfrac1x$。故 $y'=\dfrac1x$（$x\ne0$）。
  5. （1）$y^{(n)}=\sin\left(x+\dfrac{n\pi}2\right)$； （2）$y'=\mathrm e^x+x\mathrm e^x=(x+1)\mathrm e^x$，$y^{(n)}=(x+n)\mathrm e^x$； （3）$y^{(n)}=\dfrac{n!}{(1-x)^{n+1}}$。
  6. 两边求导得 $2x+2yy'=0$，故 $y'=-\dfrac xy$。再求导： $$y''=-\frac{y-xy'}{y^2} =-\frac{y+x^2/y}{y^2}=-\frac{y^2+x^2}{y^3}=-\frac1{y^3}.$$
  7. $\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\dfrac{\sin t}{1-\cos t}$； $$\frac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2} =\frac{\cos t(1-\cos t)-\sin t\sin t}{(1-\cos t)^3} =\frac{\cos t-1}{(1-\cos t)^3}=-\frac1{(1-\cos t)^2}.$$
  8. 在 $\theta=\dfrac\pi2$ 处，$r=a$，$r'=-a\sin\theta=-a$。由极坐标求导公式， $$\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx} =\frac{r'\sin\theta+r\cos\theta}{r'\cos\theta-r\sin\theta} =\frac{(-a)\cdot1+a\cdot0}{(-a)\cdot0-a\cdot1}=1.$$
  9. 取 $f(x)=\sqrt x$，$x_0=1$，$\Delta x=0.02$，$f'(1)=\dfrac12$。于是 $$\sqrt{1.02}\approx1+\frac12\cdot0.02=1.01.$$ 误差量级为 $o(\Delta x)=\dfrac18(0.02)^2=5\times10^{-5}$。
  10. 令 $f(x)=\arcsin x+\arccos x$，则 $$f'(x)=\frac1{\sqrt{1-x^2}}-\frac1{\sqrt{1-x^2}}=0,$$ 故 $f$ 为常数。由 $f(0)=\dfrac\pi2$，得 $f(x)=\dfrac\pi2$。其导数为 $0$。
  11. （1）左导数为 $-1$，右导数为 $1$，不可导。（2）$f(x)=x|x|$，$\dfrac{f(x)-f(0)}x=|x|\to0$，故 $f'(0)=0$，可导。
  12. 连续性要求 $\lim\limits_{x\to0^-}f(x)=1=\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=b$，故 $b=1$。可导性要求左右导数相等：$f'-(0)=2$，$f'+(0)=a$，故 $a=2$。

检测题参考答案

$$f'(2)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\frac1{2+\Delta x}-\frac12}{\Delta x} =\lim_{\Delta x\to0}\frac{-1}{2(2+\Delta x)}=-\frac14.$$ 2. （1）$y'=\dfrac{\ln x-1}{(\ln x)^2}$； （2）$y'=\mathrm e^{\sin^2x}\cdot2\sin x\cos x=\mathrm e^{\sin^2x}\sin2x$； （3）$y'=-\tan x$； （4）$y'=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}$； （5）$y'=2x\sec^2(x^2+1)$。 3. $y=(\sin x)^x=\mathrm e^{x\ln\sin x}$，所以 $$y'=(\sin x)^x\left(\ln\sin x+x\cot x\right).$$ 4. 两边对 $x$ 求导： $$\mathrm e^y y'+y+xy'=0.$$ 在 $(0,1)$ 处，$y=1$，代入得 $\mathrm e y'+1=0$，故 $y'=-\dfrac1{\mathrm e}$，即切线斜率为 $-\dfrac1{\mathrm e}$。 5. $\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\dfrac{b\cos t}{-a\sin t}=-\dfrac ba\cot t$。再对 $x$ 求导： $$\frac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2} =\frac{\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left(-\frac ba\cot t\right)}{-a\sin t} =\frac{\frac ba\csc^2t}{-a\sin t}=-\frac b{a^2\sin^3t}.$$ 6. $y'=\dfrac1{1+x}$，$y''=-\dfrac1{(1+x)^2}$，一般地 $$y^{(n)}=\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{(1+x)^n}\quad(n\ge1).$$ 7. 取 $f(x)=\ln x$，$x_0=1$，$\Delta x=0.01$，$f'(1)=1$，故 $$\ln1.01\approx0+1\cdot0.01=0.01.$$ 8. 在 $x=0$ 处， $$f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{x^2\sin(1/x)-0}{x}=\lim_{x\to0}x\sin\frac1x=0.$$ 当 $x\ne0$ 时， $$f'(x)=2x\sin\frac1x-\cos\frac1x.$$ 当 $x\to0$ 时，$2x\sin\dfrac1x\to0$，而 $\cos\dfrac1x$ 不收敛，故 $f'(x)$ 在 $0$ 处不连续。 9. 连续性给出 $b=1$；可导性给出左导数 $2$、右导数 $a$ 相等，故 $a=2$。切线斜率为 $2$，切点为 $(0,1)$，切线方程为 $$y-1=2x,\quad\text{即}\quad y=2x+1.$$ 10. 由 $$f(x)-f(x_0)=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}(x-x_0)\to f'(x_0)\cdot0=0,$$ 得 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$，故连续。反之不成立：$f(x)=|x|$ 在 $0$ 处连续，但左右导数分别为 $-1$ 和 $1$，不可导。