第 11 章 函数列与函数项级数

本章整理函数列的逐点收敛与一致收敛、一致收敛的判别法、极限函数的连续性、可积性与可导性，以及函数项级数的相应理论。一致收敛是本章的核心概念。

11.1 函数列的收敛性

11.1.1 逐点收敛

设函数列 ${f_n}$ 在区间 $I$ 上有定义。若对每个 $x\in I$，数列 ${f_n(x)}$ 都收敛，则称 ${f_n}$ 在 $I$ 上逐点收敛。记 $$f(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x),\qquad x\in I,$$ 称 $f$ 为极限函数。

  • 逐点收敛是“对每个固定的 $x$ 分别收敛”，$N$ 可以依赖于 $x$。
  • 逐点收敛不能保证极限函数保持连续、可积、可导等性质。

11.1.2 一致收敛

设 ${f_n}$ 与 $f$ 都在 $I$ 上有定义。若对任意 $\varepsilon>0$，存在 $N\in\mathbb{N}^*$，使当 $n>N$ 时，对一切 $x\in I$，都有 $$|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon,$$ 则称 ${f_n}$ 在 $I$ 上一致收敛于 $f$，记作 $$f_n\rightrightarrows f\quad(I).$$

  • 关键区别：一致收敛的 $N$ 只依赖于 $\varepsilon$，不依赖于 $x$。
  • 等价形式： $$|f_n-f|I=\sup{x\in I}|f_n(x)-f(x)|\to0\quad(n\to\infty).$$
  • 一致收敛必逐点收敛；反之不成立。

11.1.3 典型例子

  • $f_n(x)=x^n$ 在 $[0,1)$ 上逐点收敛于 $0$，但不一致收敛；在 $[0,1]$ 上逐点极限为 $$f(x)=\begin{cases}0,&0\le x<1,\1,&x=1,\end{cases}$$ 极限函数不连续，故不一致收敛。
  • $f_n(x)=x^n$ 在 $[0,r]$（$0<r<1$）上一致收敛于 $0$，因为 $$\sup_{x\in[0,r]}|x^n|=r^n\to0.$$
  • $f_n(x)=\dfrac{x}{n}$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛于 $0$，因为 $\sup\limits_{x\in[0,1]}\left|\dfrac xn\right|=\dfrac1n\to0$。
  • $f_n(x)=\dfrac{x}{1+nx}$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致收敛于 $0$，因为 $$0\le\frac{x}{1+nx}<\frac1n.$$

11.2 一致收敛的判别法

11.2.1 柯西准则

函数列 ${f_n}$ 在 $I$ 上一致收敛当且仅当：对任意 $\varepsilon>0$，存在 $N$，使当 $m,n>N$ 时，对一切 $x\in I$，都有 $$|f_m(x)-f_n(x)|<\varepsilon.$$

11.2.2 确界判别法

  • 若 $f$ 为 ${f_n}$ 的逐点极限，则 $$f_n\rightrightarrows f\iff\sup_{x\in I}|f_n(x)-f(x)|\to0.$$
  • 实际使用时，先求逐点极限，再求 $\sup$ 或估计上界。

11.2.3 魏尔斯特拉斯判别法（$M$ 判别法）

设函数项级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)$ 在 $I$ 上满足 $$|u_n(x)|\le M_n\quad(x\in I,\ n=1,2,\dots),$$ 且正项级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}M_n$ 收敛，则 $\displaystyle\sum u_n(x)$ 在 $I$ 上一致收敛（且绝对收敛）。

  • $M$ 判别法是最常用的一致收敛判别法。
  • 例：$\displaystyle\sum\frac{\sin nx}{n^2}$ 在 $\mathbb{R}$ 上一致收敛，因为 $\left|\dfrac{\sin nx}{n^2}\right|\le\dfrac1{n^2}$。

11.2.4 狄利克雷判别法（函数项级数）

设： （1）$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_n(x)$ 的部分和 $B_n(x)=\sum_{k=1}^nb_k(x)$ 在 $I$ 上一致有界； （2）对每个固定的 $x\in I$，${a_n(x)}$ 关于 $n$ 单调，且 $a_n(x)\rightrightarrows0$（在 $I$ 上一致趋于 $0$）， 则 $\displaystyle\sum a_n(x)b_n(x)$ 在 $I$ 上一致收敛。

11.2.5 阿贝尔判别法（函数项级数）

设： （1）$\displaystyle\sum b_n(x)$ 在 $I$ 上一致收敛； （2）对每个固定的 $x$，${a_n(x)}$ 关于 $n$ 单调，且 ${a_n(x)}$ 在 $I$ 上一致有界， 则 $\displaystyle\sum a_n(x)b_n(x)$ 在 $I$ 上一致收敛。

11.3 一致收敛函数列的性质

11.3.1 连续性

若 $f_n$ 在 $I$ 上连续（$n=1,2,\dots$），且 $f_n\rightrightarrows f$，则 $f$ 在 $I$ 上连续。

  • 即极限与连续可以交换： $$\lim_{x\to x_0}\lim_{n\to\infty}f_n(x) =\lim_{n\to\infty}\lim_{x\to x_0}f_n(x).$$
  • 逐点收敛不能保证极限函数连续。$f_n(x)=x^n$ 在 $[0,1]$ 上就是反例。

11.3.2 可积性

若 $f_n$ 在 $[a,b]$ 上可积，且 $f_n\rightrightarrows f$，则 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积，且 $$\lim_{n\to\infty}\int_a^b f_n(x),\mathrm dx=\int_a^b f(x),\mathrm dx.$$

  • 即 $$\lim_{n\to\infty}\int_a^b f_n(x),\mathrm dx =\int_a^b\lim_{n\to\infty}f_n(x),\mathrm dx.$$
  • 逐点收敛时，积分与极限一般不能交换。

11.3.3 可导性

设： （1）$f_n$ 在 $[a,b]$ 上可导，且 $f_n'$ 连续； （2）${f_n}$ 在 $[a,b]$ 上某一点 $x_0$ 处收敛； （3）${f_n'}$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛于 $g$， 则 ${f_n}$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛于某个 $f$，$f$ 可导，且 $$f'(x)=g(x)=\lim_{n\to\infty}f_n'(x).$$

  • 即在一定条件下可以逐项求导。
  • 仅有 $f_n\rightrightarrows f$ 不能推出 $f'=\lim f_n'$。例如 $$f_n(x)=\frac{\sin nx}{n}\rightrightarrows0,$$ 但 $f_n'(x)=\cos nx$ 不收敛。
  • 逐项求导的条件比逐项积分苛刻，必须对导函数列另证一致收敛。

11.3.4 迪尼定理

设 $f_n$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，对每个 $x$，${f_n(x)}$ 单调，且 $f_n(x)\to f(x)$。若 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，则 $f_n\rightrightarrows f$。

  • 迪尼定理把逐点收敛提升为一致收敛，但要求单调性和极限函数连续。
  • 例：$f_n(x)=x^n$ 在 $[0,1]$ 上单调递减趋于极限函数，但极限函数不连续，故不能使用迪尼定理，事实上不一致收敛。

11.4 函数项级数

11.4.1 定义

  • 称 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)$ 在 $I$ 上逐点收敛，若对每个 $x\in I$，数项级数 $\sum u_n(x)$ 收敛。
  • 称它在 $I$ 上一致收敛，若部分和函数列 $$S_n(x)=\sum_{k=1}^nu_k(x)$$ 在 $I$ 上一致收敛。
  • 和函数 $S(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x)$。

11.4.2 一致收敛级数的性质

设 $\displaystyle\sum u_n(x)$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛。

  • 连续性：若每个 $u_n$ 连续，则和函数连续。
  • 逐项积分： $$\int_a^b\left(\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)\right)\mathrm dx =\sum_{n=1}^{\infty}\int_a^b u_n(x),\mathrm dx.$$
  • 逐项求导：若每个 $u_n$ 可导，$u_n'$ 连续，$\displaystyle\sum u_n(x_0)$ 在某点收敛，且 $\displaystyle\sum u_n'(x)$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛，则 $$\left(\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)\right)' =\sum_{n=1}^{\infty}u_n'(x).$$

11.4.3 一致收敛判别法小结

  1. $M$ 判别法：找可和的数值上界 $M_n$。
  2. 狄利克雷判别法：部分和一致有界 + 单调一致趋于 $0$。
  3. 阿贝尔判别法：一致收敛 + 单调一致有界。
  4. 柯西准则：直接估计任意尾段。
  5. 确界判别法：求部分和与和函数的差的上确界。

11.5 极限交换总结

性质 逐点收敛 一致收敛
极限函数连续 不一定 保证
积分与极限交换 不一定 保证
导数与极限交换 不一定 需对导函数列另加一致收敛等条件
极限与极限交换 不一定 保证
  • 一致收敛是“整体逼近”，逐点收敛是“逐点逼近”。
  • 判断能否交换次序，先检查是否一致收敛；若没有一致收敛，寻找反例或使用其他定理。

练习

  1. 求 $f_n(x)=\dfrac xn$ 在 $\mathbb{R}$ 上的逐点极限；讨论它在 $[0,1]$ 上是否一致收敛。

  2. 求 $f_n(x)=x^n$ 在 $[0,1]$ 上的逐点极限；讨论一致收敛性。

  3. 证明 $f_n(x)=\dfrac{\sin nx}{n}$ 在 $\mathbb{R}$ 上一致收敛于 $0$。

  4. 证明 $f_n(x)=\dfrac{x}{1+nx}$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致收敛于 $0$。

  5. 讨论 $f_n(x)=nx(1-x)^n$ 在 $[0,1]$ 上的一致收敛性。

  6. 讨论 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}x^n$ 在 $[0,r]$（$0<r<1$）上的一致收敛性。

  7. 证明 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin nx}{n^2}$ 在 $\mathbb{R}$ 上一致收敛。

  8. 讨论 $f_n(x)=\arctan(nx)$ 在 $\mathbb{R}$ 上的逐点极限与一致收敛性。

  9. 设 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin nx}{n^3}$。证明它可以逐项求导，并写出导函数级数。

  10. 计算 $\displaystyle\int_0^{1/2}\left(\sum_{n=1}^{\infty}x^n\right)\mathrm dx$，并说明逐项积分的合法性。

  11. 证明：一致收敛的连续函数列的极限函数连续。

  12. 设 $f_n(x)=nx(1-x^2)^n$（$0\le x\le1$）。求 $\lim\limits_{n\to\infty}\displaystyle\int_0^1f_n(x),\mathrm dx$，并与 $\displaystyle\int_0^1\lim\limits_{n\to\infty}f_n(x),\mathrm dx$ 比较。

检测题

  1. 求 $f_n(x)=\dfrac{x}{1+n^2x^2}$ 在 $[0,1]$ 上的逐点极限，并证明一致收敛。

  2. 讨论 $f_n(x)=x^n(1-x)$ 在 $[0,1]$ 上的一致收敛性。

  3. 证明 $f_n(x)=\dfrac{\sin nx}{\sqrt n}$ 在 $\mathbb{R}$ 上一致收敛于 $0$。

  4. 讨论 $f_n(x)=\mathrm e^{-nx}$ 在 $[0,+\infty)$ 上的逐点极限与一致收敛性。

  5. 证明 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos nx}{n^2}$ 在 $\mathbb{R}$ 上一致收敛。

  6. 讨论 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{x^n}{n}$ 在 $[0,1]$ 上的一致收敛性。

  7. 计算 $\displaystyle\int_0^{1/2}\left(\sum_{n=1}^{\infty}x^n\right)\mathrm dx$。

  8. 证明 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}$ 在 $(-1,1)$ 内可以逐项求导，并求其和函数。

  9. 利用 $f_n(x)=x^n$ 在 $[0,1]$ 上的极限函数说明：连续函数列的一致收敛条件不能去掉。

  10. 设 $f_n(x)=nx(1-x^2)^n$。求 $$\lim_{n\to\infty}\int_0^1f_n(x),\mathrm dx,$$ 并说明为什么不能直接交换积分与极限。

参考答案与提示

  1. 对每个固定的 $x$，$\dfrac xn\to0$，故逐点极限为 $0$。在 $[0,1]$ 上， $$\sup_{x\in[0,1]}\left|\frac xn-0\right|=\frac1n\to0,$$ 故一致收敛。
  2. 逐点极限为 $$f(x)=\begin{cases}0,&0\le x<1,\1,&x=1.\end{cases}$$ 因为每个 $f_n$ 连续而 $f$ 不连续，所以不一致收敛。
  3. $$\left|\frac{\sin nx}{n}\right|\le\frac1n\to0,$$ 故一致收敛于 $0$。
  4. 当 $x\ge0$ 时， $$0\le\frac{x}{1+nx}<\frac1n,$$ 故一致收敛于 $0$。
  5. 逐点极限为 $0$。$f_n'(x)=n(1-x)^{n-1}[1-(n+1)x]$，最大值在 $x=\dfrac1{n+1}$ 处， $$\sup_{[0,1]}f_n=f_n\left(\frac1{n+1}\right) =\frac n{n+1}\left(1-\frac1{n+1}\right)^n\to\frac1{\mathrm e}\ne0,$$ 故不一致收敛。
  6. 当 $0\le x\le r<1$ 时， $$|x^n|\le r^n,\qquad \sum_{n=1}^{\infty}r^n<+\infty,$$ 由 $M$ 判别法，$\sum x^n$ 在 $[0,r]$ 上一致收敛。在 $[0,1)$ 上不一致收敛（部分和的余项在 $x\to1^-$ 时不能一致趋于 $0$）。
  7. $$\left|\frac{\sin nx}{n^2}\right|\le\frac1{n^2},$$ 而 $\displaystyle\sum\frac1{n^2}$ 收敛，由 $M$ 判别法得一致收敛。
  8. 逐点极限为 $$f(x)=\begin{cases}-\dfrac\pi2,&x<0,\0,&x=0,\ \dfrac\pi2,&x>0.\end{cases}$$ 极限函数不连续，故在 $\mathbb{R}$ 上不一致收敛。在 $[\delta,+\infty)$（$\delta>0$）上一致收敛。
  9. $\left|\dfrac{\sin nx}{n^3}\right|\le\dfrac1{n^3}$，由 $M$ 判别法，原级数一致收敛。逐项求导得 $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos nx}{n^2},$$ 其绝对值不超过 $\displaystyle\sum\frac1{n^2}$，故一致收敛。因此可以逐项求导，导函数为 $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos nx}{n^2}.$$
  10. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}x^n=\frac{x}{1-x}$（$|x|<1$），在 $\left[0,\dfrac12\right]$ 上一致收敛（$M$ 判别法，$x^n\le\left(\dfrac12\right)^n$）。于是 $$\int_0^{1/2}\frac{x}{1-x},\mathrm dx =\int_0^{1/2}\left(\frac1{1-x}-1\right)\mathrm dx =\left[-\ln(1-x)-x\right]_0^{1/2} =\ln2-\frac12.$$
  11. 设 $f_n\rightrightarrows f$，$f_n$ 连续。对任意 $x_0$ 和 $\varepsilon>0$，取 $N$ 使 $|f_N(x)-f(x)|<\dfrac\varepsilon3$ 对一切 $x$ 成立。由 $f_N$ 在 $x_0$ 连续，存在 $\delta>0$，当 $|x-x_0|<\delta$ 时，$|f_N(x)-f_N(x_0)|<\dfrac\varepsilon3$。于是 $$|f(x)-f(x_0)|\le|f(x)-f_N(x)|+|f_N(x)-f_N(x_0)|+|f_N(x_0)-f(x_0)|<\varepsilon,$$ 故 $f$ 在 $x_0$ 连续。
  12. 对固定 $x\in[0,1]$，$n(1-x^2)^n\to0$（当 $0<x\le1$），在 $x=0$ 处也为 $0$，故逐点极限为 $0$。但 $$\int_0^1nx(1-x^2)^n,\mathrm dx =\frac{n}{2(n+1)}\to\frac12,$$ 而 $\displaystyle\int_0^10,\mathrm dx=0$。两者不相等，说明积分与极限不能交换。

检测题参考答案

  1. 逐点极限为 $0$。求导： $$f_n'(x)=\frac{1-n^2x^2}{(1+n^2x^2)^2},$$ 最大值在 $x=\dfrac1n$ 处， $$\sup_{[0,1]}|f_n(x)|=\frac1{2n}\to0,$$ 故一致收敛于 $0$。
  2. 逐点极限为 $0$。$f_n'(x)=x^{n-1}[n-(n+1)x]$，最大值在 $x=\dfrac n{n+1}$ 处， $$0\le f_n(x)\le\left(\frac n{n+1}\right)^n\frac1{n+1}\to0,$$ 故一致收敛于 $0$。
  3. $$\left|\frac{\sin nx}{\sqrt n}\right|\le\frac1{\sqrt n}\to0,$$ 故一致收敛。
  4. 逐点极限为 $$f(x)=\begin{cases}1,&x=0,\0,&x>0.\end{cases}$$ 极限函数不连续，故在 $[0,+\infty)$ 上不一致收敛。在 $[\delta,+\infty)$（$\delta>0$）上一致收敛。
  5. $$\left|\frac{\cos nx}{n^2}\right|\le\frac1{n^2},$$ 由 $M$ 判别法得一致收敛。
  6. 令 $a_n=x^n/n$，对每个 $x\in[0,1]$ 关于 $n$ 单调递减，且 $0\le a_n\le\dfrac1n\to0$，一致趋于 $0$。而 $\sum(-1)^n$ 的部分和一致有界。由狄利克雷判别法，级数在 $[0,1]$ 上一致收敛。
  7. 在 $\left[0,\dfrac12\right]$ 上 $x^n\le\left(\dfrac12\right)^n$，由 $M$ 判别法可逐项积分： $$\int_0^{1/2}\sum_{n=1}^{\infty}x^n,\mathrm dx =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(1/2)^{n+1}}{n+1} =\sum_{k=2}^{\infty}\frac1{k2^k}.$$ 其和也可由 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}x^n=\frac{x}{1-x}$ 积分得到，结果为 $\ln2-\dfrac12$。
  8. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}$ 在 $(-1,1)$ 内一致收敛于 $-\ln(1-x)$。逐项求导得 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}x^{n-1}=\frac1{1-x}$，在任意 $[-r,r]$（$0<r<1$）上一致收敛。因此 $$\left(-\ln(1-x)\right)'=\frac1{1-x},$$ 与逐项求导结果一致。
  9. $f_n(x)=x^n$ 在 $[0,1]$ 上连续，逐点收敛于不连续函数，故不一致收敛。这说明一致收敛条件不能去掉，否则连续函数列的极限可能不连续。
  10. 对固定 $x\in[0,1]$，$nx(1-x^2)^n\to0$，故逐点极限为 $0$，其积分为 $0$。但 $$\int_0^1nx(1-x^2)^n,\mathrm dx=\frac{n}{2(n+1)}\to\frac12.$$ 积分与极限不相等，原因是被积函数列在 $[0,1]$ 上不一致收敛于 $0$（在 $x\sim\dfrac1{\sqrt n}$ 附近有不可忽略的峰值），故不能直接交换积分与极限。