附录公式定理速查

一、实数与极限

1. 确界

上确界 $\sup S$：最小上界；下确界 $\inf S$：最大下界。
确界原理：非空有上界的实数集必有上确界；非空有下界的实数集必有下确界。
$\sup(A+B)=\sup A+\sup B$，$\inf(A+B)=\inf A+\inf B$。

2. 数列极限

$\varepsilon$-$N$ 定义：$\forall\varepsilon>0$，$\exists N$，当 $n>N$ 时，$|a_n-a|<\varepsilon$。
收敛数列必唯一、有界、保号、保序。
夹逼定理：$a_n\le c_n\le b_n$，$a_n\to l$，$b_n\to l$，则 $c_n\to l$。
单调有界准则：单调递增有上界（或递减有下界）的数列收敛。
柯西准则：${a_n}$ 收敛当且仅当 $\forall\varepsilon>0$，$\exists N$，当 $m,n>N$ 时，$|a_m-a_n|<\varepsilon$。
波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理：有界数列必有收敛子列。

3. 函数极限与连续

$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A$：$\forall\varepsilon>0$，$\exists\delta>0$，当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时，$|f(x)-A|<\varepsilon$。
极限存在当且仅当左右极限存在且相等。
海涅定理：函数极限与数列极限可以互化。
连续：$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$。
可导必连续，连续不一定可导。
闭区间连续函数：有界、取得最值、具有介值性、一致连续。
一致连续：$\delta$ 只依赖于 $\varepsilon$，与点的位置无关。

4. 两个重要极限

$$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1,\qquad \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac1x\right)^x=\mathrm e.$$

5. 常用等价无穷小（$x\to0$）

$$\sin x\sim x,\quad \tan x\sim x,\quad \arcsin x\sim x,\quad \arctan x\sim x,$$

$$1-\cos x\sim\frac{x^2}2,\quad \ln(1+x)\sim x,\quad \mathrm e^x-1\sim x,$$

$$(1+x)^\alpha-1\sim\alpha x,\quad a^x-1\sim x\ln a,$$

$$x-\sin x\sim\frac{x^3}6,\quad \tan x-x\sim\frac{x^3}3.$$

二、导数与微分

1. 定义与关系

$$f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}.$$

可导 $\Rightarrow$ 连续；连续 $\nRightarrow$ 可导。
可微 $\iff$ 可导；$\mathrm dy=f'(x),\mathrm dx$。

2. 基本导数公式

函数	导数	函数	导数
$C$	$0$	$x^\alpha$	$\alpha x^{\alpha-1}$
$\mathrm e^x$	$\mathrm e^x$	$a^x$	$a^x\ln a$
$\ln x$	$\dfrac1x$	$\log_a x$	$\dfrac1{x\ln a}$
$\sin x$	$\cos x$	$\cos x$	$-\sin x$
$\tan x$	$\sec^2x$	$\cot x$	$-\csc^2x$
$\arcsin x$	$\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}$	$\arccos x$	$-\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}$
$\arctan x$	$\dfrac1{1+x^2}$	$\operatorname{arccot}x$	$-\dfrac1{1+x^2}$
$\sinh x$	$\cosh x$	$\cosh x$	$\sinh x$

3. 求导法则

$(uv)'=u'v+uv'$，$\left(\dfrac uv\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$。
链式法则：$\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm du}\cdot\dfrac{\mathrm du}{\mathrm dx}$。
反函数：$\left(f^{-1}\right)'(y)=\dfrac1{f'(x)}$。
参数方程：$\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\dfrac{y'(t)}{x'(t)}$。
二阶参数导数：$\dfrac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2}=\dfrac{y''x'-y'x''}{(x')^3}$。
莱布尼茨公式：$(uv)^{(n)}=\displaystyle\sum_{k=0}^n\mathrm C_n^ku^{(k)}v^{(n-k)}$。

4. 常用高阶导数

$$\left(\mathrm e^{ax}\right)^{(n)}=a^n\mathrm e^{ax},$$

$$\left(\sin x\right)^{(n)}=\sin\left(x+\frac{n\pi}2\right),\qquad \left(\cos x\right)^{(n)}=\cos\left(x+\frac{n\pi}2\right),$$

$$\left(\ln(1+x)\right)^{(n)}=\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{(1+x)^n},$$

$$\left(\frac1{1-x}\right)^{(n)}=\frac{n!}{(1-x)^{n+1}}.$$

三、中值定理与泰勒公式

1. 中值定理

费马定理：可导极值点处导数为 $0$。
罗尔定理：$f(a)=f(b)$，则存在 $\xi$，$f'(\xi)=0$。
拉格朗日定理：$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$。
柯西定理：$\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\dfrac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$。
达布定理：导函数具有介值性。

2. 泰勒公式

$$f(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+R_n(x).$$

佩亚诺余项：$R_n(x)=o((x-x_0)^n)$。
拉格朗日余项：$R_n(x)=\dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$。

3. 常用麦克劳林展开

$$\mathrm e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!},$$

$$\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!},\qquad \cos x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!},$$

$$\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}\quad(-1<x\le1),$$

$$\arctan x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}\quad(-1\le x\le1),$$

$$(1+x)^\alpha=1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n\quad(|x|<1).$$

4. 极值与凹凸性

极值必要条件：$\nabla f=0$。
一元二阶判别：$f'(x_0)=0$，$f''(x_0)>0$ 极小，$f''(x_0)<0$ 极大。
凹凸性：$f''>0$ 凸（下凸），$f''<0$ 凹（上凸）。
拐点：凹凸性改变的点。

四、积分

1. 基本积分表

$$\int x^\alpha,\mathrm dx=\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C\ (\alpha\ne-1),\qquad \int\frac{\mathrm dx}x=\ln|x|+C,$$

$$\int\mathrm e^x,\mathrm dx=\mathrm e^x+C,\qquad \int a^x,\mathrm dx=\frac{a^x}{\ln a}+C,$$

$$\int\sin x,\mathrm dx=-\cos x+C,\qquad \int\cos x,\mathrm dx=\sin x+C,$$

$$\int\frac{\mathrm dx}{1+x^2}=\arctan x+C,\qquad \int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+C,$$

$$\int\tan x,\mathrm dx=-\ln|\cos x|+C,\qquad \int\cot x,\mathrm dx=\ln|\sin x|+C.$$

2. 定积分

牛顿-莱布尼茨公式： $$\int_a^bf(x),\mathrm dx=F(b)-F(a).$$
换元： $$\int_a^bf(x),\mathrm dx=\int_\alpha^\betaf(\varphi(t))\varphi'(t),\mathrm dt.$$
分部： $$\int_a^bu,\mathrm dv=\left.uv\right|_a^b-\int_a^bv,\mathrm du.$$
变限积分： $$\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\int_{a(x)}^{b(x)}f(t),\mathrm dt=f(b(x))b'(x)-f(a(x))a'(x).$$
积分中值定理： $$\int_a^bf(x),\mathrm dx=f(\xi)(b-a).$$
华里士公式： $$\int_0^{\pi/2}\sin^nx,\mathrm dx= \begin{cases} \dfrac{(n-1)!!}{n!!}\dfrac\pi2,&n\text{ 偶},\[6pt] \dfrac{(n-1)!!}{n!!},&n\text{ 奇}. \end{cases}$$

3. 定积分应用

面积：$\displaystyle A=\int_a^b[f(x)-g(x)],\mathrm dx$。
极坐标面积：$\displaystyle A=\frac12\int_\alpha^\beta r^2,\mathrm d\theta$。
旋转体体积：$\displaystyle V=\pi\int_a^bf^2(x),\mathrm dx$。
柱壳法：$\displaystyle V=2\pi\int_a^bx f(x),\mathrm dx$。
弧长：$\displaystyle s=\int_a^b\sqrt{1+y'^2},\mathrm dx$。
参数弧长：$\displaystyle s=\int_\alpha^\beta\sqrt{x'^2+y'^2},\mathrm dt$。
极坐标弧长：$\displaystyle s=\int_\alpha^\beta\sqrt{r^2+r'^2},\mathrm d\theta$。
旋转曲面面积：$\displaystyle S=2\pi\int_a^b|y|\sqrt{1+y'^2},\mathrm dx$。

4. 反常积分

$\displaystyle\int_a^{+\infty}\frac{\mathrm dx}{x^p}$：$p>1$ 收敛，$p\le1$ 发散。
$\displaystyle\int_a^b\frac{\mathrm dx}{(x-a)^p}$：$p<1$ 收敛，$p\ge1$ 发散。
绝对收敛 $\Rightarrow$ 收敛。
狄利克雷判别法：$\int_a^Af$ 有界，$g$ 单调趋于 $0$，则 $\int_a^{\infty}fg$ 收敛。
阿贝尔判别法：$\int_a^{\infty}f$ 收敛，$g$ 单调有界，则 $\int_a^{\infty}fg$ 收敛。

五、级数

1. 数项级数

收敛必要条件：$a_n\to0$。
几何级数：$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}q^n=\frac1{1-q}$（$|q|<1$）。
$p$ 级数：$\displaystyle\sum\frac1{n^p}$ 当 $p>1$ 收敛，$p\le1$ 发散。
比较、极限比较、比值、根值、积分判别法。
莱布尼茨判别法：$a_n$ 单调递减趋于 $0$，则 $\sum(-1)^{n-1}a_n$ 收敛，$|R_n|\le a_{n+1}$。
绝对收敛必收敛；条件收敛级数不能随意重排。

2. 幂级数

收敛半径： $$\frac1R=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|},\qquad R=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|.$$
幂级数在 $(-R,R)$ 内可逐项求导、逐项积分，收敛半径不变。
阿贝尔定理：在 $x_1$ 收敛，则在 $|x|<|x_1|$ 内绝对收敛。

3. 傅里叶级数

周期 $2\pi$： $$a_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx,\mathrm dx,\quad b_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx,\mathrm dx.$$
收敛定理：在连续点收敛于 $f(x)$，在间断点收敛于 $\dfrac{f(x+)+f(x-)}2$。
帕塞瓦尔等式： $$\frac{a_0^2}2+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n^2+b_n^2) =\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f^2(x),\mathrm dx.$$

4. 常用数项级数和

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^2}=\frac{\pi^2}6,\qquad \sum_{n=1}^{\infty}\frac1{(2n-1)^2}=\frac{\pi^2}8,$$

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}n=\ln2,\qquad \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{2n-1}=\frac\pi4,$$

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^4}=\frac{\pi^4}{90},\qquad \sum_{n=0}^{\infty}\frac1{n!}=\mathrm e.$$

六、多元函数微分学

1. 偏导数与全微分

偏导数：对一个变量求导，其余变量视为常数。
可微： $$\Delta f=f_x\Delta x+f_y\Delta y+o(\rho),\qquad \mathrm df=f_x,\mathrm dx+f_y,\mathrm dy.$$
可微 $\Rightarrow$ 连续、偏导数存在；偏导数连续 $\Rightarrow$ 可微。
链式法则： $$\frac{\partial z}{\partial x}=f_u\frac{\partial u}{\partial x}+f_v\frac{\partial v}{\partial x}.$$

2. 方向导数与梯度

$$\frac{\partial f}{\partial\boldsymbol e}=\nabla f\cdot\boldsymbol e =f_x\cos\alpha+f_y\cos\beta+f_z\cos\gamma.$$

最大方向导数为 $|\nabla f|$，方向为 $\nabla f$。
梯度与等值面垂直。

3. 极值与条件极值

无条件极值：$\nabla f=0$；二阶判别用海森矩阵。
二元判别：$A=f_{xx}$，$B=f_{xy}$，$C=f_{yy}$。
- $AC-B^2>0$，$A>0$ 极小；$A<0$ 极大；
- $AC-B^2<0$ 鞍点；
- $AC-B^2=0$ 失效。
条件极值：拉格朗日函数 $L=f-\lambda g$， $$\nabla f=\lambda\nabla g,\qquad g=0.$$

4. 隐函数

$$F(x,y)=0:\quad \frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=-\frac{F_x}{F_y},$$

$$F(x,y,z)=0:\quad \frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z},\quad \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y}{F_z}.$$

七、重积分

1. 二重积分

直角坐标： $$\iint_Df,\mathrm dx,\mathrm dy=\int_a^b\mathrm dx\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f,\mathrm dy.$$
极坐标： $$\iint_Df,\mathrm dx,\mathrm dy=\int_\alpha^\beta\mathrm d\theta\int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)}f(r\cos\theta,r\sin\theta)r,\mathrm dr.$$
面积：$\displaystyle S=\iint_D1,\mathrm dx,\mathrm dy$。

2. 三重积分

柱坐标：$\mathrm dV=r,\mathrm dr,\mathrm d\theta,\mathrm dz$。
球坐标：$\mathrm dV=r^2\sin\varphi,\mathrm dr,\mathrm d\varphi,\mathrm d\theta$。
换元：$\mathrm dV=|J|,\mathrm du,\mathrm dv,\mathrm dw$。
体积：$\displaystyle V=\iiint_\Omega1,\mathrm dV$。

3. 重积分应用

质量：$\displaystyle m=\iint_D\rho,\mathrm d\sigma$ 或 $\displaystyle m=\iiint_\Omega\rho,\mathrm dV$。
质心：$\displaystyle\bar x=\frac1m\iint_Dx\rho,\mathrm d\sigma$。
转动惯量：$\displaystyle I_x=\iint_Dy^2\rho,\mathrm d\sigma$。
平均值：$\displaystyle\bar f=\frac1{S_D}\iint_Df,\mathrm d\sigma$。

八、曲线积分与曲面积分

1. 曲线积分

第一型：$\displaystyle\int_Lf,\mathrm ds$，与方向无关， $$\mathrm ds=\sqrt{x'^2+y'^2+z'^2},\mathrm dt.$$
第二型：$\displaystyle\int_LP,\mathrm dx+Q,\mathrm dy+R,\mathrm dz$，与方向有关。
格林公式： $$\oint_LP,\mathrm dx+Q,\mathrm dy =\iint_D(Q_x-P_y),\mathrm dx,\mathrm dy.$$
面积公式： $$S=\frac12\oint_Lx,\mathrm dy-y,\mathrm dx.$$
路径无关条件：$P_y=Q_x$（单连通区域）。

2. 曲面积分

第一型：$\displaystyle\iint_Sf,\mathrm dS$，与侧无关。
- 显式曲面：$\mathrm dS=\sqrt{1+z_x^2+z_y^2},\mathrm dx,\mathrm dy$。
- 参数曲面：$\mathrm dS=|\boldsymbol r_u\times\boldsymbol r_v|,\mathrm du,\mathrm dv$。
第二型：$\displaystyle\iint_SP,\mathrm dy,\mathrm dz+Q,\mathrm dz,\mathrm dx+R,\mathrm dx,\mathrm dy$，与侧有关。
高斯公式： $$\iint_S\boldsymbol F\cdot\boldsymbol n,\mathrm dS =\iiint_\Omega\operatorname{div}\boldsymbol F,\mathrm dV.$$
斯托克斯公式： $$\oint_{\partial S}\boldsymbol F\cdot\mathrm d\boldsymbol r =\iint_S(\operatorname{rot}\boldsymbol F)\cdot\boldsymbol n,\mathrm dS.$$

3. 场论公式

梯度：$\operatorname{grad}f=(f_x,f_y,f_z)$。
散度：$\operatorname{div}\boldsymbol F=P_x+Q_y+R_z$。
旋度：$\operatorname{rot}\boldsymbol F=(R_y-Q_z,P_z-R_x,Q_x-P_y)$。
$\operatorname{rot}(\operatorname{grad}f)=\boldsymbol0$。
$\operatorname{div}(\operatorname{rot}\boldsymbol F)=0$。
保守场：$\boldsymbol F=\nabla u$，等价于 $\operatorname{rot}\boldsymbol F=\boldsymbol0$（单连通区域）。

九、含参量积分与欧拉积分

1. 含参量积分

连续性：$f$ 连续 $\Rightarrow$ $I(x)=\displaystyle\int_c^df(x,y),\mathrm dy$ 连续。
求导：$f,f_x$ 连续 $\Rightarrow$ $$I'(x)=\int_c^df_x(x,y),\mathrm dy.$$
积分交换：$f$ 连续 $\Rightarrow$ $$\int_a^b\mathrm dx\int_c^df(x,y),\mathrm dy =\int_c^d\mathrm dy\int_a^bf(x,y),\mathrm dx.$$
反常积分需一致收敛才能交换积分、求导、取极限。

2. 伽马函数

$$\Gamma(s)=\int_0^{+\infty}y^{s-1}\mathrm e^{-y},\mathrm dy\quad(s>0).$$

$\Gamma(s+1)=s\Gamma(s)$，$\Gamma(n+1)=n!$。
$\Gamma\left(\dfrac12\right)=\sqrt\pi$。
$\Gamma(s)\Gamma(1-s)=\dfrac{\pi}{\sin\pi s}$。
$\Gamma\left(\dfrac32\right)=\dfrac{\sqrt\pi}2$。

3. 贝塔函数

$$\mathrm B(p,q)=\int_0^1t^{p-1}(1-t)^{q-1},\mathrm dt\quad(p,q>0).$$

$\mathrm B(p,q)=\mathrm B(q,p)$。
$\mathrm B(p,q)=\dfrac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}$。
$\mathrm B(m,n)=\dfrac{(m-1)!(n-1)!}{(m+n-1)!}$。
$\mathrm B\left(\dfrac12,\dfrac12\right)=\pi$。

4. 常用无穷积分

$$\int_0^{+\infty}\mathrm e^{-x^2},\mathrm dx=\frac{\sqrt\pi}2,$$

$$\int_0^{+\infty}\frac{\sin x}{x},\mathrm dx=\frac\pi2,$$

$$\int_0^{+\infty}\frac{1-\cos x}{x^2},\mathrm dx=\frac\pi2,$$

$$\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm e^{-ax}-\mathrm e^{-bx}}x,\mathrm dx=\ln\frac ba\quad(a,b>0).$$

附录-公式定理速查

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