第 9 章反常积分

本章整理无穷限反常积分、无界函数反常积分的定义、性质、判别法与计算。反常积分把定积分推广到无限区间或无界函数的情形，是级数理论的重要参照。

9.1 无穷限反常积分

9.1.1 定义

设 $f$ 在 $[a,+\infty)$ 上每有限区间上可积。若极限 $$\lim_{b\to+\infty}\int_a^b f(x),\mathrm dx$$ 存在（有限），则称反常积分 $\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x),\mathrm dx$ 收敛，并定义 $$\int_a^{+\infty}f(x),\mathrm dx=\lim_{b\to+\infty}\int_a^b f(x),\mathrm dx.$$ 若极限不存在，则称该反常积分发散。

类似定义 $$\int_{-\infty}^b f(x),\mathrm dx=\lim_{a\to-\infty}\int_a^b f(x),\mathrm dx.$$
对 $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f(x),\mathrm dx$，定义为 $$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x),\mathrm dx =\int_{-\infty}^c f(x),\mathrm dx+\int_c^{+\infty}f(x),\mathrm dx,$$ 其中 $c$ 任意。当且仅当右端两个积分都收敛时，原积分收敛。
注意：$\displaystyle\lim_{R\to+\infty}\int_{-R}^R f(x),\mathrm dx$ 存在，不能推出 $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f(x),\mathrm dx$ 收敛。前者称为柯西主值。
几何意义：曲边区域向无穷远处延伸时的面积。

无穷限反常积分

9.1.2 $p$ 积分

$$\int_a^{+\infty}\frac{\mathrm dx}{x^p}\quad(a>0)$$

当 $p>1$ 时收敛，且 $$\int_a^{+\infty}\frac{\mathrm dx}{x^p}=\frac{a^{1-p}}{p-1}.$$
当 $p\le1$ 时发散。
特别地，$\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{\mathrm dx}{x}$ 发散，$\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{\mathrm dx}{x^2}$ 收敛。

9.2 无界函数反常积分（瑕积分）

9.2.1 定义

设 $f$ 在 $(a,b]$ 上每有限闭子区间上可积，且在 $a$ 的右邻域内无界。若极限 $$\lim_{\varepsilon\to0^+}\int_{a+\varepsilon}^b f(x),\mathrm dx$$ 存在（有限），则称瑕积分 $\displaystyle\int_a^b f(x),\mathrm dx$ 收敛，并定义为其极限值；否则称发散。

类似定义奇点在 $b$ 或内点 $c\in(a,b)$ 的情形。
奇点在 $c$ 时，必须分别考虑 $\displaystyle\int_a^c$ 与 $\displaystyle\int_c^b$，两者都收敛才算原积分收敛。
奇点称为瑕点。

9.2.2 $p$ 积分

$$\int_a^b\frac{\mathrm dx}{(x-a)^p}\quad(a<b)$$

当 $p<1$ 时收敛，且 $$\int_a^b\frac{\mathrm dx}{(x-a)^p}=\frac{(b-a)^{1-p}}{1-p}.$$
当 $p\ge1$ 时发散。
类似地， $$\int_a^b\frac{\mathrm dx}{(b-x)^p}$$ 当 $p<1$ 时收敛，$p\ge1$ 时发散。

9.2.3 与无穷限积分的转化

通过代换可把瑕积分化为无穷限积分，反之亦然。例如令 $t=\dfrac1{x-a}$，可把 $a$ 处的瑕积分化为无穷限积分。
因此两类反常积分的判别法可以平行建立。

9.3 反常积分的性质

9.3.1 线性性质

若 $\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x),\mathrm dx$ 与 $\displaystyle\int_a^{+\infty}g(x),\mathrm dx$ 都收敛，则 $$\int_a^{+\infty}\left[\alpha f(x)+\beta g(x)\right]\mathrm dx =\alpha\int_a^{+\infty}f(x),\mathrm dx+\beta\int_a^{+\infty}g(x),\mathrm dx.$$

9.3.2 区间可加性

若 $f$ 在 $[a,+\infty)$ 上每有限区间可积，则对任意 $c>a$， $$\int_a^{+\infty}f(x),\mathrm dx =\int_a^c f(x),\mathrm dx+\int_c^{+\infty}f(x),\mathrm dx,$$ 且两端同时收敛或同时发散。

9.3.3 牛顿-莱布尼茨公式

若 $F$ 是 $f$ 在 $[a,+\infty)$ 上的原函数，且 $\lim\limits_{x\to+\infty}F(x)$ 存在，则 $$\int_a^{+\infty}f(x),\mathrm dx=F(+\infty)-F(a),$$ 其中 $F(+\infty)=\lim\limits_{x\to+\infty}F(x)$。

瑕积分类似： $$\int_a^b f(x),\mathrm dx=F(b)-F(a+),$$ 其中 $F(a+)=\lim\limits_{x\to a^+}F(x)$（当 $a$ 为瑕点时）。

9.3.4 换元与分部

换元法与定积分类似，但必须保证换元后的反常积分收敛性对应。
分部积分： $$\int_a^{+\infty}u,\mathrm dv=\left.uv\right|_a^{+\infty}-\int_a^{+\infty}v,\mathrm du,$$ 其中 $\left.uv\right|a^{+\infty}=\lim\limits{b\to+\infty}u(b)v(b)-u(a)v(a)$，要求极限存在。

9.3.5 柯西收敛准则

$\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x),\mathrm dx$ 收敛当且仅当：对任意 $\varepsilon>0$，存在 $M>a$，使对任意 $A,B>M$，都有 $$\left|\int_A^B f(x),\mathrm dx\right|<\varepsilon.$$

9.4 非负函数的判别法

以下设 $f(x)\ge0$，$g(x)\ge0$。

9.4.1 比较判别法

若从某点以后 $f(x)\le Cg(x)$（$C>0$），且 $\displaystyle\int_a^{+\infty}g$ 收敛，则 $\displaystyle\int_a^{+\infty}f$ 收敛。
若从某点以后 $f(x)\ge Cg(x)$（$C>0$），且 $\displaystyle\int_a^{+\infty}g$ 发散，则 $\displaystyle\int_a^{+\infty}f$ 发散。

9.4.2 极限比较法

设 $$\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=l.$$

若 $0<l<+\infty$，则两个积分同敛散。
若 $l=0$，且 $\displaystyle\int_a^{+\infty}g$ 收敛，则 $\displaystyle\int_a^{+\infty}f$ 收敛。
若 $l=+\infty$，且 $\displaystyle\int_a^{+\infty}g$ 发散，则 $\displaystyle\int_a^{+\infty}f$ 发散。
常用参照：$\displaystyle\int_a^{+\infty}\frac{\mathrm dx}{x^p}$（$p>1$ 收敛）。
瑕积分常用参照：$\displaystyle\int_a^b\frac{\mathrm dx}{(x-a)^p}$（$p<1$ 收敛）。

9.4.3 常用判别结论

若 $f(x)=O\left(\dfrac1{x^p}\right)$（$x\to+\infty$）且 $p>1$，则 $\displaystyle\int_a^{+\infty}f$ 收敛。
若 $f(x)\sim\dfrac{C}{x^p}$（$x\to+\infty$），则积分与 $\displaystyle\int\frac{\mathrm dx}{x^p}$ 同敛散。
若 $f(x)=O\left(\dfrac1{(x-a)^p}\right)$（$x\to a^+$）且 $p<1$，则瑕积分收敛。

9.5 一般函数的判别法

9.5.1 绝对收敛

若 $\displaystyle\int_a^{+\infty}|f(x)|,\mathrm dx$ 收敛，则称 $\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x),\mathrm dx$ 绝对收敛。

定理：绝对收敛必收敛。

反之不成立：$\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{\sin x}{x},\mathrm dx$ 收敛，但 $\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{|\sin x|}{x},\mathrm dx$ 发散。
收敛但不绝对收敛的反常积分称为条件收敛。

9.5.2 狄利克雷判别法

设：（1）$f$ 在 $[a,+\infty)$ 上每有限区间可积，且 $\displaystyle\int_a^x f(t),\mathrm dt$ 有界（$x\ge a$）；（2）$g$ 单调，且 $\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=0$，则 $\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x)g(x),\mathrm dx$ 收敛。

典型例子：$f(x)=\sin x$，$g(x)=\dfrac1{x^p}$（$p>0$），故 $\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{\sin x}{x^p},\mathrm dx$ 对一切 $p>0$ 收敛。

9.5.3 阿贝尔判别法

设：（1）$\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x),\mathrm dx$ 收敛；（2）$g$ 单调且有界，则 $\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x)g(x),\mathrm dx$ 收敛。

阿贝尔判别法适用于把一个收敛积分乘上一个单调有界因子的情形。

9.5.4 条件收敛的例子

$$\int_1^{+\infty}\frac{\sin x}{x},\mathrm dx$$

收敛性：由狄利克雷判别法，取 $f(x)=\sin x$，$g(x)=\dfrac1x$。
非绝对收敛性：在一个周期上， $$\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{|\sin x|}{x},\mathrm dx\ge\frac1{(k+1)\pi}\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}|\sin x|,\mathrm dx=\frac2{(k+1)\pi},$$ 而 $\displaystyle\sum\frac1k$ 发散，故绝对值积分发散。

9.6 常见反常积分

$\displaystyle\int_0^{+\infty}\mathrm e^{-ax},\mathrm dx=\frac1a$（$a>0$）。
$\displaystyle\int_0^{+\infty}x^n\mathrm e^{-ax},\mathrm dx=\frac{n!}{a^{n+1}}$（$a>0$，$n\in\mathbb{N}$）。
$\displaystyle\int_0^{+\infty}\mathrm e^{-x^2},\mathrm dx=\frac{\sqrt\pi}2$（高斯积分）。
$\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\sin x}{x},\mathrm dx=\frac\pi2$（狄利克雷积分）。
$\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm dx}{1+x^2}=\frac\pi2$。
$\displaystyle\int_0^1\ln x,\mathrm dx=-1$。
$\displaystyle\int_0^1x^{a-1},\mathrm dx=\frac1a$（$a>0$）。
$\displaystyle\int_0^{+\infty}x^{a-1}\mathrm e^{-x},\mathrm dx=\Gamma(a)$（$a>0$；见第 19 章）。
$\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm dx}{x^p}$ 收敛当且仅当 $p>1$。
$\displaystyle\int_0^1\frac{\mathrm dx}{x^p}$ 收敛当且仅当 $p<1$。

9.7 判别流程

找出所有奇点（无穷远点或瑕点）。
若积分区间内有多个奇点，先拆成每个区间只含一个奇点的积分。
判断被积函数是否变号：
- 不变号：用比较判别法或极限比较法；
- 变号：先判断绝对收敛，再用狄利克雷/阿贝尔判别法判断条件收敛。
计算时先求原函数，再取极限；若原函数难求，只判断敛散性。
注意：不能把发散积分随意相减或拆分；只有在各部分都收敛时才能使用线性性质。

练习

计算 $\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{\mathrm dx}{x^2}$。
判断 $\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{\mathrm dx}{\sqrt x}$ 的敛散性。
计算 $\displaystyle\int_0^{+\infty}\mathrm e^{-2x},\mathrm dx$。
计算 $\displaystyle\int_0^1\frac{\mathrm dx}{\sqrt x}$。
判断 $\displaystyle\int_0^1\frac{\mathrm dx}{x^2}$ 的敛散性。
计算 $\displaystyle\int_0^{+\infty}x\mathrm e^{-x},\mathrm dx$。
计算 $\displaystyle\int_0^1\ln x,\mathrm dx$。
判断 $\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{\sin x}{x^2},\mathrm dx$ 的敛散性。
判断 $\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{\sin x}{x},\mathrm dx$ 是绝对收敛还是条件收敛。
计算 $\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm dx}{1+x^2}$。
判断 $\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{x+1}{x^3+1},\mathrm dx$ 的敛散性。
计算 $\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm dx}{x^2+2x+2}$。

检测题

讨论 $\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{\mathrm dx}{x^p}$ 的敛散性（$p\in\mathbb{R}$）。
计算 $\displaystyle\int_0^{+\infty}x\mathrm e^{-x^2},\mathrm dx$。
计算 $\displaystyle\int_0^1x^{-2/3},\mathrm dx$。
判断 $\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{\ln x}{x},\mathrm dx$ 的敛散性。
判断 $\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\sin x}{\sqrt x},\mathrm dx$ 是绝对收敛还是条件收敛。
计算 $\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm dx}{(1+x^2)^2}$。
计算 $\displaystyle\int_0^{+\infty}\mathrm e^{-\sqrt x},\mathrm dx$。
判断 $\displaystyle\int_2^{+\infty}\frac{\mathrm dx}{x\ln x}$ 的敛散性。
计算 $\displaystyle\int_0^1\frac{\mathrm dx}{\sqrt{1-x^2}}$。
计算 $\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\arctan x}{1+x^2},\mathrm dx$。

参考答案与提示

$$\int_1^{+\infty}\frac{\mathrm dx}{x^2} =\lim_{b\to+\infty}\left[-\frac1x\right]_1^b=1.$$
$p=\dfrac12\le1$，故发散。也可直接计算： $$\int_1^b x^{-1/2},\mathrm dx=2\sqrt b-2\to+\infty.$$
$$\int_0^{+\infty}\mathrm e^{-2x},\mathrm dx =\left[-\frac12\mathrm e^{-2x}\right]_0^{+\infty}=\frac12.$$
$$\int_0^1x^{-1/2},\mathrm dx=\left[2\sqrt x\right]_0^1=2.$$
$p=2\ge1$，故发散。直接计算得 $\displaystyle\lim_{\varepsilon\to0^+}\left(\frac1\varepsilon-1\right)=+\infty$。
分部积分： $$\int_0^{+\infty}x\mathrm e^{-x},\mathrm dx =\left[-x\mathrm e^{-x}\right]_0^{+\infty}+\int_0^{+\infty}\mathrm e^{-x},\mathrm dx=1.$$
$$\int_0^1\ln x,\mathrm dx =\lim_{\varepsilon\to0^+}\left[x\ln x-x\right]_\varepsilon^1=-1.$$
因为 $\left|\dfrac{\sin x}{x^2}\right|\le\dfrac1{x^2}$，而 $\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{\mathrm dx}{x^2}$ 收敛，故原积分绝对收敛。
由狄利克雷判别法，$\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{\sin x}{x},\mathrm dx$ 收敛。但 $$\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{|\sin x|}{x},\mathrm dx\ge\frac2{(k+1)\pi},$$ 且调和级数发散，故绝对值积分发散。因此是条件收敛。
$$\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm dx}{1+x^2} =\lim_{b\to+\infty}\arctan b=\frac\pi2.$$
当 $x\to+\infty$ 时， $$\frac{x+1}{x^3+1}\sim\frac{x}{x^3}=\frac1{x^2},$$ 而 $\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{\mathrm dx}{x^2}$ 收敛，故原积分收敛。
配方： $$\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm dx}{(x+1)^2+1} =\left[\arctan(x+1)\right]_0^{+\infty} =\frac\pi2-\frac\pi4=\frac\pi4.$$

检测题参考答案

当 $p\ne1$ 时， $$\int_1^b\frac{\mathrm dx}{x^p} =\frac{b^{1-p}-1}{1-p}.$$ 当 $p>1$ 时，$b^{1-p}\to0$，积分收敛于 $\dfrac1{p-1}$；当 $p<1$ 时，$b^{1-p}\to+\infty$，积分发散。当 $p=1$ 时，$\ln b\to+\infty$，发散。故 $p>1$ 时收敛，$p\le1$ 时发散。
令 $u=x^2$，$\mathrm du=2x,\mathrm dx$： $$\int_0^{+\infty}x\mathrm e^{-x^2},\mathrm dx =\frac12\int_0^{+\infty}\mathrm e^{-u},\mathrm du=\frac12.$$
$$\int_0^1x^{-2/3},\mathrm dx=\left[3x^{1/3}\right]_0^1=3.$$
令 $u=\ln x$，则 $\mathrm du=\dfrac{\mathrm dx}{x}$， $$\int_1^{+\infty}\frac{\ln x}{x},\mathrm dx =\int_0^{+\infty}u,\mathrm du,$$ 发散。
由狄利克雷判别法（$f(x)=\sin x$，$g(x)=x^{-1/2}$ 单调趋于 $0$），积分收敛。但 $$\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{|\sin x|}{\sqrt x},\mathrm dx \ge\frac{2}{\sqrt{(k+1)\pi}},$$ 且 $\displaystyle\sum\frac1{\sqrt k}$ 发散，故绝对值积分发散。因此是条件收敛。
令 $x=\tan t$，$\mathrm dx=\sec^2t,\mathrm dt$， $$\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm dx}{(1+x^2)^2} =\int_0^{\pi/2}\cos^2t,\mathrm dt=\frac\pi4.$$
令 $t=\sqrt x$，$x=t^2$，$\mathrm dx=2t,\mathrm dt$： $$\int_0^{+\infty}\mathrm e^{-\sqrt x},\mathrm dx =2\int_0^{+\infty}t\mathrm e^{-t},\mathrm dt=2.$$
令 $u=\ln x$，则 $$\int_2^{+\infty}\frac{\mathrm dx}{x\ln x} =\int_{\ln2}^{+\infty}\frac{\mathrm du}{u},$$ 发散。
$$\int_0^1\frac{\mathrm dx}{\sqrt{1-x^2}} =\left[\arcsin x\right]_0^1=\frac\pi2.$$
令 $u=\arctan x$，$\mathrm du=\dfrac{\mathrm dx}{1+x^2}$： $$\int_0^{+\infty}\frac{\arctan x}{1+x^2},\mathrm dx =\int_0^{\pi/2}u,\mathrm du=\frac{\pi^2}8.$$

第09章-反常积分

第 9 章 反常积分