第 5 章微分中值定理与导数应用

本章把费马定理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、洛必达法则、泰勒公式以及导数在研究函数中的应用合并在一起。中值定理是连接函数值与导数值的桥梁，是微分学的核心。

5.1 费马定理

5.1.1 极值的定义

设 $f$ 在 $x_0$ 的某邻域内有定义。若对该邻域内一切 $x$，都有 $$f(x)\le f(x_0),$$ 则称 $f$ 在 $x_0$ 处取得极大值，$x_0$ 叫极大值点；若都有 $f(x)\ge f(x_0)$，则称 $f$ 在 $x_0$ 处取得极小值，$x_0$ 叫极小值点。极大值和极小值统称极值。

极值是局部概念，最值是整体概念。
极值点必须是定义域的内点（或至少是双侧邻域内的点）。

5.1.2 费马定理

若 $f$ 在 $x_0$ 处可导，且 $x_0$ 是 $f$ 的极值点，则 $$f'(x_0)=0.$$

证明思路：不妨设 $x_0$ 为极大值点。当 $\Delta x>0$ 时，$\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\le0$；当 $\Delta x<0$ 时，该差商 $\ge0$。由可导性，左右极限相等，故 $f'(x_0)=0$。

使 $f'(x)=0$ 的点叫驻点。
极值点必是驻点或不可导点；反之，驻点不一定是极值点，例如 $f(x)=x^3$ 在 $0$ 处。
费马定理只是极值的必要条件，不是充分条件。

5.2 微分中值定理

5.2.1 罗尔定理

设 $f$ 满足：（1）在闭区间 $[a,b]$ 上连续；（2）在开区间 $(a,b)$ 内可导；（3）$f(a)=f(b)$，则存在 $\xi\in(a,b)$，使 $$f'(\xi)=0.$$

几何意义：在两端函数值相等的条件下，曲线上至少有一点的切线水平。
三个条件缺一不可。例如 $f(x)=x$ 在 $[0,1]$ 上不满足 $f(0)=f(1)$；$f(x)=|x|$ 在 $[-1,1]$ 上不满足可导性。

5.2.2 拉格朗日中值定理

设 $f$ 满足：（1）在 $[a,b]$ 上连续；（2）在 $(a,b)$ 内可导，则存在 $\xi\in(a,b)$，使 $$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a),$$ 即 $$f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

几何意义：曲线上至少有一点的切线平行于连接两端点的弦。

拉格朗日中值定理

罗尔定理是拉格朗日定理在 $f(a)=f(b)$ 时的特例。
有限增量公式： $$f(x+\Delta x)-f(x)=f'(\xi)\Delta x,\qquad \xi\text{ 介于 }x\text{ 与 }x+\Delta x\text{ 之间}.$$

常用推论：

若 $f$ 在区间 $I$ 上可导且 $f'(x)\equiv0$，则 $f$ 在 $I$ 上为常数。
若 $f,g$ 在 $I$ 上可导且 $f'(x)=g'(x)$，则 $f(x)=g(x)+C$。
若 $f$ 在 $I$ 上可导且 $f'(x)\ge0$，则 $f$ 在 $I$ 上单调递增；若 $f'(x)\le0$，则单调递减。
若存在 $M>0$，使 $|f'(x)|\le M$，则 $f$ 在 $I$ 上满足利普希茨条件 $$|f(x)-f(y)|\le M|x-y|.$$

5.2.3 柯西中值定理

设 $f,g$ 满足：（1）在 $[a,b]$ 上连续；（2）在 $(a,b)$ 内可导；（3）$g'(x)\ne0$（$x\in(a,b)$），则存在 $\xi\in(a,b)$，使 $$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}.$$

拉格朗日定理是 $g(x)=x$ 时的特例。
柯西定理是洛必达法则的理论基础。

5.2.4 达布定理

若 $f$ 在 $[a,b]$ 上可导，则 $f'$ 在 $[a,b]$ 上具有介值性：对介于 $f'(a)$ 与 $f'(b)$ 之间的任意实数 $k$，存在 $\xi\in(a,b)$，使 $f'(\xi)=k$。

注意：导函数不一定连续，但具有介值性。因此导函数不存在第一类间断点。

5.3 洛必达法则

5.3.1 $\dfrac00$ 型

设 $f,g$ 在 $x_0$ 的某去心邻域内可导，$g'(x)\ne0$，且 $$\lim_{x\to x_0}f(x)=\lim_{x\to x_0}g(x)=0.$$ 若 $$\lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}=l\quad(\text{或 }\pm\infty),$$ 则 $$\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=l.$$

5.3.2 $\dfrac\infty\infty$ 型

在相应的去心邻域内 $g'(x)\ne0$，$\lim\limits_{x\to x_0}|g(x)|=+\infty$。若 $\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=l$（或 $\pm\infty$），则 $$\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=l.$$

上述法则对 $x\to x_0^\pm$、$x\to\pm\infty$ 同样成立。
使用前必须验证类型；每用一次都要重新检查是否仍为未定式。
若 $\lim\dfrac{f'}{g'}$ 不存在（且不是无穷），不能断定原极限不存在，应改用其他方法。例如 $$\lim_{x\to\infty}\frac{x+\sin x}{x}=1,$$ 但 $\dfrac{(x+\sin x)'}{x'}=1+\cos x$ 的极限不存在。
洛必达法则常与等价无穷小、泰勒公式结合使用。
其他未定式 $0\cdot\infty$、$\infty-\infty$、$1^\infty$、$0^0$、$\infty^0$ 可通过变形化为 $\dfrac00$ 或 $\dfrac\infty\infty$ 型。

5.4 泰勒公式

5.4.1 带佩亚诺余项的泰勒公式

设 $f$ 在 $x_0$ 的某邻域内有 $n$ 阶导数，则 $$f(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+o\left((x-x_0)^n\right)\quad(x\to x_0).$$

佩亚诺余项只给出局部逼近的阶，适用于求极限和判断无穷小阶。
当 $x_0=0$ 时，称为麦克劳林公式。

5.4.2 带拉格朗日余项的泰勒公式

设 $f$ 在包含 $x_0$ 的区间上有 $n+1$ 阶导数，则对区间内任意 $x$，存在 $\xi$ 介于 $x_0$ 与 $x$ 之间，使 $$f(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k +\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}.$$

拉格朗日余项可用于估计误差和证明不等式。

5.4.3 常用麦克劳林展开

$\mathrm e^x=1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\cdots+\dfrac{x^n}{n!}+o(x^n)$。
$\sin x=x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\cdots+(-1)^{n-1}\dfrac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}+o(x^{2n})$。
$\cos x=1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\cdots+(-1)^n\dfrac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n+1})$。
$\ln(1+x)=x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\cdots+(-1)^{n-1}\dfrac{x^n}{n}+o(x^n)$（$|x|<1$）。
$(1+x)^\alpha=1+\alpha x+\dfrac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\cdots+\dfrac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n+o(x^n)$。
$\dfrac1{1-x}=1+x+x^2+\cdots+x^n+o(x^n)$。
$\tan x=x+\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{2x^5}{15}+o(x^5)$。
$\arcsin x=x+\dfrac{x^3}{6}+\dfrac{3x^5}{40}+o(x^5)$。
$\arctan x=x-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^5}{5}+o(x^5)$。

泰勒多项式逼近 sin x

5.4.4 泰勒公式的应用

求极限：将各函数展开到适当阶数，消去低阶项。
近似计算：用多项式逼近函数，并用余项估计误差。
证明不等式：利用余项的符号判断函数与多项式的大小关系。
判断极值：若 $f'(x_0)=\cdots=f^{(n-1)}(x_0)=0$，$f^{(n)}(x_0)\ne0$，则 $n$ 为偶数时 $x_0$ 是极值点（$f^{(n)}(x_0)>0$ 为极小，$<0$ 为极大）；$n$ 为奇数时不是极值点。

5.5 单调性与极值

5.5.1 单调性判别

设 $f$ 在区间 $I$ 上可导。

若 $f'(x)>0$（$x\in I$），则 $f$ 在 $I$ 上严格单调递增。

若 $f'(x)<0$（$x\in I$），则 $f$ 在 $I$ 上严格单调递减。

若 $f'(x)\ge0$ 且 $f'$ 不在任何子区间上恒为零，则 $f$ 严格单调递增。

求单调区间的步骤：求定义域；求 $f'(x)$；解 $f'(x)=0$ 及 $f'$ 不存在的点；用这些点划分区间，判断 $f'$ 的符号。

5.5.2 极值判别法

第一充分条件：设 $f$ 在 $x_0$ 连续，在去心邻域内可导。
- 若 $x<x_0$ 时 $f'(x)>0$，$x>x_0$ 时 $f'(x)<0$，则 $x_0$ 为极大值点。
- 若 $x<x_0$ 时 $f'(x)<0$，$x>x_0$ 时 $f'(x)>0$，则 $x_0$ 为极小值点。
- 若 $f'$ 在 $x_0$ 两侧不变号，则 $x_0$ 不是极值点。
第二充分条件：设 $f'(x_0)=0$，$f''(x_0)$ 存在。
- 若 $f''(x_0)<0$，则 $x_0$ 为极大值点。
- 若 $f''(x_0)>0$，则 $x_0$ 为极小值点。
- 若 $f''(x_0)=0$，判别法失效，需用第一充分条件或更高阶导数。

5.5.3 闭区间上的最值

求 $f$ 在 $[a,b]$ 上的最大值和最小值：

求 $f$ 在 $(a,b)$ 内的驻点和不可导点；
计算这些点及端点 $a,b$ 处的函数值；
比较大小，最大者为最大值，最小者为最小值。

若 $f$ 在区间内只有一个极值点，且为极大（小）值，则它也是该区间上的最大（小）值。
实际问题中，若由题意知最值存在且驻点唯一，则该驻点即为最值点。

5.6 凹凸性与拐点

5.6.1 凹凸性的定义

设 $f$ 在区间 $I$ 上连续。若对任意 $x_1,x_2\in I$ 及 $t\in[0,1]$，都有 $$f(tx_1+(1-t)x_2)\le tf(x_1)+(1-t)f(x_2),$$ 则称 $f$ 在 $I$ 上是凸函数（下凸）；若不等号反向，则称 $f$ 是凹函数（上凸）。

几何意义：凸函数的图像位于其任意两点连线的下方；凹函数的图像位于连线的上方。
若 $f$ 可导，则凸函数的图像位于任意切线的上方；凹函数的图像位于任意切线的下方。
国内部分教材把“凸”与“凹”的称呼对调，阅读时以定义为准。

5.6.2 凹凸性判别

设 $f$ 在区间 $I$ 上二阶可导。

若 $f''(x)>0$（$x\in I$），则 $f$ 在 $I$ 上是凸函数。

若 $f''(x)<0$（$x\in I$），则 $f$ 在 $I$ 上是凹函数。

拐点：连续曲线上凹凸性发生改变的点。
拐点的必要条件：若 $f$ 在 $x_0$ 处二阶可导且 $x_0$ 为拐点，则 $f''(x_0)=0$；但 $f''(x_0)=0$ 不一定是拐点，例如 $f(x)=x^4$ 在 $0$ 处。
若 $f''$ 在 $x_0$ 两侧异号，则 $x_0$ 是拐点。

5.6.3 琴生不等式

若 $f$ 是区间 $I$ 上的凸函数，则对 $x_i\in I$ 及 $\lambda_i>0$，$\sum\lambda_i=1$，有 $$f\left(\sum_{i=1}^n\lambda_ix_i\right)\le\sum_{i=1}^n\lambda_if(x_i).$$

取 $\lambda_i=\dfrac1n$，得 $$f\left(\frac{x_1+\cdots+x_n}{n}\right)\le\frac{f(x_1)+\cdots+f(x_n)}n.$$
由此可导出平均值不等式等。

5.7 渐近线

垂直渐近线：若 $\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)=\pm\infty$ 或 $\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)=\pm\infty$，则 $x=x_0$ 是垂直渐近线。
水平渐近线：若 $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=b$ 或 $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=b$，则 $y=b$ 是水平渐近线。
斜渐近线：若 $$a=\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}x\ne0,\qquad b=\lim_{x\to+\infty}\left[f(x)-ax\right],$$ 则 $y=ax+b$ 是当 $x\to+\infty$ 时的斜渐近线；$x\to-\infty$ 类似。
有理函数 $f(x)=\dfrac{P(x)}{Q(x)}$：分母零点处可能有垂直渐近线；分子次数比分母大 $1$ 时有斜渐近线；次数相等时有水平渐近线。

5.8 函数作图

确定定义域、奇偶性、周期性。
求 $f'(x)$、$f''(x)$，解出驻点、不可导点和 $f''=0$ 的点。
列表判断单调性、极值、凹凸性、拐点。
求渐近线。
计算若干关键点的函数值。
描点连线，画出图像。

5.9 不等式与方程根

5.9.1 证明不等式

常用方法：

单调性法：构造辅助函数 $F(x)=f(x)-g(x)$，证明 $F$ 单调且端点值满足所需不等式。
最值法：证明 $F$ 的最小值 $\ge0$ 或最大值 $\le0$。
中值定理法：利用拉格朗日或柯西定理，把函数差转化为导数表达式。
泰勒公式法：利用余项符号判断。
凹凸性法：利用琴生不等式或切线位置。

5.9.2 讨论方程根

构造 $f(x)$，确定定义域。
求 $f'(x)$，确定单调区间和极值。
考察区间端点和无穷远处的函数值或极限。
结合介值定理判断每个单调区间内根的个数。
若需证明根的唯一性，利用严格单调性。

练习

验证罗尔定理对 $f(x)=x^2-2x$ 在 $[0,2]$ 上的正确性，并求出定理中的 $\xi$。
验证拉格朗日中值定理对 $f(x)=\ln x$ 在 $[1,\mathrm e]$ 上的正确性，并求出 $\xi$。
用拉格朗日中值定理证明：对任意 $x,y\in\mathbb{R}$， $$|\arctan x-\arctan y|\le|x-y|.$$
证明：当 $x>0$ 时， $$\frac{x}{1+x}<\ln(1+x)<x.$$
求下列极限：（1）$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\mathrm e^x-1-x}{x^2}$；（2）$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{x-\sin x}{x^3}$；（3）$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\ln(1+x)-x}{x^2}$；（4）$\lim\limits_{x\to+\infty}x^n\mathrm e^{-x}$（$n\in\mathbb{N}^*$）；（5）$\lim\limits_{x\to0^+}x\ln x$。
求 $f(x)=\mathrm e^x\sin x$ 的麦克劳林展开式到 $x^4$ 项（带佩亚诺余项）。
求 $f(x)=x^3-3x^2+1$ 的单调区间、极值。
求 $f(x)=x^3-3x^2+1$ 的凹凸区间和拐点。
求曲线 $y=\dfrac{x^2+1}{x-1}$ 的渐近线。
用泰勒公式求 $$\lim_{x\to0}\frac{\mathrm e^x-1-x-\frac{x^2}2}{x^3}.$$
证明：当 $x\ge0$ 时， $$\mathrm e^x\ge1+x+\frac{x^2}2.$$
讨论方程 $x^3-3x+1=0$ 的实根个数。

检测题

验证罗尔定理对 $f(x)=x(x-1)(x-2)$ 在 $[0,2]$ 上的正确性。
用拉格朗日中值定理证明：当 $0<a<b$ 时， $$\frac{b-a}{b}<\ln\frac ba<\frac{b-a}{a}.$$
求下列极限：（1）$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\tan x-x}{x^3}$；（2）$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{1-\cos x}{x\sin x}$；（3）$\lim\limits_{x\to0^+}(\sin x)^x$；（4）$\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\mathrm e^x-\mathrm e^{-x}-2x}{x^3}$。
写出 $\ln(1+x)$ 的麦克劳林公式到 $x^4$ 项，并估计 $\ln1.1$ 的近似值。
求 $f(x)=\dfrac{x}{1+x^2}$ 的单调区间和极值。
求 $f(x)=\mathrm e^{-x^2}$ 的凹凸区间和拐点。
求曲线 $y=\dfrac{x^2}{x+1}$ 的渐近线。
用泰勒公式求 $$\lim_{x\to0}\frac{\arcsin x-x}{x^3}.$$
证明：当 $x>0$ 时， $$x-\frac{x^2}2<\ln(1+x)<x.$$
讨论方程 $x^3-3x^2+1=0$ 的实根个数。

参考答案与提示

$f$ 在 $[0,2]$ 上连续、在 $(0,2)$ 内可导，且 $f(0)=f(2)=0$。$f'(x)=2x-2=0$，得 $\xi=1\in(0,2)$。
$\dfrac{f(\mathrm e)-f(1)}{\mathrm e-1}=\dfrac1{\mathrm e-1}$。由 $f'(\xi)=\dfrac1\xi$，得 $\xi=\mathrm e-1\in(1,\mathrm e)$。
由拉格朗日中值定理，存在 $\xi$ 介于 $x,y$ 之间，使 $$\arctan x-\arctan y=\frac1{1+\xi^2}(x-y),$$ 故 $|\arctan x-\arctan y|\le|x-y|$。
对 $f(t)=\ln(1+t)$ 在 $[0,x]$ 上用拉格朗日中值定理，存在 $\xi\in(0,x)$，使 $$\ln(1+x)=\frac{x}{1+\xi}.$$ 由于 $0<\xi<x$，所以 $\dfrac1{1+x}<\dfrac1{1+\xi}<1$，从而 $$\frac{x}{1+x}<\ln(1+x)<x.$$
（1）洛必达两次：$\dfrac{\mathrm e^x-1}{2x}\to\dfrac12$；（2）洛必达三次或展开：$\sin x=x-\dfrac{x^3}6+o(x^3)$，极限为 $\dfrac16$；（3）展开：$\ln(1+x)=x-\dfrac{x^2}2+o(x^2)$，极限为 $-\dfrac12$；（4）反复使用洛必达 $n$ 次，或利用 $\dfrac{x^n}{\mathrm e^x}\to0$，极限为 $0$；（5）$\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{\ln x}{1/x}$，用洛必达得 $\lim\limits_{x\to0^+}(-x)=0$。
$\mathrm e^x=1+x+\dfrac{x^2}2+\dfrac{x^3}6+\dfrac{x^4}{24}+o(x^4)$，$\sin x=x-\dfrac{x^3}6+o(x^4)$。相乘得 $$\mathrm e^x\sin x=x+x^2+\frac{x^3}3+o(x^4).$$
$f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$。$f$ 在 $(-\infty,0)$ 与 $(2,+\infty)$ 上单调递增，在 $(0,2)$ 上单调递减。极大值 $f(0)=1$，极小值 $f(2)=-3$。
$f''(x)=6x-6=6(x-1)$。在 $(-\infty,1)$ 上 $f''<0$，为凹（上凸）；在 $(1,+\infty)$ 上 $f''>0$，为凸（下凸）。拐点为 $(1,-1)$。
作除法： $$f(x)=x+1+\frac2{x-1}.$$ 垂直渐近线 $x=1$；斜渐近线 $y=x+1$；无水平渐近线。
$\mathrm e^x=1+x+\dfrac{x^2}2+\dfrac{x^3}6+o(x^3)$，故分子为 $\dfrac{x^3}6+o(x^3)$，极限为 $\dfrac16$。
令 $f(x)=\mathrm e^x-1-x-\dfrac{x^2}2$，则 $f(0)=0$，$f'(x)=\mathrm e^x-1-x$，$f'(0)=0$，$f''(x)=\mathrm e^x-1\ge0$（$x\ge0$）。故 $f'$ 单调递增，$f'(x)\ge0$，$f$ 单调递增，$f(x)\ge f(0)=0$。
$f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$。$f$ 在 $(-\infty,-1)$ 与 $(1,+\infty)$ 上递增，在 $(-1,1)$ 上递减。极大值 $f(-1)=3>0$，极小值 $f(1)=-1<0$。又 $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$，$\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$，故在 $(-\infty,-1)$、$(-1,1)$、$(1,+\infty)$ 内各有一个实根，共 $3$ 个。

检测题参考答案

$f$ 在 $[0,2]$ 上连续、在 $(0,2)$ 内可导，$f(0)=f(2)=0$。$f'(x)=3x^2-6x+2=0$，解得 $$x=1\pm\frac1{\sqrt3},$$ 两者都在 $(0,2)$ 内，均可作为定理中的 $\xi$。
对 $f(t)=\ln t$ 在 $[a,b]$ 上用拉格朗日中值定理，存在 $\xi\in(a,b)$，使 $$\ln b-\ln a=\frac{b-a}{\xi}.$$ 由 $a<\xi<b$ 得 $$\frac{b-a}{b}<\frac{b-a}{\xi}<\frac{b-a}{a},$$ 即所证不等式。
（1）$\tan x=x+\dfrac{x^3}3+o(x^3)$，极限为 $\dfrac13$；（2）$1-\cos x\sim\dfrac{x^2}2$，$x\sin x\sim x^2$，极限为 $\dfrac12$；（3）取对数：$x\ln\sin x\to0$，故原极限为 $1$；（4）展开：$\mathrm e^x-\mathrm e^{-x}=2x+\dfrac{x^3}3+o(x^3)$，极限为 $\dfrac13$。
$$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}2+\frac{x^3}3-\frac{x^4}4+o(x^4).$$ 取 $x=0.1$，得 $$\ln1.1\approx0.1-0.005+0.000333-0.000025=0.095308.$$
$f'(x)=\dfrac{1-x^2}{(1+x^2)^2}$。$f$ 在 $(-\infty,-1)$ 与 $(1,+\infty)$ 上递减，在 $(-1,1)$ 上递增。极小值 $f(-1)=-\dfrac12$，极大值 $f(1)=\dfrac12$。
$f'(x)=-2x\mathrm e^{-x^2}$，$f''(x)=(4x^2-2)\mathrm e^{-x^2}=2(2x^2-1)\mathrm e^{-x^2}$。当 $|x|<\dfrac1{\sqrt2}$ 时 $f''<0$，为凹；当 $|x|>\dfrac1{\sqrt2}$ 时 $f''>0$，为凸。拐点为 $\left(\pm\dfrac1{\sqrt2},\mathrm e^{-1/2}\right)$。
作除法： $$f(x)=x-1+\frac1{x+1}.$$ 垂直渐近线 $x=-1$；斜渐近线 $y=x-1$。
$\arcsin x=x+\dfrac{x^3}6+o(x^3)$，故极限为 $\dfrac16$。
上界由练习第 4 题得 $\ln(1+x)<x$。下界：令 $g(x)=\ln(1+x)-x+\dfrac{x^2}2$，则 $$g'(x)=\frac1{1+x}-1+x=\frac{x^2}{1+x}>0\quad(x>0),$$ 且 $g(0)=0$，故 $g(x)>0$，即 $\ln(1+x)>x-\dfrac{x^2}2$。
$f(x)=x^3-3x^2+1$，$f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$。$f$ 在 $(-\infty,0)$ 与 $(2,+\infty)$ 上递增，在 $(0,2)$ 上递减。极大值 $f(0)=1>0$，极小值 $f(2)=-3<0$。又 $f(-\infty)=-\infty$，$f(+\infty)=+\infty$，故在 $(-\infty,0)$、$(0,2)$、$(2,+\infty)$ 内各有一个实根，共 $3$ 个。

第05章-微分中值定理与导数应用

第 5 章 微分中值定理与导数应用