第 18 章 曲线积分与曲面积分

本章整理第一型与第二型曲线积分、格林公式、第一型与第二型曲面积分、高斯公式、斯托克斯公式以及场论初步。本章是数学分析三的核心内容之一。

18.1 第一型曲线积分（对弧长）

18.1.1 定义

设 $L$ 是平面或空间中的一条可求长曲线，$f$ 在 $L$ 上有界。把 $L$ 分成小弧段 $\Delta s_i$，在每段上任取一点 $P_i$，作和 $$\sum_{i=1}^nf(P_i)\Delta s_i.$$ 若极限存在且与分法和取点无关，则称它为 $f$ 沿 $L$ 的第一型曲线积分，记作 $$\int_Lf,\mathrm ds.$$

  • 第一型曲线积分与曲线的方向无关： $$\int_{L^-}f,\mathrm ds=\int_Lf,\mathrm ds.$$
  • 当 $f=1$ 时，$\displaystyle\int_L\mathrm ds$ 等于曲线 $L$ 的弧长。
  • 几何与物理意义：可表示曲线质量、重心、转动惯量等。

18.1.2 计算

  • 平面曲线 $L$：$x=x(t)$，$y=y(t)$，$\alpha\le t\le\beta$，则 $$\int_Lf(x,y),\mathrm ds =\int_\alpha^\betaf(x(t),y(t))\sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)},\mathrm dt.$$
  • 若 $L$ 由 $y=y(x)$（$a\le x\le b$）给出，则 $$\int_Lf(x,y),\mathrm ds =\int_a^bf(x,y(x))\sqrt{1+y'^2(x)},\mathrm dx.$$
  • 若 $L$ 由极坐标 $r=r(\theta)$（$\alpha\le\theta\le\beta$）给出，则 $$\int_Lf(r\cos\theta,r\sin\theta)\sqrt{r^2+r'^2},\mathrm d\theta.$$
  • 空间曲线 $x=x(t),y=y(t),z=z(t)$： $$\int_Lf,\mathrm ds =\int_\alpha^\betaf(x(t),y(t),z(t))\sqrt{x'^2+y'^2+z'^2},\mathrm dt.$$

18.1.3 性质

  • 线性：$\displaystyle\int_L(\alpha f+\beta g),\mathrm ds=\alpha\int_Lf,\mathrm ds+\beta\int_Lg,\mathrm ds$。
  • 区域可加：若 $L=L_1\cup L_2$，则积分等于两段之和。
  • 保序与绝对值不等式： $$\left|\int_Lf,\mathrm ds\right|\le\int_L|f|,\mathrm ds.$$
  • 中值定理：若 $f$ 在 $L$ 上连续，则存在 $P_0\in L$，使 $$\int_Lf,\mathrm ds=f(P_0),s_L,$$ 其中 $s_L$ 为曲线长度。

18.2 第二型曲线积分（对坐标）

18.2.1 定义

设 $L$ 是有向曲线，$P,Q$ 在 $L$ 上有界。把 $L$ 分成小弧段，对应坐标增量 $\Delta x_i,\Delta y_i$，作和 $$\sum_{i=1}^n\left[P(\xi_i,\eta_i)\Delta x_i+Q(\xi_i,\eta_i)\Delta y_i\right].$$ 若极限存在且与分法和取点无关，则称为第二型曲线积分，记作 $$\int_LP(x,y),\mathrm dx+Q(x,y),\mathrm dy.$$

  • 第二型曲线积分与方向有关： $$\int_{L^-}P,\mathrm dx+Q,\mathrm dy=-\int_LP,\mathrm dx+Q,\mathrm dy.$$
  • 空间情形： $$\int_LP,\mathrm dx+Q,\mathrm dy+R,\mathrm dz.$$
  • 物理意义：力 $\boldsymbol F=(P,Q,R)$ 沿曲线 $L$ 所做的功为 $$W=\int_L\boldsymbol F\cdot\mathrm d\boldsymbol r =\int_LP,\mathrm dx+Q,\mathrm dy+R,\mathrm dz.$$

18.2.2 计算

  • 参数方程 $x=x(t)$，$y=y(t)$（$t$ 从 $\alpha$ 到 $\beta$）： $$\int_LP,\mathrm dx+Q,\mathrm dy =\int_\alpha^\beta\left[P(x(t),y(t))x'(t)+Q(x(t),y(t))y'(t)\right]\mathrm dt.$$
  • 若 $L$ 由 $y=y(x)$（$x$ 从 $a$ 到 $b$）给出： $$\int_LP,\mathrm dx+Q,\mathrm dy =\int_a^b\left[P(x,y(x))+Q(x,y(x))y'(x)\right]\mathrm dx.$$
  • 若 $L$ 由 $x=x(y)$（$y$ 从 $c$ 到 $d$）给出： $$\int_LP,\mathrm dx+Q,\mathrm dy =\int_c^d\left[P(x(y),y)x'(y)+Q(x(y),y)\right]\mathrm dy.$$

18.2.3 与第一型曲线积分的关系

  • 设 $L$ 的单位切向量为 $$\boldsymbol\tau=(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma),$$ 则 $$\int_LP,\mathrm dx+Q,\mathrm dy+R,\mathrm dz =\int_L(P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma),\mathrm ds.$$
  • 特别地，在平面上， $$\int_LP,\mathrm dx+Q,\mathrm dy =\int_L(P\cos\alpha+Q\cos\beta),\mathrm ds.$$
  • 切向量的方向必须与曲线定向一致。

18.3 格林公式

18.3.1 格林公式

设 $D$ 是由分段光滑闭曲线 $L$ 围成的有界闭区域，$P,Q$ 在 $D$ 上具有连续偏导数，$L$ 取正方向（沿 $L$ 前进时 $D$ 在左侧，即逆时针方向），则 $$\oint_LP,\mathrm dx+Q,\mathrm dy =\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrm dx,\mathrm dy.$$

  • 格林公式把平面曲线积分化为二重积分。
  • 若 $L$ 为顺时针方向，则右端取负号。
  • 对多连通区域（带洞区域），外边界取逆时针，内边界取顺时针，公式仍成立。
  • 使用条件：$P,Q$ 在 $D$ 上有连续偏导数；$L$ 分段光滑；方向为正。

格林公式

18.3.2 应用：面积公式

取 $P=-y$，$Q=x$，得 $$S_D=\iint_D1,\mathrm dx,\mathrm dy =\frac12\oint_Lx,\mathrm dy-y,\mathrm dx.$$

  • 也可取 $P=0$，$Q=x$，得 $$S_D=\oint_Lx,\mathrm dy.$$
  • 或取 $P=-y$，$Q=0$，得 $$S_D=-\oint_Ly,\mathrm dx.$$
  • 曲线必须按逆时针方向绕行。

18.3.3 曲线积分与路径无关的条件

设 $D$ 是单连通区域，$P,Q$ 在 $D$ 上具有连续偏导数。以下四个条件等价：

  1. $\dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial Q}{\partial x}$ 在 $D$ 内成立；
  2. 对 $D$ 内任意分段光滑闭曲线 $L$，$\displaystyle\oint_LP,\mathrm dx+Q,\mathrm dy=0$；
  3. 曲线积分 $\displaystyle\int_LP,\mathrm dx+Q,\mathrm dy$ 在 $D$ 内与路径无关，只与起点和终点有关；
  4. $P,\mathrm dx+Q,\mathrm dy$ 是某个函数 $u(x,y)$ 的全微分，即 $$\mathrm du=P,\mathrm dx+Q,\mathrm dy.$$
  • 此时称 $P,\mathrm dx+Q,\mathrm dy$ 为恰当微分，$u$ 为势函数。
  • 势函数的求法：
    • 路径积分法： $$u(x,y)=\int_{x_0}^xP(t,y_0),\mathrm dt+\int_{y_0}^yQ(x,t),\mathrm dt+C.$$
    • 凑微分法：直接寻找 $u$，使 $\mathrm du=P,\mathrm dx+Q,\mathrm dy$。
    • 偏积分法：由 $u_x=P$ 对 $x$ 积分，再对 $y$ 求导确定任意函数。
  • 若 $P_y=Q_x$ 但区域不是单连通的，闭曲线积分可能不为 $0$。例如 $$P=\frac{-y}{x^2+y^2},\qquad Q=\frac{x}{x^2+y^2}$$ 在去掉原点的区域上满足 $P_y=Q_x$，但绕原点的闭曲线积分等于 $2\pi$。

18.4 第一型曲面积分（对面积）

18.4.1 定义

设 $S$ 是空间中的分片光滑曲面，$f$ 在 $S$ 上有界。把 $S$ 分成小曲面块 $\Delta S_i$，在每块上任取一点 $P_i$，作和 $$\sum_{i=1}^nf(P_i)\Delta S_i.$$ 若极限存在且与分法和取点无关，则称为第一型曲面积分，记作 $$\iint_Sf,\mathrm dS.$$

  • 与曲面的侧无关。
  • 当 $f=1$ 时，积分等于曲面面积。
  • 可用于计算曲面质量、重心、转动惯量等。

18.4.2 计算

  • 若曲面由 $z=z(x,y)$（$(x,y)\in D$）给出，则 $$\iint_Sf(x,y,z),\mathrm dS =\iint_Df(x,y,z(x,y))\sqrt{1+z_x^2+z_y^2},\mathrm dx,\mathrm dy.$$
  • 若曲面由参数方程 $$\boldsymbol r(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)),\quad (u,v)\in D$$ 给出，则 $$\iint_Sf,\mathrm dS =\iint_Df(\boldsymbol r(u,v))\left|\boldsymbol r_u\times\boldsymbol r_v\right|,\mathrm du,\mathrm dv,$$ 其中 $$\boldsymbol r_u\times\boldsymbol r_v =\left(\frac{\partial(y,z)}{\partial(u,v)},\frac{\partial(z,x)}{\partial(u,v)},\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right).$$
  • 球面 $x^2+y^2+z^2=R^2$ 用球坐标参数化： $$\mathrm dS=R^2\sin\varphi,\mathrm d\varphi,\mathrm d\theta.$$

18.5 第二型曲面积分（对坐标）

18.5.1 定义

设 $S$ 是有侧曲面，取定一侧，$P,Q,R$ 在 $S$ 上有界。把 $S$ 分成小曲面块，对应有向面积元素 $$(\Delta y,\Delta z,\ \Delta z,\Delta x,\ \Delta x,\Delta y),$$ 作和 $$\sum_{i=1}^n\left[P\Delta y_i\Delta z_i+Q\Delta z_i\Delta x_i+R\Delta x_i\Delta y_i\right].$$ 若极限存在，则称为第二型曲面积分，记作 $$\iint_SP,\mathrm dy,\mathrm dz+Q,\mathrm dz,\mathrm dx+R,\mathrm dx,\mathrm dy.$$

  • 物理意义：向量场 $\boldsymbol F=(P,Q,R)$ 通过曲面 $S$ 的通量（流量）。
  • 换侧变号： $$\iint_{S^-}\boldsymbol F\cdot\mathrm d\boldsymbol S=-\iint_S\boldsymbol F\cdot\mathrm d\boldsymbol S.$$
  • 与第一型曲面积分的关系： $$\iint_SP,\mathrm dy,\mathrm dz+Q,\mathrm dz,\mathrm dx+R,\mathrm dx,\mathrm dy =\iint_S(P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma),\mathrm dS,$$ 其中 $(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)$ 是曲面取定侧的单位法向量。

18.5.2 计算

  • 若曲面由 $z=z(x,y)$（$(x,y)\in D$）给出，取上侧（法向量朝上），则 $$\iint_SP,\mathrm dy,\mathrm dz+Q,\mathrm dz,\mathrm dx+R,\mathrm dx,\mathrm dy =\iint_D\left[-Pz_x-Qz_y+R\right]\mathrm dx,\mathrm dy.$$
  • 取下侧时，右端取负号。
  • 对 $x=x(y,z)$、$y=y(z,x)$ 给出的曲面可类似处理。
  • 投影法：把曲面投影到相应坐标平面，注意投影区域的定向和法向量的符号。
  • 分片光滑曲面应分片计算后相加。

18.6 高斯公式

设 $\Omega$ 是由分片光滑闭曲面 $S$ 围成的空间闭区域，$P,Q,R$ 在 $\Omega$ 上具有连续偏导数，$S$ 取外侧，则 $$\iint_SP,\mathrm dy,\mathrm dz+Q,\mathrm dz,\mathrm dx+R,\mathrm dx,\mathrm dy =\iiint_\Omega\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)\mathrm dV.$$

  • 高斯公式把曲面积分化为三重积分。
  • 若 $S$ 取内侧，则右端取负号。
  • 散度： $$\operatorname{div}\boldsymbol F=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}.$$
  • 高斯公式可写成 $$\iint_S\boldsymbol F\cdot\boldsymbol n,\mathrm dS=\iiint_\Omega\operatorname{div}\boldsymbol F,\mathrm dV.$$
  • 对带洞区域，外边界取外侧，内边界取内侧。
  • 若 $P,Q,R$ 在区域内有奇点，不能直接使用高斯公式，需要挖去奇点或单独处理。

18.7 斯托克斯公式

设 $S$ 是分片光滑的有向曲面，其边界 $\partial S$ 是分段光滑闭曲线，$S$ 的侧与 $\partial S$ 的方向符合右手法则，$P,Q,R$ 在包含 $S$ 的某区域内具有连续偏导数，则 $$\oint_{\partial S}P,\mathrm dx+Q,\mathrm dy+R,\mathrm dz =\iint_S\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)\mathrm dy,\mathrm dz +\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)\mathrm dz,\mathrm dx +\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrm dx,\mathrm dy.$$

  • 用旋度表示： $$\oint_{\partial S}\boldsymbol F\cdot\mathrm d\boldsymbol r =\iint_S(\operatorname{rot}\boldsymbol F)\cdot\boldsymbol n,\mathrm dS.$$
  • 旋度： $$\operatorname{rot}\boldsymbol F=\nabla\times\boldsymbol F =\begin{vmatrix} \boldsymbol i&\boldsymbol j&\boldsymbol k\ \dfrac{\partial}{\partial x}&\dfrac{\partial}{\partial y}&\dfrac{\partial}{\partial z}\ P&Q&R \end{vmatrix}.$$
  • 格林公式是斯托克斯公式在平面情形下的特例。
  • 右手法则：右手四指沿 $\partial S$ 的方向弯曲时，拇指指向 $S$ 的法向量方向。

18.8 场论初步

18.8.1 梯度、散度、旋度

  • 梯度： $$\operatorname{grad}f=\nabla f=(f_x,f_y,f_z).$$
  • 散度： $$\operatorname{div}\boldsymbol F=\nabla\cdot\boldsymbol F=P_x+Q_y+R_z.$$
  • 旋度： $$\operatorname{rot}\boldsymbol F=\nabla\times\boldsymbol F=(R_y-Q_z,\ P_z-R_x,\ Q_x-P_y).$$
  • 拉普拉斯算子： $$\Delta f=\operatorname{div}(\nabla f)=f_{xx}+f_{yy}+f_{zz}.$$

18.8.2 基本恒等式

  • $\operatorname{rot}(\operatorname{grad}f)=\boldsymbol0$。
  • $\operatorname{div}(\operatorname{rot}\boldsymbol F)=0$。
  • $\operatorname{div}(f\boldsymbol F)=f\operatorname{div}\boldsymbol F+\nabla f\cdot\boldsymbol F$。
  • $\operatorname{rot}(f\boldsymbol F)=f\operatorname{rot}\boldsymbol F+\nabla f\times\boldsymbol F$。
  • $\operatorname{div}(\boldsymbol F\times\boldsymbol G)=\boldsymbol G\cdot\operatorname{rot}\boldsymbol F-\boldsymbol F\cdot\operatorname{rot}\boldsymbol G$。

18.8.3 保守场与势函数

  • 若 $\boldsymbol F=\nabla u$，则称 $\boldsymbol F$ 为保守场（梯度场），$u$ 为势函数。
  • 在单连通区域内，以下条件等价：
    1. $\operatorname{rot}\boldsymbol F=\boldsymbol0$；
    2. $\boldsymbol F$ 为保守场；
    3. 曲线积分与路径无关；
    4. 沿任意闭曲线的环量为 $0$。
  • 势函数的求法：路径积分或凑微分。

18.8.4 无源场

  • 若 $\operatorname{div}\boldsymbol F=0$，则称 $\boldsymbol F$ 为无源场（管形场）。
  • 对无源场，通过任意闭曲面的通量为 $0$。
  • 在单连通区域内，无源场可表示为某个向量场的旋度：$\boldsymbol F=\operatorname{rot}\boldsymbol A$，其中 $\boldsymbol A$ 为向量势。

18.9 计算总结

  1. 曲线积分
    • 第一型：参数化，计算 $\mathrm ds$，与方向无关。
    • 第二型：参数化，计算 $\mathrm dx,\mathrm dy,\mathrm dz$，注意方向。
    • 闭曲线优先考虑格林公式（平面）或斯托克斯公式（空间）。
  2. 曲面积分
    • 第一型：参数化或显式曲面，计算 $\mathrm dS$，与侧无关。
    • 第二型：确定侧，投影或参数化，注意法向量符号。
    • 闭曲面优先考虑高斯公式。
  3. 简化手段
    • 对称性、奇偶性。
    • 轮换对称性。
    • 选择适当的坐标平面投影。
    • 利用势函数与路径无关。
  4. 注意事项
    • 格林、高斯、斯托克斯公式都有连续偏导数和定向条件。
    • 区域内有奇点时要挖洞或分段。
    • 第二型曲面积分的正负号由曲面侧决定。

练习

  1. 计算 $\displaystyle\int_L(x+y),\mathrm ds$，其中 $L$ 是圆 $x^2+y^2=R^2$ 在第一象限的部分。

  2. 计算 $\displaystyle\int_Ly,\mathrm ds$，其中 $L$ 是直线 $y=x$ 从 $(0,0)$ 到 $(1,1)$ 的线段。

  3. 计算 $\displaystyle\int_Lx,\mathrm dy-y,\mathrm dx$，其中 $L$ 是圆 $x^2+y^2=R^2$ 按逆时针方向。

  4. 计算 $\displaystyle\int_L(x+y),\mathrm dx+(x-y),\mathrm dy$，其中 $L$ 是抛物线 $y=x^2$ 从 $(0,0)$ 到 $(1,1)$。

  5. 用格林公式计算 $$\oint_L(x^2-y),\mathrm dx+(x+y^2),\mathrm dy,$$ 其中 $L$ 是单位圆按逆时针方向。

  6. 用曲线积分求椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 的面积。

  7. 证明 $(2xy+y^2),\mathrm dx+(x^2+2xy),\mathrm dy$ 是恰当微分，并求势函数。

  8. 计算 $\displaystyle\iint_Sz,\mathrm dS$，其中 $S$ 是锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$（$0\le z\le1$）。

  9. 用高斯公式计算 $$\iint_Sx,\mathrm dy,\mathrm dz+y,\mathrm dz,\mathrm dx+z,\mathrm dx,\mathrm dy,$$ 其中 $S$ 是球面 $x^2+y^2+z^2=R^2$ 的外侧。

  10. 用高斯公式计算 $$\iint_Sx,\mathrm dy,\mathrm dz+y,\mathrm dz,\mathrm dx+z,\mathrm dx,\mathrm dy,$$ 其中 $S$ 是立方体 $[0,1]^3$ 的外表面。

  11. 用斯托克斯公式计算 $$\oint_Ly,\mathrm dx+z,\mathrm dy+x,\mathrm dz,$$ 其中 $L$ 是圆 $x^2+y^2=1$，$z=0$，从 $z$ 轴正方向看按逆时针方向。

  12. 求向量场 $\boldsymbol F=(x^2y,yz,z^2x)$ 的散度和旋度。

检测题

  1. 计算 $\displaystyle\int_L(x^2+y^2),\mathrm ds$，其中 $L$ 是单位圆。

  2. 计算 $\displaystyle\int_Ly,\mathrm dx+x,\mathrm dy$，其中 $L$ 是抛物线 $y=x^2$ 从 $(0,0)$ 到 $(1,1)$。

  3. 用格林公式计算 $$\oint_L(x+y),\mathrm dx-(x-y),\mathrm dy,$$ 其中 $L$ 是单位圆按逆时针方向。

  4. 证明 $(2x+y),\mathrm dx+(x+2y),\mathrm dy$ 是恰当微分，并求势函数。

  5. 计算 $\displaystyle\iint_S(x^2+y^2),\mathrm dS$，其中 $S$ 是球面 $x^2+y^2+z^2=R^2$。

  6. 用高斯公式计算向量场 $\boldsymbol F=(x,y,z)$ 通过圆柱 $x^2+y^2\le1$、$0\le z\le1$ 的外表面的通量。

  7. 用高斯公式计算 $\boldsymbol F=(x^3,y^3,z^3)$ 通过球面 $x^2+y^2+z^2=R^2$ 的外侧的通量。

  8. 用斯托克斯公式计算 $$\oint_Ly,\mathrm dx+z,\mathrm dy+x,\mathrm dz,$$ 其中 $L$ 是圆 $x^2+y^2=1$，$z=0$，从 $z$ 轴正方向看按逆时针方向。

  9. 求向量场 $\boldsymbol F=(yz,xz,xy)$ 的散度和旋度，并判断它是否为保守场。

  10. 用曲线积分求星形线 $x=a\cos^3t$，$y=a\sin^3t$ 所围图形的面积。

参考答案与提示

  1. 参数化 $x=R\cos t$，$y=R\sin t$，$0\le t\le\dfrac\pi2$，$\mathrm ds=R,\mathrm dt$。则 $$\int_L(x+y),\mathrm ds =R^2\int_0^{\pi/2}(\cos t+\sin t),\mathrm dt=2R^2.$$
  2. $y=x$，$\mathrm ds=\sqrt2,\mathrm dx$， $$\int_Ly,\mathrm ds=\int_0^1x\sqrt2,\mathrm dx=\frac{\sqrt2}2.$$
  3. 参数化圆，逆时针： $$\int_Lx,\mathrm dy-y,\mathrm dx =\int_0^{2\pi}\left[R\cos t\cdot R\cos t-R\sin t\cdot(-R\sin t)\right]\mathrm dt =R^2\int_0^{2\pi}\mathrm dt=2\pi R^2.$$
  4. 令 $x=t$，$y=t^2$，$0\le t\le1$，则 $$\int_L(x+y),\mathrm dx+(x-y),\mathrm dy =\int_0^1\left[(t+t^2)+(t-t^2)2t\right]\mathrm dt =\int_0^1(t+3t^2-2t^3),\mathrm dt=1.$$
  5. $P=x^2-y$，$Q=x+y^2$，$Q_x-P_y=1-(-1)=2$。由格林公式， $$\oint_LP,\mathrm dx+Q,\mathrm dy =\iint_D2,\mathrm dx,\mathrm dy=2\pi.$$
  6. 参数化 $x=a\cos t$，$y=b\sin t$，$0\le t\le2\pi$。则 $$S=\frac12\oint_Lx,\mathrm dy-y,\mathrm dx =\frac12\int_0^{2\pi}ab,\mathrm dt=\pi ab.$$
  7. $P=2xy+y^2$，$Q=x^2+2xy$，$P_y=2x+2y=Q_x$。势函数满足 $u_x=P$，$u_y=Q$。由 $$u=\int(2xy+y^2),\mathrm dx=x^2y+xy^2+\varphi(y),$$ 再由 $u_y=x^2+2xy+\varphi'(y)=x^2+2xy$，得 $\varphi'(y)=0$，故 $$u=x^2y+xy^2+C.$$
  8. 锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$，$z_x=\dfrac x{\sqrt{x^2+y^2}}$，$z_y=\dfrac y{\sqrt{x^2+y^2}}$， $$\mathrm dS=\sqrt{1+\frac{x^2+y^2}{x^2+y^2}},\mathrm dx,\mathrm dy=\sqrt2,\mathrm dx,\mathrm dy.$$ 投影区域 $D$ 为单位圆盘，$z=\sqrt{x^2+y^2}=r$。故 $$\iint_Sz,\mathrm dS =\sqrt2\int_0^{2\pi}\mathrm d\theta\int_0^1r\cdot r,\mathrm dr =2\sqrt2\pi\cdot\frac13=\frac{2\sqrt2\pi}3.$$
  9. $P=x$，$Q=y$，$R=z$，$\operatorname{div}\boldsymbol F=3$。由高斯公式， $$\iint_S\boldsymbol F\cdot\mathrm d\boldsymbol S =3\iiint_{x^2+y^2+z^2\le R^2}\mathrm dV=3\cdot\frac{4\pi R^3}3=4\pi R^3.$$
  10. 散度为 $3$，立方体体积为 $1$，故通量为 $3$。
  11. $P=y$，$Q=z$，$R=x$， $$\operatorname{rot}\boldsymbol F=(R_y-Q_z,\ P_z-R_x,\ Q_x-P_y)=(-1,-1,-1).$$ 取 $S$ 为单位圆盘，法向量 $\boldsymbol n=(0,0,1)$，则 $$\oint_L\boldsymbol F\cdot\mathrm d\boldsymbol r =\iint_S(-1,-1,-1)\cdot(0,0,1),\mathrm dS=-\pi.$$
  12. $\operatorname{div}\boldsymbol F=2xy+z+2zx$； $$\operatorname{rot}\boldsymbol F=(R_y-Q_z,\ P_z-R_x,\ Q_x-P_y) =(0-z,\ 0-z^2,\ 0-x^2)=(-z,-z^2,-x^2).$$

检测题参考答案

  1. 参数化 $x=\cos t$，$y=\sin t$，$0\le t\le2\pi$，$\mathrm ds=\mathrm dt$： $$\int_L(x^2+y^2),\mathrm ds=\int_0^{2\pi}1,\mathrm dt=2\pi.$$
  2. $y=x^2$，$\mathrm dx=\mathrm dt$，$\mathrm dy=2t,\mathrm dt$： $$\int_Ly,\mathrm dx+x,\mathrm dy =\int_0^1(t^2+t\cdot2t),\mathrm dt=\int_0^13t^2,\mathrm dt=1.$$
  3. $P=x+y$，$Q=-x+y$，$Q_x-P_y=-1-1=-2$。故 $$\oint_LP,\mathrm dx+Q,\mathrm dy =\iint_D(-2),\mathrm dx,\mathrm dy=-2\pi.$$
  4. $P=2x+y$，$Q=x+2y$，$P_y=1=Q_x$，故为恰当微分。由 $$u=\int(2x+y),\mathrm dx=x^2+xy+\varphi(y),$$ 再由 $u_y=x+\varphi'(y)=x+2y$，得 $\varphi'(y)=2y$，$\varphi(y)=y^2+C$。故 $$u=x^2+xy+y^2+C.$$
  5. 由对称性， $$\iint_Sx^2,\mathrm dS=\iint_Sy^2,\mathrm dS=\iint_Sz^2,\mathrm dS =\frac13\iint_SR^2,\mathrm dS.$$ 又 $\displaystyle\iint_S\mathrm dS=4\pi R^2$，故 $$\iint_S(x^2+y^2),\mathrm dS =\frac23R^2\cdot4\pi R^2=\frac{8\pi R^4}3.$$
  6. $\operatorname{div}\boldsymbol F=3$，圆柱体积为 $\pi$，故通量为 $3\pi$。
  7. $\operatorname{div}\boldsymbol F=3(x^2+y^2+z^2)$。球坐标： $$\iiint_\Omega3r^2,\mathrm dV =3\int_0^{2\pi}\mathrm d\theta\int_0^\pi\mathrm d\varphi\int_0^Rr^4\sin\varphi,\mathrm dr =3\cdot2\pi\cdot2\cdot\frac{R^5}5=\frac{12\pi R^5}5.$$
  8. 同练习第 11 题，结果为 $-\pi$。
  9. $\operatorname{div}\boldsymbol F=0$； $$\operatorname{rot}\boldsymbol F=(R_y-Q_z,\ P_z-R_x,\ Q_x-P_y)=(x-x,\ y-y,\ z-z)=\boldsymbol0.$$ 旋度为零且区域为 $\mathbb{R}^3$（单连通），故为保守场，势函数为 $u=xyz+C$。
  10. 参数化 $x=a\cos^3t$，$y=a\sin^3t$，$0\le t\le2\pi$。面积 $$S=\frac12\oint_Lx,\mathrm dy-y,\mathrm dx =\frac12\int_0^{2\pi}3a^2\cos^2t\sin^2t,\mathrm dt =\frac{3a^2}2\cdot\frac\pi4=\frac{3\pi a^2}8.$$